Слоение - Foliation - Wikipedia

Для использования в других целях см. Слоение (значения).

2-х мерный разрез Слоение Риба

Трехмерная модель слоения Риба

В математика (дифференциальная геометрия ), а слоение является отношение эквивалентности на п-многообразие, то классы эквивалентности будучи на связи, инъективно погруженные подмногообразия, все того же измерения п, по образцу разложение из реальное координатное пространство р^п в смежные классы Икс + р^п стандартных встроенный подпространство р^п. Классы эквивалентности называются листья слоения.^[1] Если требуется, чтобы многообразие и / или подмногообразия имели кусочно-линейный, дифференцируемый (класса C^р), или же аналитический Таким образом, структура определяет кусочно-линейные, дифференцируемые или аналитические слоения соответственно. В наиболее важном случае дифференцируемого слоения класса C^р обычно понимают, что р ≥ 1 (иначе C⁰ является топологическим слоением).^[2] Номер п (размерность листов) называется размерностью слоения и q = п − п называется его коразмерность.

В некоторых статьях по общая теория относительности математиками-физиками термин слоение (или нарезка) используется для описания ситуации, когда соответствующие Многообразие Лоренца (a (p + 1) -мерный пространство-время ) был разложен на гиперповерхности измерения п, заданный как наборы уровней действительного гладкая функция (скалярное поле ) чей градиент везде отличен от нуля; эта гладкая функция, кроме того, обычно считается функция времени, это означает, что его градиент везде своевременный, так что все его уровни являются пространственными гиперповерхностями. Из уважения к стандартной математической терминологии эти гиперповерхности часто называют листьями (или иногда ломтики) слоения.^[3] Заметим, что хотя эта ситуация и составляет слоение коразмерности 1 в стандартном математическом смысле, примеры этого типа на самом деле глобально тривиальны; в то время как листы (математического) слоения коразмерности 1 всегда локально наборы уровней функции, они обычно не могут быть выражены таким образом глобально,^[4][5] поскольку лист может проходить через локально упрощающую карту бесконечно много раз, и голономия вокруг листа может также препятствовать существованию глобально согласованных определяющих функций для листьев. Например, в то время как 3-сфера имеет знаменитое слоение коразмерности 1, открытое Рибом, слоение коразмерности 1 замкнутого многообразия не может быть задано множествами уровня гладкой функции, поскольку гладкая функция на замкнутом многообразии обязательно имеет критические точки в максимумах и минимумах.

Слоистые карты и атласы

Чтобы дать более точное определение слоению, необходимо определить некоторые вспомогательные элементы.

Трехмерная слоеная карта с п = 3 и q = 1. Пластинки двумерны, а трансверсали одномерны.

А прямоугольный район в р^п является открыто подмножество формы B = J₁ × ⋅⋅⋅ × J_п, куда J_я является (возможно, неограниченным) относительно открытым интервалом в я-я координатная ось. Если J₁ имеет вид (а, 0], говорят, что B имеет граница ^[6]

${\displaystyle \partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.}$

В следующем определении рассматриваются карты координат, которые имеют значения в р^п × р^q, допускающую возможность многообразий с краем и (выпуклый ) углы.

А слоистая диаграмма на п-многообразие M коразмерности q пара (U,φ), куда U ⊆ M открыт и ${\displaystyle \varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }}$ это диффеоморфизм, ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ прямоугольный район в р^q и ${\displaystyle B_{\tau }}$ прямоугольный район в р^п. Набор п_у = φ⁻¹(B_τ × {у}), куда ${\displaystyle y\in B_{\pitchfork }}$, называется бляшка этой слоистой карты. Для каждого x ∈ B_τ, набор S_Икс = φ⁻¹({Икс} × ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$) называется поперечный слоистой карты. Набор ∂_τU = φ⁻¹(B_τ × (∂${\displaystyle B_{\pitchfork }}$)) называется касательная граница из U и ${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U}$ = φ⁻¹((∂B_τ) × ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$) называется поперечная граница из U.^[7]

Листовая диаграмма является базовой моделью для всех слоений, причем бляшки - это листья. Обозначение B_τ читается как "B-тангенциальный »и ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ в качестве "B-transverse ". Возможны также разные. Если оба ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ и B_τ имеют пустую границу, слоеная карта моделирует коразмерность-q слоения п-многообразия без края. Если одна, но не обе из этих прямоугольных окрестностей имеют границу, слоеная карта моделирует различные возможности слоений на п-многообразия с краем и без углов. В частности, если ∂${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ≠ ∅ = ∂B_τ, тогда ∂U = ∂_τU представляет собой объединение пластинок, а слоение на пластины касается границы. Если ∂B_τ ≠ ∅ = ∂${\displaystyle B_{\pitchfork }}$, тогда ∂U = ${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U}$ является объединением трансверсалей и слоение трансверсально границе. Наконец, если ∂${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ≠ ∅ ≠ ∂B_τ, это модель слоистого многообразия с углом, отделяющим касательную границу от поперечной.^[7]

(а) Касательное слоение к границе ∂${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ≠ ∅ = ∂B_τ; (б) Слоение, поперечное к границе ∂B_τ ≠ ∅ = ∂${\displaystyle B_{\pitchfork }}$; (c) Слоение с углом, отделяющим касательную границу от поперечной границы ∂${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ≠ ∅ ≠ ∂B_τ.

А слоистый атлас коразмерности q и класс C^р (0 ≤ р ≤ ∞) на п-многообразие M это C^р-атлас ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}}$ слоистых карт коразмерности q которые когерентно расслоенный в том смысле, что всякий раз, когда п и Q бляшки на отдельных диаграммах ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, тогда п ∩ Q открыт как в п и Q.^[8]

Полезный способ переформулировать понятие когерентно расслоенных диаграмм - написать для ш ∈ U_α ∩ U_β ^[9]

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.}$

Обозначение (U_α,φ_α) часто пишут (U_α,Икс_α,у_α), с ^[9]

${\displaystyle x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),}$

${\displaystyle y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).}$

На φ_β(U_α ∩ U_β) формулу координат можно изменить как ^[9]

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).}$

Бляшки U_α каждая встречает две доски U_β.

