Генетическая алгебра - Genetic algebra

В математической генетике генетическая алгебра это (возможно неассоциативный ) алгебра, используемая для моделирования наследования в генетике. Некоторые варианты этих алгебр называются тренировать алгебры, специальные обучающие алгебры, гаметические алгебры, Алгебры Бернштейна, копулярные алгебры, зиготические алгебры, и барические алгебры (также называемый взвешенная алгебра). Изучение этих алгебр было начато Etherington (1939 ).

В приложениях к генетике эти алгебры часто имеют базис, соответствующий генетически различным гаметы, а структурная постоянная алгебры кодируют вероятности рождения потомства различных типов. Затем законы наследования кодируются как алгебраические свойства алгебры.

Обзоры генетических алгебр см. Бертран (1966), Вёрц-Бусекрос (1980) и Рид (1997).

Барические алгебры

Барические алгебры (или весовые алгебры) были введены Этерингтон (1939). Барическая алгебра над поле K возможно неассоциативная алгебра надK вместе с гомоморфизмомш, называемый весом, от алгебры доK.^[1]

Алгебры Бернштейна

Алгебра Бернштейна, основанная на работе Сергей Натанович Бернштейн (1923 ) на Закон Харди – Вайнберга в генетике, является (возможно, неассоциативной) барической алгеброй B над полем K с гомоморфизмом веса ш из B к K удовлетворение ${ Displaystyle (х ^ {2}) ^ {2} = вес (х) ^ {2} х ^ {2}}$ . У каждой такой алгебры есть идемпотенты е формы ${ Displaystyle е = а ^ {2}}$ с ${ Displaystyle ш (а) = 1}$ . В Разложение Пирса из B соответствующий е является

{ displaystyle B = Ke oplus U_ {e} oplus Z_ {e}}

куда ${ displaystyle U_ {e} = {a in ker w: ea = a / 2 }}$ и ${ Displaystyle Z_ {е} = {а ин кер ш: еа = 0 }}$ . Хотя эти подпространства зависят от е, их размеры инвариантны и составляют тип из B. An исключительный Алгебра Бернштейна едина с ${ displaystyle U_ {e} ^ {2} = 0}$ .^[2]

Копулярные алгебры

Копулярные алгебры были введены Этерингтон (1939 г., раздел 8)

Эволюционные алгебры

An алгебра эволюции над полем - это алгебра с базисом, на котором умножение определяется как произведение различных базисных членов, равных нулю, и квадрата каждого базисного элемента, являющегося линейной формой в базисных элементах. А настоящий алгебра эволюции определена над вещественными числами: это неотрицательный если все структурные константы в линейной форме неотрицательны.^[3] Алгебра эволюции обязательно коммутативна и гибкий но не обязательно ассоциативный или властно-ассоциативный.^[4]

Гаметические алгебры

А гаметическая алгебра - конечномерная вещественная алгебра, все структурные константы которой лежат между 0 и 1.^[5]

Генетические алгебры

Генетические алгебры были введены Шафер (1949) который показал, что специальные обучающие алгебры являются генетическими алгебрами, а генетические алгебры являются обучающими алгебрами.

Специальные обучающие алгебры

Специальные обучающие алгебры были введены Этерингтон (1939 г., раздел 4) как частные случаи барических алгебр.

Специальная обучающая алгебра - это барическая алгебра, в которой ядро N весовой функции нильпотентна, а главные степени N идеалы.^[1]

Этерингтон (1941) показал, что специальные обучающие алгебры являются обучающими алгебрами.

Обучайте алгебры

Алгебры поездов были введены Этерингтон (1939 г., раздел 4) как частные случаи барических алгебр.

Позволять ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {n}}$ быть элементами поля K с ${ displaystyle 1 + c_ {1} + cdots + c_ {n} = 0}$ . Формальный полином

{ displaystyle x ^ {n} + c_ {1} w (x) x ^ {n-1} + cdots + c_ {n} w (x) ^ {n}}

это тренировочный полином. Барическая алгебра B с весом ш является алгеброй поездов, если

{ displaystyle a ^ {n} + c_ {1} w (a) a ^ {n-1} + cdots + c_ {n} w (a) ^ {n} = 0}

для всех элементов ${ displaystyle a in B}$ , с ${ Displaystyle а ^ {к}}$ определены как основные полномочия, ${ Displaystyle (а ^ {к-1}) а}$ .^[1]^[6]

Зиготические алгебры

Зиготические алгебры были введены Этерингтон (1939 г., раздел 7)

дальнейшее чтение

Любич, Ю.И. (1983), Математические структуры в популяционной генетике. (Математические структуры в популярной генетике) Киев: Наукова думка, Zbl 0593.92011

[GM2001-1] а ^б ^c González, S .; Мартинес, К. (2001), "Об алгебрах Бернштейна", в Granja, Анхель (ред.), Теория колец и алгебраическая геометрия. Труды 5-й международной конференции по алгебре и алгебраической геометрии, SAGA V, Леон, Испания, Лект. Примечания Pure Appl. Математика, 221, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Марсель Деккер, стр. 223–239, Zbl 1005.17021

[2] Каталонский А. (2000). «E-идеалы в алгебрах Бернштейна». В Коста, Роберто (ред.). Неассоциативная алгебра и ее приложения. Материалы четвертой международной конференции, Сан-Паулу, Бразилия. Lect. Примечания Pure Appl. Математика. 211. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер. С. 35–42. Zbl 0968.17013.

[Tian18-3] Тиан (2008) стр.18

[Tian20-4] Тиан (2008) стр.20

[Cohn-5] Кон, Пол М. (2000). Введение в теорию колец. Серия «Математика бакалавриата Springer». Springer-Verlag. п. 56. ISBN 1852332069. ISSN 1615-2085.

[6] Каталон С., Абдон (1994). "E-идеалы в барических алгебрах ». Мат. Презрение. 6: 7–12. Zbl 0868.17023.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]