Разветвленный коллектор - Branched manifold

В математика, а разветвленный коллектор является обобщением дифференцируемое многообразие который может иметь особенности очень ограниченного типа и допускает корректное определение касательное пространство в каждой точке. Разветвленный п-многообразие покрыто п-мерные «координатные карты», каждая из которых включает одну или несколько «ветвей», гомеоморфно проецируемых в одну и ту же дифференцируемую п-диск в рп. Разветвленные коллекторы впервые появились в теория динамических систем, в связи с одномерным гиперболический аттракторы построенный Смейл и были формализованы Р. Ф. Вильямсом в серии работ по расширяющимся аттракторам. Особые случаи малых размеров известны как железнодорожные пути (п = 1) и разветвленные поверхности (п = 2) и играют важную роль в геометрии трёхмерные многообразия после Терстон.

Определение

Позволять K быть метризуемое пространство, вместе с:

  1. Коллекция {Uя} из закрытые подмножества из K;
  2. для каждого Uя, конечный набор {Dij} замкнутых подмножеств Uя;
  3. для каждого я, карта πя: Uя → Dяп закрытому п-диск класса Ck в рп.

Эти данные должны удовлетворять следующим требованиям:

  1. ∪j Dij = Uя и ∪я Int Uя = K;
  2. ограничение πя к Dij это гомеоморфизм на свой образ πя(Dij) который является закрытым классом Ck п-диск относительно границы Dяп;
  3. есть коцикл диффеоморфизмы {αlm} класса Ck (k ≥ 1) такие, что πл = αlm · πм когда определено. Область αlm является πм(Uл ∩ Uм).

Тогда пространство K это разветвленный п-многообразие класса Ck.

Стандартное оборудование дифференциальная топология может быть адаптирован к случаю разветвленных коллекторов. Это приводит к определению касательное пространство ТпK к разветвленной п-многообразие K в данный момент п, что является п-размерный реальный векторное пространство; естественное представление о Ck дифференцируемая карта ж: K → L между разветвленными коллекторами, его дифференциал df: ТпK → Тж(п)L, то зародыш из ж в п, реактивные пространства, и другие связанные с этим понятия.

Примеры

Внешне разветвленный п-многообразия п-мерные комплексы, вложенные в некоторые Евклидово пространство такой, что каждая точка имеет четко определенный п-мерное касательное пространство.

  • Конечная график ребра которого представляют собой гладко вложенные дуги в поверхность, такие, что все ребра, инцидентные данной вершине v иметь ту же касательную в v, - разветвленное одномерное многообразие, или железная дорога (существует несколько вариантов понятия железнодорожного пути - здесь нет ограничений на валентности вершин). В качестве конкретного примера рассмотрим «восьмерку», образованную двумя касательными к внешней стороне окружностями на плоскости.
  • Двухкомплекс в р3 состоящий из нескольких листов, которые могут касаться друг друга попарно вдоль определенных двойных кривых или сходиться тройками в изолированных особых точках, где эти двойные кривые пересекаются трансверсально, представляет собой разветвленное двумерное многообразие или разветвленная поверхность. Например, рассмотрим пространство K полученный из 3-х копий евклидовой плоскости, помеченных Т (верх), M (в центре) и B (внизу) путем определения полуплоскостей у ≤ 0 дюймов Т и M и полупланы Икс ≤ 0 дюймов M и B. Можно представить M будучи плоской координатной плоскостью г = 0 в р3, Т лист, вьющийся вверх от M вдоль Икс- ось вправо (положительный у-направление) и B еще один лист, сворачивающийся вниз от M вдоль у- передняя ось (положительный Икс-направление). Оси координат в M плоскости - двойные кривые K, которые трансверсально пересекаются в единственной тройной точке (0,0).

использованная литература