Условие, что (U_α,Икс_α,у_α) и (U_β,Икс_β,у_β) быть когерентно расслоенным означает, что если п ⊂ U_α представляет собой пластину, соединенные компоненты п ∩ U_β лежат в (возможно отдельных) бляшках U_β. Равным образом, поскольку бляшки U_α и U_β - множества уровней поперечных координат у_α и у_βсоответственно каждая точка z ∈ U_α ∩ U_β имеет окрестность, в которой формула

${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })}$

не зависит от Икс_β.^[9]

Основное использование листоватых атласов состоит в том, чтобы связать их перекрывающиеся бляшки, чтобы сформировать листья слоения. Для этой и других целей приведенное выше общее определение слоистого атласа немного неуклюже. Одна из проблем заключается в том, что налет (U_α,φ_α) может встречаться несколько бляшек (U_β,φ_β). Может случиться даже так, что табличка одной карты встречается с бесконечным количеством табличек другой карты. Однако не теряется общность, если предположить, что ситуация гораздо более регулярна, как показано ниже.

Два слоистых атласа ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ на M такой же коразмерности и гладкость учебный класс C^р находятся последовательный ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)}$ если ${\displaystyle {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}}$ слоеный C^р-атлас. Когерентность слоистых атласов - это отношение эквивалентности.^[9]

Доказательство [9]

Рефлексивность и симметрия немедленно. Чтобы доказать транзитивность позволять ${\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {V}}\thickapprox {\mathcal {W}}}$. Позволять (Uα,Иксα,уα) ∈ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и (Wλ,Иксλ,уλ) ∈ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ и предположим, что есть точка ш ∈ Uα ∩ Wλ. Выбирать (Vδ,Иксδ,уδ) ∈ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ такой, что ш ∈ Vδ. По сделанным выше замечаниям существует окрестность N из ш в Uα ∩ Vδ ∩ Wλ такой, что ${\displaystyle y_{\delta }=y_{\delta }(y_{\lambda })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\lambda }(N),}$ ${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\delta })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N),}$ и поэтому ${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }\left(y_{\delta }(y_{\lambda })\right)\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N).}$ С ш ∈ Uα ∩ Wλ произвольно, можно сделать вывод, что уα(Иксλ,уλ) локально не зависит от Иксλ. Таким образом, доказано, что ${\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {W}}}$, следовательно, эта когерентность транзитивна.[10]

Примеры схем в обычном слоистом атласе.

Бляшки и трансверсали, определенные выше на открытых множествах, также открыты. Но можно говорить и о закрытых бляшках и трансверсалиях. А именно, если (U,φ) и (W,ψ) - слоеные карты такие, что ${\displaystyle {\overline {U}}}$ (в закрытие из U) является подмножеством W и φ = ψ|U тогда, если ${\displaystyle \varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },}$ видно, что ${\displaystyle \psi |{\overline {U}}}$, написано ${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$, несет ${\displaystyle {\overline {U}}}$ диффеоморфно на ${\displaystyle {\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.}$

Слоеный атлас называется обычный если

1. для каждого α ∈ А, ${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$ это компактное подмножество слоистой карты (W_α,ψ_α) и φ_α = ψ_α|U_α;
2. то крышка {U_α | α ∈ А} является локально конечный;
3. если (U_α,φ_α) и (U_β,φ_β) являются элементами слоистого атласа, то внутренность каждой закрытой бляшки п ⊂ ${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$ встречается не более одной мемориальной доски в ${\displaystyle {\overline {U}}_{\beta }.}$ ^[11]

По свойству (1) координаты Икс_α и у_α распространить на координаты ${\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha }}$ и ${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }}$ на ${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$ и один пишет ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).}$ Свойство (3) эквивалентно требованию, чтобы, если U_α ∩ U_β ≠ ∅ поперечная координата изменится ${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$ быть независимым от ${\displaystyle {\overline {x}}_{\beta }.}$ То есть

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)}$

имеет формулу ^[11]

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).}$

Аналогичные утверждения справедливы и для открытых графиков (без дополнительных черт). Карта поперечных координат у_α можно рассматривать как погружение

${\displaystyle y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$

и формулы у_α = у_α(у_β) можно рассматривать как диффеоморфизмы

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).}$

Они удовлетворяют условия коцикла. То есть на у_δ(U_α ∩ U_β ∩ U_δ),

${\displaystyle \gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }}$

и, в частности,^[12]

${\displaystyle \gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.}$

Используя приведенные выше определения для согласованности и регулярности, можно доказать, что каждый слоистый атлас имеет связный уточнение это регулярно.^[13]

Доказательство [13]

Исправьте метрику на M и лиственный атлас ${\displaystyle {\mathcal {W}}.}$ Переходя к прикрытие, при необходимости можно считать, что ${\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=1}^{l}}$ конечно. Пусть ε> 0 - Число Лебега за ${\displaystyle {\mathcal {W}}.}$ То есть любое подмножество Икс ⊆ M диаметра <ε целиком лежит в некоторой Wj. Для каждого Икс ∈ M, выберите j такой, что Икс ∈ Wj и выберите слоеную карту (UИкс, φИкс) такие, что Икс ∈ UИкс ⊆ ${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$ ⊂ Wj, φИкс = ψj|UИкс, диам (UИкс) <ε / 2. Предположим, что UИкс ⊂ Wk, k ≠ j, и писать ψk = (Иксk,уk) как обычно, где уk : Wk → рq - карта поперечных координат. Это погружение Имея бляшки в Wk по мере набора уровня. Таким образом, уk ограничивается погружением уk : UИкс → рq. Это локально постоянное значение в Иксj; так что выбирая UИкс меньше, при необходимости можно считать, что уk|${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$ имеет мемориальные доски ${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$ по мере набора его уровня. То есть каждая табличка Wk встречается (следовательно, содержит) не более одной (компактной) таблички из ${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$. Поскольку 1 < k < л <∞, можно выбрать UИкс так что всякий раз, когда UИкс ⊂ Wk, отчетливые бляшки ${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$ лежат в отдельных бляшках Wk. Переход к конечному податласу ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{N}}$ из {(UИкс,φИкс) | Икс ∈ M}. Если Uя ∩ Uj ≠ 0, то diam (Uя ∪ Uj) <ε, значит, существует индекс k такой, что ${\displaystyle {\overline {U}}_{i}\cup {\overline {U}}_{j}\subseteq W_{k}.}$ Отчетливые бляшки ${\displaystyle {\overline {U}}_{i}}$ (соответственно из ${\displaystyle {\overline {U}}_{j}}$) лежат в отдельных бляшках Wk. Следовательно, каждая мемориальная доска ${\displaystyle {\overline {U}}_{i}}$ имеет внутреннее собрание не более одной мемориальной доски ${\displaystyle {\overline {U}}_{j}}$ наоборот. По конструкции, ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ является последовательным уточнением ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ и представляет собой обычный слоистый атлас. Если M не компактно, локальная компактность и вторая счетность позволяет выбрать последовательность ${\displaystyle \left\{K_{i}\right\}_{i=0}^{\infty }}$ компактных подмножеств таких, что Kя ⊂ int Kя+1 для каждого я ≥ 0 и ${\displaystyle M=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}.}$ Переходя к податласу, предполагается, что ${\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{\infty }}$ счетна и строго возрастающая последовательность ${\displaystyle \left\{n_{l}\right\}_{l=0}^{\infty }}$ натуральных чисел можно найти такие, что ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{n_{l}}}$ охватывает Kл. Пусть δл обозначают расстояние от Kл к ∂Kл+1 и выберем εл > 0 настолько мало, что εл л/ 2, εл-1} за л ≥ 1, ε0 <δ0/ 2 и εл число Лебега для ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}}$ (как открытая обложка Kл) и для ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l+1}}$ (как открытая обложка Kл+1). Точнее, если Икс ⊂ M встречает Kл (соответственно, Kл+1) и диаметр Икс <εл, тогда Икс лежит в каком-то элементе ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}}$ (соответственно, ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l+1}}$). Для каждого Икс ∈ Kл ${\displaystyle \diagdown }$ int Kл-1, построить (UИкс,φИкс) как для компактного случая, требуя, чтобы ${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$ быть компактным подмножеством Wj и это φИкс = ψj|UИкс, немного j ≤ пл. Кроме того, требуется, чтобы диаметр${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$ <εл/ 2. Как и раньше, переходим к конечному подпокрытию ${\displaystyle \left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=n_{l-1}+1}^{n_{l}}}$ из Kл ${\displaystyle \diagdown }$ int Kл-1. (Здесь принято п−1 = 0.) Это создает обычный слоистый атлас. ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}$ это уточняет ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ и согласуется с ${\displaystyle {\mathcal {W}}.}$.

