Соленоид (математика) - Solenoid (mathematics)
- На этой странице обсуждается класс топологических групп. Обмотанную проволочную петлю см. Соленоид.
Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
Бесконечномерная группа Ли
|
В математика, а соленоид это компактный связаны топологическое пространство (т.е. континуум ), который может быть получен как обратный предел обратной системы топологические группы и непрерывный гомоморфизмы
- (Sя, жя), жя: Sя+1 → Sя, я ≥ 0,
где каждый Sя это круг и жя карта, равномерно охватывающая круг Sя+1 пя раз (пя ≥ 2) по кругу Sя. Это построение может быть выполнено геометрически в трехмерном пространстве. Евклидово пространство р3. Соленоид - это одномерный однородный неразложимый континуум имеющий структуру компактного топологическая группа.
В частном случае, когда все пя иметь одинаковую ценность п, так что обратная система определяется умножением на п собственное отображение круга, соленоиды были впервые введены Vietoris за п = 2 и по ван Данциг для произвольного п. Такой соленоид возникает как одномерный расширяющийся аттрактор, или же Аттрактор Смейла – Вильямса, и является важным примером в теории гиперболический динамические системы.
Геометрическая конструкция и аттрактор Смейла – Вильямса.
Каждый соленоид может быть построен как пересечение вложенной системы полнотория в р3.
Зафиксируем последовательность натуральных чисел {пя}, пя ≥ 2. Пусть Т0 = S1 × D быть полноторие. Для каждого я ≥ 0, выберем полноторие Тя+1 который завернут в продольном направлении пя раз внутри полнотория Тя. Тогда их пересечение
является гомеоморфный к соленоиду, построенному как обратный предел системы окружностей с отображениями, определяемыми последовательностью {пя}.
Вот вариант этой конструкции, выделенный Стивен Смейл как пример расширяющийся аттрактор в теории гладких динамических систем. Обозначим угловую координату на окружности S1 к т (определяется по модулю 2π) и рассмотрим комплексную координату z на двумерном единичный диск D. Позволять ж быть отображением полнотория Т = S1 × D в себя, задаваемое явной формулой
Эта карта гладкая встраивание из Т в себя, что сохраняет слоение меридиональными дисками (постоянные 1/2 и 1/4 несколько произвольны, но существенно, что 1/4 <1/2 и 1/4 + 1/2 <1). Если Т представляет собой резиновую трубку, карта ж растягивает ее в продольном направлении, сжимает каждый меридиональный диск и дважды оборачивает деформированную трубу внутрь Т со скручиванием, но без самопересечений. В гиперболический набор Λ дискретной динамической системы (Т, ж) является пересечением описанной выше последовательности вложенных полноторий, где Тя это изображение Т под яй итерация карты ж. Этот набор является одномерным (в смысле топологическая размерность ) аттрактор, а динамика ж на Λ обладает следующими интересными свойствами:
- меридиональные диски стабильные многообразия, каждый из которых пересекает Λ через Кантор набор
- периодические точки из ж находятся плотный в Λ
- карта ж является топологически транзитивный на Λ
Общая теория соленоидов и расширяющихся аттракторов, не обязательно одномерных, была разработана Р. Ф. Уильямсом и включает проективную систему бесконечного числа копий компактного разветвленный коллектор вместо круга вместе с расширяющимсяпогружение.
Патологические свойства
Соленоиды компактный метризуемые пространства которые связаны, но нет локально связанный или же путь подключен. Это отражено в их патологический поведение по отношению к различным теории гомологии, в отличие от стандартных свойств гомологии для симплициальные комплексы. В Чешская гомология, можно построить неточный длинная последовательность гомологии с помощью соленоида. В Стинрод теории гомологии стилей,[1] 0-я группа гомологий соленоида может иметь довольно сложную структуру, даже если соленоид является связным пространством.
Смотрите также
- Проторус, класс топологических групп, включающий соленоиды
- Понтрягинская двойственность
- Обратный предел
- p-адическое число
- Бесконечное целое число
Рекомендации
Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты.Январь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) ( |
- Д. ван Данциг, Ueber topologisch homogen Kontinua, Фонд. Математика. 15 (1930), стр. 102–125.
- «Соленоид», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
- Кларк Робинсон, Динамические системы: устойчивость, символическая динамика и хаос, 2-е издание, CRC Press, 1998 г. ISBN 978-0-8493-8495-0
- С. Смейл, Дифференцируемые динамические системы, Бык. АПП, 73 (1967), 747 – 817.
- Л. Вьеторис, Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen, Математика. Анна. 97 (1927), стр. 454–472
- Роберт Ф. Уильямс, Расширяющиеся аттракторы, Publ. Математика. ИГЭС, т. 43 (1974), стр. 169–203
дальнейшее чтение
- Семмс, Стивен (12 января 2012 г.), Несколько замечаний о соленоидах, arXiv:1201.2647, Bibcode:2012arXiv1201.2647S