Интегральная кривая - Integral curve

Три интегральные кривые для поле склонов соответствующее дифференциальному уравнению dy / dx = Икс² − Икс − 2.

В математика, интегральная кривая это параметрическая кривая который представляет собой конкретное решение обыкновенное дифференциальное уравнение или система уравнений. Если дифференциальное уравнение представить в виде векторное поле или же поле склонов, то соответствующие интегральные кривые имеют вид касательная к полю в каждой точке.

Интегральные кривые известны под различными другими названиями в зависимости от природы и интерпретации дифференциального уравнения или векторного поля. В физика, интегральные кривые для электрическое поле или же магнитное поле известны как полевые линии, и интегральные кривые для поле скорости из жидкость известны как рационализирует. В динамические системы, интегральные кривые для дифференциального уравнения, задающего система называются траектории или же орбиты.

Определение

Предположим, что F это векторное поле: это вектор-функция с Декартовы координаты (F₁,F₂,...,F_п); и Икс(т) а параметрическая кривая с декартовыми координатами (Икс₁(т),Икс₂(т),...,Икс_п(т)). потом Икс(т) является интегральная кривая из F если это решение следующих автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}}$

Такую систему можно записать как одно векторное уравнение

${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).\!\,}$

Это уравнение говорит, что вектор, касающийся кривой в любой точке Икс(т) вдоль кривой - это в точности вектор F(Икс(т)), так что кривая Икс(т) касается в каждой точке векторного поля F.

Если данное векторное поле Липшицева непрерывная, то Теорема Пикара – Линделёфа означает, что существует уникальный поток за малое время.

Обобщение на дифференцируемые многообразия

Определение

Позволять M быть Банахово многообразие класса C^р с р ≥ 2. Как обычно, TM обозначает касательный пучок из M с его естественным проекция π_M : ТM → M данный

${\displaystyle \pi _{M}:(x,v)\mapsto x.}$

Векторное поле на M это поперечное сечение касательного расслоения TM, т.е. присвоение каждой точке многообразия M касательного вектора к M в таком случае. Позволять Икс быть векторным полем на M класса C^р−1 и разреши п ∈ M. An интегральная кривая за Икс проходя через п вовремя т₀ кривая α : J → M класса C^р−1, определенные на открытый интервал J из реальная линия р содержащий т₀, так что

${\displaystyle \alpha (t_{0})=p;\,}$

${\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha (t)){\mbox{ for all }}t\in J.}$

Связь с обыкновенными дифференциальными уравнениями

Приведенное выше определение интегральной кривой α для векторного поля Икс, проходя через п вовремя т₀, то же самое, что сказать, что α является локальным решением обыкновенного дифференциального уравнения / начальной задачи

${\displaystyle \alpha (t_{0})=p;\,}$

${\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha (t)).\,}$

Он является локальным в том смысле, что он определен только для времени в J, и не обязательно для всех т ≥ т₀ (не говоря уже о т ≤ т₀). Таким образом, проблема доказательства существования и единственности интегральных кривых такая же, как и проблема поиска решений обыкновенных дифференциальных уравнений / задач начального значения и демонстрации их единственности.

Замечания о производной по времени

В приведенном выше описании α′(т) обозначает производную от α вовремя т, направление α указывает "на время т. С более абстрактной точки зрения, это Производная Фреше:

${\displaystyle (\mathrm {d} _{t}f)(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha (t)}M.}$

В частном случае, когда M некоторые открытое подмножество из р^п, это знакомая производная

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \alpha _{1}}{\mathrm {d} t}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} \alpha _{n}}{\mathrm {d} t}}\right),}$

куда α₁, ..., α_п координаты для α относительно обычных координатных направлений.

То же самое можно сформулировать еще более абстрактно в терминах индуцированные карты. Отметим, что касательное расслоение TJ из J это тривиальная связка J × р и есть канонический поперечное сечение ι этого пучка так, что ι(т) = 1 (точнее, (т, 1)) для всех т ∈ J. Кривая α вызывает карта пакета α_∗ : ТJ → ТM так что следующая диаграмма коммутирует:

Тогда производная по времени α' это сочинение α′ = α_∗ о ι, и α′(т) - его значение в какой-то моментт ∈ J.

Рекомендации

• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные коллекторы. Рединг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.