Определения слоения

Существует несколько альтернативных определений слоения в зависимости от способа получения слоения. Самый распространенный способ получить слоение - это разложение достигнув следующего

Разложение через функцию координат Икс : U→р^п.

Определение. А п-размерный, классный C^р слоение п-мерное многообразие M является разложением M в союз непересекающийся связные подмногообразия {L_α}_α∈А, называется листья слоения со следующим свойством: каждая точка в M есть район U и система местного, классного C^р координаты Икс=(Икс¹, ⋅⋅⋅, Икс^п) : U→р^п так что для каждого листа L_α, компоненты U ∩ L_α описываются уравнениями Икс^п+1= константа, ⋅⋅⋅, Икс^п= константа. Слоение обозначается через ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$={L_α}_α∈А.^[14]

Понятие листьев позволяет интуитивно думать о слоении. Для чуть более геометрического определения п-мерное слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ из п-многообразие M можно рассматривать как просто коллекцию {M_а} попарно-непересекающихся, связанных, погруженных п-мерные подмногообразия (слои слоения) M, так что для каждой точки Икс в M, есть диаграмма ${\displaystyle (U,\varphi )}$ с U гомеоморфен р^п содержащий Икс так что каждый лист M_а, встречает U либо в пустом наборе, либо в счетный совокупность подпространств, образы которых под ${\displaystyle \varphi }$ в ${\displaystyle \varphi (M_{a}\cap U)}$ находятся п-размерный аффинные подпространства чей первый п − п координаты постоянны.

Локально каждое слоение является погружение позволяя следующие

Определение. Позволять M и Q быть многообразиями размерности п и q≤п соответственно, и пусть ж : M→Q - субмерсия, т. е. предположим, что ранг функционального дифференциала ( Якобиан ) является q. Это следует из Теорема о неявной функции который ƒ индуцирует коразмерность -q слоение на M где листья определены как компоненты ж⁻¹(Икс) за Икс ∈ Q.^[14]

Это определение описывает измерение -п слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ из п-мерное многообразие M это покрыто диаграммы U_я вместе с картами

${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$

такой, что для перекрывающихся пар U_я, U_j то функции перехода φ_ij : р^п → р^п определяется

${\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}}$

принять форму

${\displaystyle \varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))}$

куда Икс обозначает первый q = п − п координаты и у обозначает последний п координаты. То есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}}$

Расщепление переходных функций φ_ij в ${\displaystyle \varphi _{ij}^{1}(x)}$ и ${\displaystyle \varphi _{ij}^{2}(x,y)}$ как часть погружения полностью аналогична расщеплению ${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }}$ в ${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)}$ и ${\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$ как часть определения правильного слоистого атласа. Это делает возможным другое определение слоений в терминах правильных атласов со слоями. Для этого сначала нужно доказать, что каждый правильный слоеный атлас коразмерности q связана с уникальным слоением ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ коразмерности q.^[13]

Доказательство [13]

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{a},\varphi _{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}$ - правильный слоистый атлас коразмерности q. Определите отношение эквивалентности на M установив Икс ~ у тогда и только тогда, когда есть ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-бляшка п0 такой, что Икс,у ∈ п0 или есть последовательность L = {п0,п1,⋅⋅⋅,пп} из ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-бляшки такие, что Икс ∈ п0, y ∈ пп, и пя ∩ пя-1 ≠ ∅ с 1 ≤ я ≤ п. Последовательность L будет называться цепочка для бляшек длиной p соединение Икс и у. В случае, если Икс,у ∈ п0, он сказал, что {п0} представляет собой цепочку бляшек длиной 0, соединяющую Икс и у. То, что ~ - отношение эквивалентности, очевидно. Также ясно, что каждый класс эквивалентности L представляет собой союз бляшек. С ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-бляшки могут перекрываться только в открытых подмножествах друг друга, L является локально топологически погруженным подмногообразием размерности п − q. Открытые подмножества бляшек п ⊂ L образуют основу локально евклидовой топологии на L измерения п − q и L явно связан в этой топологии. Также нетривиально проверить, что L является Хаусдорф. Основная проблема - показать, что L является второй счетный. Поскольку каждая табличка является 2-й счетной, то же самое верно и для L если будет показано, что множество ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-бляшки в L не более чем счетно бесконечно. Исправить один такой налет п0. По определению правильного слоеного атласа п0 встречается лишь конечное число других бляшек. То есть цепочек бляшек конечное число {п0,пя} длины 1. Индукцией по длине п цепочек зубного налета, которые начинаются в п0, аналогично доказывается, что существует лишь конечное число длин ≤ p. Поскольку каждый ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-налет в L по определению ~ достигается конечной цепочкой бляшек, начинающейся в п0, следует утверждение.

