Соленоид (математика) - Solenoid (mathematics)

На этой странице обсуждается класс топологических групп. Обмотанную проволочную петлю см. Соленоид.
Соленоид Смейла-Вильямса.

В математика, а соленоид это компактный связаны топологическое пространство (т.е. континуум ), который может быть получен как обратный предел обратной системы топологические группы и непрерывный гомоморфизмы

(Sя, жя),     жя: Sя+1Sя,     я ≥ 0,

где каждый Sя это круг и жя карта, равномерно охватывающая круг Sя+1 пя раз (пя ≥ 2) по кругу Sя. Это построение может быть выполнено геометрически в трехмерном пространстве. Евклидово пространство р3. Соленоид - это одномерный однородный неразложимый континуум имеющий структуру компактного топологическая группа.

В частном случае, когда все пя иметь одинаковую ценность п, так что обратная система определяется умножением на п собственное отображение круга, соленоиды были впервые введены Vietoris за п = 2 и по ван Данциг для произвольного п. Такой соленоид возникает как одномерный расширяющийся аттрактор, или же Аттрактор Смейла – Вильямса, и является важным примером в теории гиперболический динамические системы.

Геометрическая конструкция и аттрактор Смейла – Вильямса.

Полноценный тор дважды обернут внутрь другого полнотория в р3
Первые шесть шагов построения аттрактора Смейла-Вильямса.

Каждый соленоид может быть построен как пересечение вложенной системы полнотория в р3.

Зафиксируем последовательность натуральных чисел {пя}, пя ≥ 2. Пусть Т0 = S1 × D быть полноторие. Для каждого я ≥ 0, выберем полноторие Тя+1 который завернут в продольном направлении пя раз внутри полнотория Тя. Тогда их пересечение

является гомеоморфный к соленоиду, построенному как обратный предел системы окружностей с отображениями, определяемыми последовательностью {пя}.

Вот вариант этой конструкции, выделенный Стивен Смейл как пример расширяющийся аттрактор в теории гладких динамических систем. Обозначим угловую координату на окружности S1 к т (определяется по модулю 2π) и рассмотрим комплексную координату z на двумерном единичный диск D. Позволять ж быть отображением полнотория Т = S1 × D в себя, задаваемое явной формулой

Эта карта гладкая встраивание из Т в себя, что сохраняет слоение меридиональными дисками (постоянные 1/2 и 1/4 несколько произвольны, но существенно, что 1/4 <1/2 и 1/4 + 1/2 <1). Если Т представляет собой резиновую трубку, карта ж растягивает ее в продольном направлении, сжимает каждый меридиональный диск и дважды оборачивает деформированную трубу внутрь Т со скручиванием, но без самопересечений. В гиперболический набор Λ дискретной динамической системы (Т, ж) является пересечением описанной выше последовательности вложенных полноторий, где Тя это изображение Т под яй итерация карты ж. Этот набор является одномерным (в смысле топологическая размерность ) аттрактор, а динамика ж на Λ обладает следующими интересными свойствами:

Общая теория соленоидов и расширяющихся аттракторов, не обязательно одномерных, была разработана Р. Ф. Уильямсом и включает проективную систему бесконечного числа копий компактного разветвленный коллектор вместо круга вместе с расширяющимсяпогружение.

Патологические свойства

Соленоиды компактный метризуемые пространства которые связаны, но нет локально связанный или же путь подключен. Это отражено в их патологический поведение по отношению к различным теории гомологии, в отличие от стандартных свойств гомологии для симплициальные комплексы. В Чешская гомология, можно построить неточный длинная последовательность гомологии с помощью соленоида. В Стинрод теории гомологии стилей,[1] 0-я группа гомологий соленоида может иметь довольно сложную структуру, даже если соленоид является связным пространством.

Смотрите также

Рекомендации

  • Д. ван Данциг, Ueber topologisch homogen Kontinua, Фонд. Математика. 15 (1930), стр. 102–125.
  • «Соленоид», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
  • Кларк Робинсон, Динамические системы: устойчивость, символическая динамика и хаос, 2-е издание, CRC Press, 1998 г. ISBN  978-0-8493-8495-0
  • С. Смейл, Дифференцируемые динамические системы, Бык. АПП, 73 (1967), 747 – 817.
  • Л. Вьеторис, Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen, Математика. Анна. 97 (1927), стр. 454–472
  • Роберт Ф. Уильямс, Расширяющиеся аттракторы, Publ. Математика. ИГЭС, т. 43 (1974), стр. 169–203

дальнейшее чтение