Как показано в доказательстве, слои слоения являются классами эквивалентности цепочек пластин длины ≤ п которые также являются топологически погруженными Хаусдорфом п-размерный подмногообразия. Далее показано, что отношение эквивалентности бляшек на листе выражается в эквивалентности когерентных слоистых атласов относительно их связи со слоением. В частности, если ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ слоистые атласы на M и если ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ связан со слоением ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ тогда ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ когерентны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ также связан с ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.^[10]

Доказательство [10]

Если ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ также связан с ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, каждый лист L это союз ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-бляшки и ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-бляшки. Эти пластины являются открытыми подмножествами в топологии многообразия L, следовательно, пересекаются в открытых подмножествах друг друга. Поскольку бляшки связаны, ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-налет не может пересекать ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-налет, если они не лежат на общем листе; так что слоистые атласы последовательны. И наоборот, если мы только знаем, что ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ связан с ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и это ${\displaystyle {\mathcal {V}}\approx {\mathcal {U}}}$, позволять Q быть ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-бляшка. Если L лист ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и ш ∈ L ∩ Q, позволять п ∈ L быть ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$- табличка с ш ∈ п. потом п ∩ Q открытый район ш в Q и п ∩ Q ⊂ L ∩ Q. С ш ∈ L ∩ Q произвольно, отсюда следует, что L ∩ Q открыт в Q. С L - произвольный лист, то Q распадается на непересекающиеся открытые подмножества, каждое из которых является пересечением Q с некоторым листом ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. С Q подключен, L ∩ Q = Q. Ну наконец то, Q произвольный ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-налет, и так ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ связан с ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Теперь очевидно, что соответствие между слоениями на M и связанные с ними слоеные атласы индуцируют взаимно однозначное соответствие между множеством слоений на M и множество классов когерентности слоеных атласов или, другими словами, слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ коразмерности q и класс C^р на M является классом когерентности слоеных атласов коразмерности q и класс C^р на M.^[15] К Лемма Цорна, очевидно, что каждый класс когерентности слоеных атласов содержит единственный максимальный слоистый атлас. Таким образом,

Определение. Слоение коразмерности q и класс C^р на M является максимальным слоеным C^р-атлас коразмерности q на M.^[15]

На практике для представления слоения обычно используется относительно небольшой атлас со слоями. Обычно также требуется, чтобы этот атлас был регулярным.

По графику U_я, полосы Икс = постоянный совпадать с полосами на других графиках U_j. Эти подмногообразия соединяются от диаграммы к карте, образуя максимальную связаны инъективно погруженные подмногообразия называется листья слоения.

Если сжать диаграмму U_я это можно записать как U_ix × U_иу, куда U_ix ⊂ р^п−п, U_иу ⊂ р^п, U_иугомеоморфен бляшкам, а точки U_ix параметризовать бляшки в U_я. Если выбрать у₀ в U_иу, тогда U_ix × {у₀} является подмногообразием U_я который пересекает каждую табличку ровно один раз. Это называется местным поперечный раздел слоения. Обратите внимание, что из-за монодромия глобальные трансверсальные сечения слоения могут не существовать.

Дело р = 0 довольно особенный. Те C⁰ Возникающие на практике слоения обычно бывают «гладколистными». Точнее они классные C^р,0, в следующем смысле.

Определение. Слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ классный C^{г, к}, р > k ≥ 0, если соответствующий класс когерентности слоеных атласов содержит регулярный слоеный атлас {U_α,Икс_α,у_α}_α∈А такая, что замена координатной формулы

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).}$

классный C^k, но Икс_α классный C^р в координатах Икс_β и его смешанный Икс_β частичные порядки ≤р находятся C^k в координатах (Икс_β,у_β).^[16]

Приведенное выше определение предлагает более общую концепцию расслоенное пространство или же абстрактное ламинирование. Можно ослабить условие, что трансверсали являются открытыми, относительно компактными подмножествами р^q, с учетом поперечных координат у_α взять их значения в более общем топологическом пространстве Z. Таблички по-прежнему являются открытыми, относительно компактными подгруппами р^п, замена формулы поперечной координаты у_α(у_β) непрерывна и Икс_α(Икс_β,у_β) является классным C^р в координатах Икс_β и его смешанный Икс_β частичные порядки ≤р непрерывны в координатах (Икс_β,у_β). Обычно требуется M и Z быть локально компактным, второй счетный и метризуемый. Это может показаться довольно диким обобщением, но есть контексты, в которых оно полезно.^[17]

Голономия

Позволять (M, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$) - слоистое многообразие. Если L лист ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и s это путь в L, интересует поведение слоения в окрестности s в M. Интуитивно обыватель листа идет по тропинке s, наблюдая за всеми ближайшими листьями. Как он, она или она (далее обозначается s(т)) продолжается, некоторые из этих листьев могут «отслоиться», выйдя за пределы видимости, другие могут внезапно появиться и приблизиться L асимптотически, другие могут следовать более или менее параллельно или кружиться L сбоку, так далее. Если s это петля, тогда s(т) многократно возвращается в одну и ту же точку s(т₀) в качестве т уходит в бесконечность, и каждый раз, когда все больше и больше листьев может появиться в поле зрения или исчезнуть, так далее. Такое поведение, если его формализовать должным образом, называется голономия слоения.

Голономия реализуется на слоистых многообразиях различными специфическими способами: полная группа голономии слоеных расслоений, псевдогруппа голономии общих слоеных многообразий, зародышевый группоид голономии общих слоеных многообразий, зародышевая группа голономии листа и инфинитезимальная группа голономии слоя. лист.

Слоистые пучки

Самый простой для понимания случай голономии - это полная голономия расслоенного пучка. Это обобщение понятия Карта Пуанкаре.

Поперечное сечение N и первая обратная карта ж куда M = S¹ × D² и N = D².

Период, термин "карта первого возврата (повторения)" происходит из теории динамических систем. Пусть Φ_т быть неособым C^р поток (р ≥ 1) на компакте п-многообразие M. В приложениях можно представить, что M это циклотрон или какой-то замкнутый контур с потоком жидкости. Если M имеет границу, поток предполагается касательным к границе. Поток порождает одномерное слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Если вспомнить положительное направление потока, но забыть о параметризации (форма траектории, скорость, так далее.), основное слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ называется ориентированным. Предположим, что поток допускает глобальное сечение N. То есть, N компактный, правильно встраиваемый, C^р подмногообразие M измерения п - 1 слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ поперек N, и каждая поточная линия встречается N. Поскольку размеры N и листы дополняют друг друга, условие трансверсальности таково, что

${\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.}$

Позволять у ∈ N и рассмотрим ω-установленный предел ω (у) всех точек накопления в M всех последовательностей ${\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }}$, куда т_k уходит в бесконечность. Можно показать, что ω (y) компактно, непусто и представляет собой объединение линий тока. Если ${\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),}$ есть ценность т* ∈ р такое, что Φ_т*(z) ∈ N и отсюда следует, что

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.}$

С N компактный и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ поперек N, следует, что множество {т > 0 | Φ_т(у) ∈ N} - монотонно возрастающая последовательность ${\displaystyle \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }}$ что расходится до бесконечности.

В качестве у ∈ N меняется, пусть τ(у) = τ₁(у), определяя таким образом положительную функцию τ ∈ C^р(N) (время первого возврата) такое, что для произвольного у ∈ N, Φ_т(у) ∉ N, 0 < т < τ(у), а Φ_τ(у)(у) ∈ N.

Определять ж : N → N по формуле ж(у) = Φ_τ(у)(у). Это C^р карта. Если поток обратный, точно такая же конструкция обеспечивает обратный ж⁻¹; так ж ∈ Diff^р(N). Этот диффеоморфизм является первым отображением возврата, а τ называется время первого возвращения. Хотя время первого возврата зависит от параметризации потока, должно быть очевидно, что ж зависит только от ориентированного слоения ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Можно перепараметризовать поток Φ_т, сохраняя это неособым, классным C^р, и не меняет своего направления, так чтоτ ≡ 1.

Предположение о том, что существует поперечное сечение потока N, является очень ограничительным, подразумевая, что M - полное пространство расслоения над S¹. Действительно, на р × N, определите ~_ж быть отношением эквивалентности, порожденным

${\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).}$

Эквивалентно, это орбитальная эквивалентность действия аддитивной группы Z на р × N определяется

${\displaystyle k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)),}$

для каждого k ∈ Z и для каждого (т,у) ∈ р × N. Цилиндр отображения ж определяется как C^р многообразие

${\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.}$

По определению первой карты возврата ж и предположение, что время первого возврата равно τ ≡ 1, сразу видно, что отображение

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.}$

определяется потоком, индуцирует канонический C^р диффеоморфизм

${\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.}$

Если мы сделаем идентификацию M_ж = M, то проекция р × N на р вызывает C^р карта

${\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

что делает M в общее пространство пучок волокон по кругу. Это просто проекция S¹ × D² на S¹. Слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ поперечно волокнам этого пучка и проекции пучкаπ, ограничено каждым листом L, является покрывающей картой π : L → S¹. Это называется расслоенный пучок.

Взять за точку отсчета Икс₀ ∈ S¹ класс эквивалентности 0 + Z; так что π⁻¹(Икс₀) - исходное сечение N. Для каждой петли s на S¹, на базе Икс₀, гомотопический класс [s] ∈ π₁(S¹,Икс₀) однозначно характеризуется deg s ∈ Z. Петля s поднимается до пути в каждой поточной линии, и должно быть ясно, что подъемник s_у что начинается в у ∈ N заканчивается в ж^k(у) ∈ N, куда k = град s. Диффеоморфизм ж^k ∈ Diff^р(N) также обозначается час_s и называется полная голономия петли s. Поскольку это зависит только от [s], это определение гомоморфизма

${\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),}$

называется тотальный гомоморфизм голономии для расслоенного расслоения.

Используя пучки волокон более прямым образом, пусть (M,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$) быть слоистой п-многообразие коразмерности q. Позволять π : M → B быть пучком волокон с q-мерное волокно F и связанное базовое пространство B. Предположим, что все эти структуры относятся к классу C^р, 0 ≤ р ≤ ∞, с условием, что если р = 0, B поддерживает C¹ структура. Поскольку каждый максимальный C¹ атлас на B содержит C^∞ subatlas, не теряется общность, если предположить, что B настолько гладкая, насколько желательно. Наконец, для каждого Икс ∈ B, предположим, что существует связная открытая окрестность U ⊆ B из Икс и локальная тривиализация

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}}$

куда φ это C^р диффеоморфизм (гомеоморфизм, если р = 0), несущий ${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$ к слоению произведения {U × {у}}_у ∈ F. Здесь, ${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$ слоение с листьями связными компонентами L ∩ π⁻¹(U), куда L колеблется над листьями ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Это общее определение термина «расслоение» (M,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, π) класса C^р.

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ трансверсальна слоям π (говорят, что ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ трансверсально расслоению) и что ограничение π на каждый лист L из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ накрывающее отображение π: L → B. В частности, каждое волокно F_Икс = π⁻¹(Икс) встречает каждый лист ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Волокно представляет собой поперечное сечение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ в полной аналогии с понятием сечения потока.

Слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ будучи поперечным волокнам, само по себе не гарантирует, что листья покрывают пространство B. Простой вариант проблемы - слоение р², поперечный расслоению

${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \pi (x,y)=x,}$

но с бесконечно большим количеством листьев без у-ось.На соответствующем рисунке предполагается, что листья со стрелками и все над ними асимптотичны по отношению к оси Икс = 0. Такое слоение называют неполным относительно расслоения, что означает, что некоторые из листьев «убегают в бесконечность» как параметр Икс ∈ B подходит к некоторым Икс₀ ∈ B. Точнее может быть лист L и непрерывный путь s : [0,а) → L такой, что lim_т→а−π (s(т)) = Икс₀ ∈ B, но lim_т→а−s(т) не существует в топологии многообразия L. Это аналогично случаю неполных потоков, когда некоторые линии потока «уходят в бесконечность» за конечное время. Хотя такой лист L может в другом месте встретить π⁻¹(Икс₀), он не может равномерно покрыть окрестность Икс₀, следовательно, не может быть накрытием B под π. Когда F компактна, правда, трансверсальность ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ расслоению гарантирует полноту, следовательно, ${\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}$ расслоение.

Есть атлас ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ = {U_α,Икс_α}_α∈A на B, состоящий из открытых связанных координатных карт вместе с тривиализацией φ_α : π⁻¹(U_α) → U_α × F которые несут ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$| π⁻¹(U_α) к произведению слоения. Набор W_α = π⁻¹(U_α) и писать φ_α = (Икс_α,у_α) где (злоупотреблением обозначениями) Икс_α представляет Икс_α ∘ π и у_α : π⁻¹(U_α) → F это погружение, полученное путем составления φ_α с канонической проекцией U_α × F → F.

Атлас ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ = {W_α,Икс_α,у_α}_α∈А играет роль, аналогичную слоистому атласу. Бляшки W_α наборы уровней у_α и это семейство бляшек идентично F через у_α. С B предполагается, что поддерживает C^∞ структура, согласно Теорема Уайтхеда можно зафиксировать риманову метрику на B и выберите атлас ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ быть геодезически выпуклым. Таким образом, U_α ∩ U_β всегда на связи. Если это пересечение непусто, каждая табличка W_α встречается ровно одна мемориальная доска W_β. Затем определите коцикл голономии ${\displaystyle \gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}}$ установив

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.}$

Примеры

Плоское пространство

Рассмотрим п-мерное пространство, расслоенное как произведение подпространствами, состоящими из точек, первые п − п координаты постоянны. Это можно охватить одной диаграммой. Утверждение состоит в том, что р^п = р^п−п × р^п с листьями или бляшками р^п перечисляется р^п−п. Аналогия видна непосредственно в трех измерениях, если взять п = 3 и п = 2: двумерные листы книги нумеруются (одномерным) номером страницы.

Связки

Довольно тривиальным примером слоений являются произведения M = B × F, покрытый листьями F_б = {б} × F, б ∈ B. (Еще одно слоение M дан кем-то B_ж = B × { F } ,  F  ∈ F.)

Более общий класс плоские грамм-бандлы с грамм = Homeo (F) для коллектора F. Учитывая представление ρ : π₁(B) → Homeo (F), квартира Homeo (F)-бандл с монодромией ρ дан кем-то ${\displaystyle M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi _{1}B}$, куда π₁(B) действует на универсальный чехол ${\displaystyle {\widetilde {B}}}$ к преобразования колоды и дальше F посредством представления ρ.

Плоские жгуты вписываются в рамки пучки волокон. Карта π : M → B между многообразиями является расслоением, если существует такое многообразие F, что каждое б ∈ B имеет открытый район U такой, что существует гомеоморфизм ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$ с ${\displaystyle \pi =p_{1}\varphi }$, с п₁ : U × F → U проекция на первый фактор. Расслоение слоев образует слоение на слои ${\displaystyle F_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B}$. Его пространство слоев L гомеоморфно B, в частности, L - хаусдорфово многообразие.

Покрытия

Если M → N это карта покрытия между коллекторами и F слоение на N, затем он возвращается к слоению на M. В более общем смысле, если карта - это просто разветвленное покрытие, где филиал локус поперечно слоению, то слоение можно стянуть.

Погружения

Если M^п → N^q, (q ≤ п) это погружение многообразий, из теорема об обратной функции что компоненты связности слоев субмерсии определяют коразмерность q слоение M. Пучки волокон являются примером этого типа.

Пример субмерсии, которая не является пучком волокон, дается формулой

${\displaystyle {\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}}$

Эта субмерсия дает слоение [−1, 1] × р который инвариантен относительно Z- действия, предоставленные

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)}$

за (Икс, у) ∈ [−1, 1] × р и п ∈ Z. Индуцированные слоения Z \ ([−1, 1] × р) называются двумерным слоением Риба (кольца) соответственно. 2-мерное неориентируемое слоение Риба (ленты Мёбиуса). Их листовые пространства не хаусдорфовы.

Слоения Риба

Определите погружение

${\displaystyle {\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}}$

куда (р, θ) ∈ [0, 1] × S^п−1 цилиндрические координаты на п-мерный диск D^п. Эта субмерсия дает слоение D^п × р который инвариантен относительно Z- действия, предоставленные

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+z)}$

за (Икс, у) ∈ D^п × р, z ∈ Z. Индуцированное слоение Z \ (D^п × р) называется п-размерный Слоение Риба. Его листовое пространство не хаусдорфово.

За п = 2, это дает слоение полнотория, которое можно использовать для определения Слоение Риба 3-сферы, склеив два полнотория по их границе. Слоения нечетномерных сфер S^2п+1 также явно известны.^[18]

Группы Ли

Если грамм это Группа Ли, и ЧАС это Подгруппа Ли, тогда грамм расслоен смежные классы из ЧАС. Когда ЧАС является закрыто в грамм, то факторное пространство грамм/ЧАС гладкая (Хаусдорф ) поворотный коллектор грамм в пучок волокон с волокном ЧАС и база грамм/ЧАС. Этот пучок волокон на самом деле главный, со структурной группой ЧАС.

Действия группы Ли

Позволять грамм - группа Ли, гладко действующая на многообразии M. Если действие местное свободное действие или же свободное действие, то орбиты грамм определить слоение M.

Линейные и кронекеровские слоения

Если ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ неособое (т.е., нигде ноль) векторное поле, то локальный поток, определяемый ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ склеивает вместе, чтобы определить слоение размерности 1. Действительно, для произвольной точки Икс ∈ M, дело в том, что ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ невырожденна позволяет найти координатную окрестность (U,Икс¹,...,Икс^п) о Икс такой, что

${\displaystyle -\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,}$

и

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid U.}$

Геометрически линии тока ${\displaystyle {\tilde {X}}\mid U}$ это просто наборы уровней

${\displaystyle x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,}$

где все ${\displaystyle |c^{i}|<\varepsilon .}$ Поскольку по соглашению многообразия являются вторыми счетными, листовые аномалии, такие как "длинная линия", исключаются второй счетностью M сам. Трудность можно обойти, потребовав, чтобы ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ быть полным полем (например, который M быть компактным), следовательно, каждый лист является поточной линией.

Линейное слоение ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$ на р² переходит в слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на Т². а) наклон рациональный (линейное слоение); б) наклон иррациональный (слоение Кронекера).

Иррациональное вращение на 2-торе.

Важный класс одномерных слоений на торе Т² получаются из проецирования постоянных векторных полей на Т². Постоянное векторное поле

${\displaystyle {\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$

на р² инвариантен для всех переводов в р², следовательно, переходит к четко определенному векторному полю Икс при проецировании на тор Т²= р²/Z². Предполагается, что а ≠ 0. Слоение ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$ на р² произведено ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ имеет параллельные прямые с наклоном θ = б/а. Это слоение также инвариантно относительно сдвигов и переходит в слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на Т² произведено Икс.

Каждый лист ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$ имеет форму

${\displaystyle {\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb\}_{t\in \mathbb {R} }.}$

Если наклон рациональный тогда все листья - замкнутые кривые гомеоморфный к круг. В этом случае можно взять а,б ∈ Z. Для фиксированных т ∈ р, точки ${\displaystyle {\tilde {L}}}$ соответствующие значениям т ∈ т₀ + Z все проекты в одной точке Т²; так что соответствующий лист L из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это вложенный круг в Т². С L произвольно, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ слоение Т² кругами. Достаточно легко следует, что это слоение на самом деле является расслоением π: Т² → S¹. Это известно как линейное слоение.

Когда наклон θ = б/а является иррациональный, листья некомпактны, гомеоморфны некомпактифицированным реальная линия, и плотный в торе (ср. Иррациональное вращение ). Траектория каждой точки (Икс₀,у₀) никогда не возвращается в ту же точку, но генерирует «всюду плотную» обмотку вокруг тора, т.е. приближается сколь угодно близко к любой данной точке. Таким образом, замыкание траектории представляет собой весь двумерный тор. Это дело называется Слоение Кронекера, после Леопольд Кронекер и его

Теорема Кронекера о плотности. Если действительное число θ отличается от каждого рационального числа, кратного π, то множество {е^inθ | п ∈ Z} плотно в единичной окружности.

Доказательство

Чтобы убедиться в этом, сначала заметьте, что если лист ${\displaystyle {\tilde {L}}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$ не проецируется один на один в Т^2, должно быть действительное число т ≠ 0 такое, что та и tb оба являются целыми числами. Но это означало бы, что б/а ∈ Q. Чтобы показать, что каждый лист L из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ плотно в Т^2, достаточно показать, что для каждого v ∈ р^2, каждый лист ${\displaystyle {\tilde {L}}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$ достигает сколь угодно малых положительных расстояний от подходящих точек смежного класса v + Z^2. Подходящий перевод на р^2 позволяет предположить, что v = 0; поэтому задача сводится к тому, чтобы показать, что ${\displaystyle {\tilde {L}}}$ проходит сколь угодно близко к подходящим точкам (п,м) ∈ Z^2. Линия ${\displaystyle {\tilde {L}}}$ имеет уравнение угла наклона ${\displaystyle y=\theta x+c.}$ Так что для произвольного п> 0 достаточно найти целые числа п и м такой, что ${\displaystyle |\theta n+c-m|<\eta .}$ Эквивалентно, c ∈ р произвольность сводится к тому, чтобы показать, что множество {θп − м}м,п∈Z плотно в р. По сути, это критерий Евдокс что θ и 1 несоизмеримы (т.е., что θ иррационально).

Аналогичная конструкция с использованием слоения р^п на параллельные прямые дает одномерное слоение п-тор р^п/Z^п связанный с линейный поток на торе.

Подвесные слоения

Плоское расслоение имеет не только слоение слоями, но и слоение, поперечное слоям, слои которого

${\displaystyle L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,}$

куда ${\displaystyle p:{\widetilde {B}}\times F\to M}$ - каноническая проекция. Это слоение называется приостановкой представления ρ : π₁(B) → Homeo (F).

В частности, если B = S¹ и ${\displaystyle \varphi :F\to F}$ является гомеоморфизмом F, то подвесное слоение ${\displaystyle \varphi }$ определяется как подвесное слоение представления ρ : Z → Homeo (F) данный ρ(z) = Φ^z. Пространство его листьев L = ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$/~, куда Икс ~ у в любое время у = Φ^п(Икс) для некоторых п ∈ Z.

Простейшим примером слоения на надстройку является многообразие Икс измерения q. Позволять ж : Икс → Икс быть биекцией. Один определяет приостановку M = S¹ ×_ж Икс как частное от [0,1] × Икс по отношению эквивалентности (1,Икс) ~ (0,ж(Икс)).

M = S¹ ×_ж Икс = [0,1] × Икс

Тогда автоматически M несет два слоения: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$₂ состоящий из наборов вида F_2,т = {(т,Икс)_~ : Икс ∈ Икс} и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$₁ состоящий из наборов вида F_2,Икс0 = {(т,Икс) : т ∈ [0,1] ,Икс ∈ O_Икс0}, где орбита O_Икс0 определяется как

О_Икс0 = {..., ж⁻²(Икс₀), ж⁻¹(Икс₀), Икс₀, ж(Икс₀), ж²(Икс₀), ...},

где показатель степени относится к тому, сколько раз функция ж составлен сам с собой. Обратите внимание, что O_Икс0 = O_ж(Икс0) = O_{ж⁻²(Икс0)}и т. д., так что то же самое верно и для F_1,Икс0. Понимание слоения ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$₁ эквивалентно пониманию динамики карты ж. Если коллектор Икс уже расслоен, можно использовать конструкцию для увеличения коразмерности слоения, пока ж сопоставляет листья с листьями.

Кронекеровы слоения 2-тора являются надстройками поворотов р_α : S¹ → S¹ по углу α ∈ [0, 2π).

Подвешивание тора с двумя отверстиями после резки и переклейки. а) тор с двумя отверстиями с разрезаемыми сечениями; б) геометрическая фигура после вырезания четырьмя гранями.

Более конкретно, если Σ = Σ₂ - двумерный тор с C¹, С² ∈ Σ две вложенные окружности пусть ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ - произведение слоения трехмерного многообразия M = Σ × S¹ с листьями Σ × {у}, у ∈ S¹. Обратите внимание, что N_я = C_я × S¹ является вложенным тором и что ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ поперек N_я, я = 1,2. Let Diff₊(S¹) обозначают группу сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S¹ и выберите ж₁,ж₂ ∈ Diff₊(S¹). Резать M отдельно вдоль N₁ и N₂, позволяя ${\displaystyle N_{i}^{+}}$ и ${\displaystyle N_{i}^{-}}$ обозначим полученные копии N_я, я = 1,2. На данный момент имеется многообразие M ' = Σ '× S₁ с четырьмя граничными компонентами ${\displaystyle \left\{N_{i}^{\pm }\right\}_{i=1,2}.}$ Слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ перешел в слоение ${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$ поперек границы ∂M ' , каждый лист которого имеет вид Σ '× {у}, у ∈ S¹.

Этот лист пересекает ∂M ' в четырех кругах ${\displaystyle C_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N_{i}^{\pm }.}$ Если z ∈ C_я, соответствующие точки в ${\displaystyle C_{i}^{\pm }}$ обозначаются z^± и ${\displaystyle N_{i}^{-}}$ "приучен" к ${\displaystyle N_{i}^{+}}$ по идентификации

${\displaystyle (z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.}$

С ж₁ и ж₂ сохраняющие ориентацию диффеоморфизмы S¹, они изотопны тождеству, а многообразие, полученное этой регулирующей операцией, гомеоморфно M. Листья ${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$, однако, соберите заново, чтобы получить новое слоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$(ж₁,ж₂) из M. Если лист L из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$(ж₁,ж₂) содержит кусок Σ '× {у₀}, тогда

${\displaystyle L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},}$

куда грамм ⊂ Diff₊(S¹) - подгруппа, порожденная {ж₁,ж₂}. Эти копии Σ 'связаны друг с другом отождествлениями

(z⁻,грамм(у₀)) ≡ (z⁺,ж₁(грамм(у₀))) для каждого z ∈ C₁,

(z⁻,грамм(у₀)) ≡ (z⁺,ж₂(грамм(у₀))) для каждого z ∈ C₂,

куда грамм колеблется над грамм. Лист полностью определяется грамм-орбита у₀ ∈ S¹ и может он быть простым или чрезвычайно сложным. Например, лист будет компактным именно тогда, когда соответствующий грамм-орбита конечна. В качестве крайнего примера, если грамм тривиально (ж₁ = ж₂ = id_S¹), тогда ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$(ж₁,ж₂) = ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Если орбита плотна в S¹соответствующий лист плотен в M. Например, если ж₁ и ж₂ являются вращениями через рационально независимые кратные 2π, каждый лист будет плотным. В других примерах некоторые листы L имеет закрытие ${\displaystyle {\bar {L}}}$ что соответствует каждому фактору {ш} × S¹ в Кантор набор. Аналогичные построения можно построить на Σ × я, куда я компактный невырожденный интервал. Здесь берется ж₁,ж₂ ∈ Diff₊(я) и, поскольку ∂я фиксируется поточечно всеми сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами, получается слоение, имеющее две компоненты ∂M как уходит. Когда формируется M ' в этом случае получается расслоенное многообразие с углами. В любом случае эта конструкция называется приостановка пары диффеоморфизмов и является плодородным источником интересных примеров слоений коразмерности один.

Слоения и интегрируемость

Есть близкие отношения, при условии, что все гладкий, с векторные поля: задано векторное поле Икс на M это никогда не ноль, это интегральные кривые даст одномерное слоение. (т.е. коразмерность п − 1 слоение).

Это наблюдение обобщает Теорема Фробениуса, говоря, что необходимые и достаточные условия для распределения (т.е. п − п размерный подгруппа из касательный пучок многообразия) касаться слоев слоения, состоит в том, что множество векторных полей, касающихся распределения, замкнуто относительно Кронштейн лжи. Можно также сформулировать это иначе, как вопрос сокращение структурной группы из касательный пучок из GL (п) к приводимой подгруппе.

Условия теоремы Фробениуса выглядят как условия интегрируемости; и утверждение состоит в том, что если они выполняются, сокращение может иметь место, потому что существуют локальные функции перехода с требуемой структурой блока. Например, в случае коразмерности 1 мы можем определить касательное расслоение слоения как кер (α), для некоторых (неканонических) α ∈ Ω¹ (т.е. ненулевое ковекторное поле). Данный α интегрируема тогда и только тогда, когда α ∧ dα = 0 повсюду.

Существует теория глобального слоения, потому что существуют топологические ограничения. Например, в поверхность случай, всюду ненулевое векторное поле может существовать на ориентируемый компактный поверхность только для тор. Это следствие Теорема Пуанкаре – Хопфа об индексе, который показывает Эйлерова характеристика должно быть 0. Есть много глубоких связей с контактная топология, что является «противоположным» понятием.

Существование слоений

Хефлигер (1970) дал необходимое и достаточное условие гомотопности распределения на связном некомпактном многообразии интегрируемому распределению. Терстон (1974, 1976 ) показал, что любое компактное многообразие с распределением имеет слоение той же размерности.

Смотрите также

• G-структура
• Структура Хефлигера, обобщение слоений, замкнутое относительно обратных движений.
• Ламинирование
• Слоение Риба 3-х сфер.
• Тугое слоение

Примечания

1. Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 5
2. Аносова (2001), «Слоение» в Энциклопедия математики
3. Гургулхон 2012, стр. 56
4. Г. Риб, Ремарк на фельетах структур. Бык. Soc. Математика. Франция 87 (1959), 445–450.
5. Х. Б. Лоусон мл. Слоения. Бык. Амер. Математика. Soc. 80 (1974), 369–418.
6. Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 19
7. Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 20
8. Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 23
9. Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 25
10. Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 26
11. Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 27
12. Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 28
13. Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 29
14. Лоусон, Х. Блейн (1974), «Слоения», Бюллетень Американского математического общества, 80 (3): 369–418, ISSN  0040-9383
15. Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 31 год
16. Кандел и Конлон, 2000, Слоения I, стр. 31–31.
17. Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 32
18. Дёрфи: Слоения нечетных сфер. Анналы математики, Вторая серия, Vol. 96, No. 2 (сентябрь 1972 г.), стр. 407–411.

Рекомендации

• Аносов, Д. (2001) [1994], "Слоение", Энциклопедия математики, EMS Press
• Кандел, Альберто; Конлон, Лоуренс (2000). Слоения I. Аспирантура по математике. 23. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0809-5.
• Кандел, Альберто; Конлон, Лоуренс (2003). Слоения II. Аспирантура по математике. 60. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0809-5.
• Гургулхон, Эрик (2012). 3 + 1 Формализм в общей теории относительности. Конспект лекций по физике. 846. Гейдельберг, Нью-Йорк, Дордрехт, Лондон: Springer. Дои:10.1007/978-3-642-24525-1. ISBN  978-3-642-24524-4.
• Haefliger, Андре (1970), "Feuilletages sur les varétés ouvertes", Топология, 9 (2): 183–194, Дои:10.1016/0040-9383(70)90040-6, ISSN  0040-9383, МИСТЕР  0263104
• Лоусон, Х. Блейн (1974), "Слоения", Бюллетень Американского математического общества, 80 (3): 369–418, Дои:10.1090 / S0002-9904-1974-13432-4, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  0343289
• Moerdijk, Ике; Мрчун, J. (2003), Введение в слоения и группоиды Ли, Кембриджские исследования по высшей математике, 91, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-83197-0, МИСТЕР  2012261
• Риб, Жорж (1952), Sur surees propriétés topologiques des varés feuilletées, Actualités Sci. Ind., Нет. 1183, Hermann & Cie., Париж, МИСТЕР  0055692
• Терстон, Уильям (1974), «Теория слоений коразмерности больше единицы», Комментарии Mathematici Helvetici, 49: 214–231, Дои:10.1007 / BF02566730, ISSN  0010-2571, МИСТЕР  0370619
• Терстон, Уильям П. (1976), "Существование слоений коразмерности один", Анналы математики, Вторая серия, Анналы математики, 104 (2): 249–268, Дои:10.2307/1971047, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971047, МИСТЕР  0425985

внешняя ссылка

• Слоения в Manifold Atlas