Автономная система (математика) - Autonomous system (mathematics)

В математика, автономная система или же автономное дифференциальное уравнение это система из обыкновенные дифференциальные уравнения который не зависит явно от независимая переменная. Когда переменная - время, их также называют инвариантные во времени системы.

Многие законы в физика, где обычно предполагается, что независимая переменная равна время, выражаются как автономные системы, поскольку предполагается, что законы природы которые действуют сейчас, идентичны таковым для любой точки в прошлом или будущем.

Автономные системы тесно связаны с динамические системы. Любую автономную систему можно превратить в динамическую.^{[нужна цитата ]} и, используя очень слабые предположения^{[нужна цитата ]}, динамическая система может быть преобразована в автономную систему^{[нужна цитата ]}.

Определение

An автономная система это система обыкновенных дифференциальных уравнений формы

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))}$

куда Икс принимает значения в п-размерный Евклидово пространство; т часто интерпретируется как время.

Он отличается от систем дифференциальных уравнений вида

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)}$

в котором закон эволюции системы нет зависят не только от текущего состояния системы, но и от параметра т, также часто интерпретируется как время; такие системы по определению не являются автономными.

Характеристики

Позволять ${\displaystyle x_{1}(t)}$ быть уникальным решением проблема начального значения для автономной системы

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,\mathrm {,} \quad x(0)=x_{0}}$.

потом ${\displaystyle x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})}$ решает

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,\mathrm {,} \quad x(t_{0})=x_{0}}$.

Действительно, обозначая ${\displaystyle s=t-t_{0}}$ у нас есть ${\displaystyle x_{1}(s)=x_{2}(t)}$ и ${\displaystyle ds=dt}$, таким образом

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t))}$.

Для начального условия проверка тривиальна,

${\displaystyle x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}}$.

Пример

Уравнение ${\displaystyle y'=(2-y)y}$ автономна, так как независимая переменная, назовем ее ${\displaystyle x}$, не появляется в уравнении явно. Чтобы построить поле склонов и изоклина для этого уравнения можно использовать следующий код в GNU Octave /MATLAB

Ffun = @(Икс, Y)(2 - Y) .* Y; % функция f (x, y) = (2-y) y[Икс, Y] = сетка(0:.2:6, - 1:.2:3); % выберите размеры участкаDY = Ffun(Икс, Y); DX = те(размер(DY)); % генерировать значения графикаколчан(Икс, Y, DX, DY, 'k'); % отобразить поле направления черным цветомдержать на;контур(Икс, Y, DY, [0 1 2], 'грамм'); % добавить изоклины (0 1 2) зеленым цветомзаглавие('Поле наклона и изоклины для f (x, y) = (2-y) y')

Из графика видно, что функция ${\displaystyle (2-y)y}$ является ${\displaystyle x}$-инвариантна, как и форма решения, т.е. ${\displaystyle y(x)=y(x-x_{0})}$ за любую смену ${\displaystyle x_{0}}$.

Решая уравнение символически в MATLAB, запустив

у = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'Икс'); % решить уравнение символически

получаем два равновесие решения, ${\displaystyle y=0}$ и ${\displaystyle y=2}$, и третье решение с неизвестной константой ${\displaystyle C_{3}}$,

у(3) = - 2 / (exp(C3 - 2 * Икс) - 1)

Подбирая некоторые конкретные значения для начальное состояние, мы можем добавить график нескольких решений

y1 = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'у (1) = 1', 'Икс'); % решить задачу начального значения символическиy2 = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'у (2) = 1', 'Икс'); % для разных начальных условийy3 = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'у (3) = 1', 'Икс'); y4 = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'у (1) = 3', 'Икс');y5 = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'у (2) = 3', 'Икс'); y6 = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'у (3) = 3', 'Икс');ezplot(y1, [0 6]); ezplot(y2, [0 6]); % построить решенияezplot(y3, [0 6]); ezplot(y4, [0 6]); ezplot(y5, [0 6]); ezplot(y6, [0 6]);заглавие('Поле наклона, изоклины и решения для f (x, y) = (2-y) y')легенда('Поле уклона', 'Изоклины', 'Решения y_ {1..6}');текст([1 2 3], [1 1 1], strcat(' leftarrow', {'y_1', 'y_2', 'y_3'}));текст([1 2 3], [3 3 3], strcat(' leftarrow', {'y_4', 'y_5', 'y_6'}));сетка на;

Поле откосов с изоклинами и решениями

Качественный анализ

Автономные системы можно качественно проанализировать с помощью фазовое пространство; в случае одной переменной это фазовая линия.

Методы решения

Следующие методы применимы к одномерным автономным дифференциальным уравнениям. Любое одномерное уравнение порядка ${\displaystyle n}$ эквивалентен ${\displaystyle n}$-мерная система первого порядка (как описано в Обыкновенное дифференциальное уравнение # Сведение к системе первого порядка ), но не обязательно наоборот.

Первый заказ

Автономное уравнение первого порядка

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)}$

является отделяемый, поэтому ее легко решить, перейдя в интегральную форму

${\displaystyle t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$

Второго порядка

Автономное уравнение второго порядка

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')}$

сложнее, но это решаемо^[1] введя новую переменную

${\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}}$

и выражая вторая производная из ${\displaystyle x}$ (через Правило цепи ) в качестве

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}}$

так что исходное уравнение становится

${\displaystyle v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)}$

которое является уравнением первого порядка, не содержащим ссылки на независимую переменную ${\displaystyle t}$ и если решено обеспечивает ${\displaystyle v}$ как функция ${\displaystyle x}$. Затем, вспоминая определение ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}}$

что является неявным решением.

Особый случай: Икс'' = ж(Икс)

Частный случай, когда ${\displaystyle f}$ не зависит от ${\displaystyle x'}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)}$

пользу от раздельного лечения.^[2] Эти типы уравнений очень распространены в классическая механика потому что они всегда Гамильтоновы системы.

Идея состоит в том, чтобы использовать личность (за исключением деление на ноль вопросы)

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}}$

что следует из Правило цепи. Отметим в стороне, что, инвертируя обе стороны автономной системы первого порядка, можно немедленно интегрировать относительно ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$

Это еще один способ взглянуть на технику разделения переменных. Тогда возникает естественный вопрос: можем ли мы сделать что-то подобное с уравнениями более высокого порядка? Ответ положительный для уравнений второго порядка, но есть над чем поработать. Вторая производная должна быть выражена как производная по отношению к ${\displaystyle x}$ вместо ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dt}}\right){\frac {dx}{dt}}={\frac {d}{dx}}\left(\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\right)\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}=\\&=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=\\&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)\end{aligned}}}$

Еще раз подчеркнем: было достигнуто то, что вторая производная в ${\displaystyle t}$ был выражен как производная от ${\displaystyle x}$. Затем исходное уравнение второго порядка может быть окончательно интегрировано:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)=f(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}=2\int f(x)dx+C_{1}}$

${\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}}$

${\displaystyle t+C_{2}=\pm \int {\frac {dx}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}}$

Это неявное решение, и помимо этого самая большая потенциальная проблема заключается в невозможности упростить интегралы, что подразумевает трудность или невозможность вычисления постоянных интегрирования.

Особый случай: Икс'' = Икс'^п ж(Икс)

Используя вышеупомянутый менталитет, мы можем расширить эту технику до более общего уравнения

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{n}f(x)}$

куда ${\displaystyle n}$ - некоторый параметр, не равный двум. Это будет работать, поскольку вторая производная может быть записана в форме, включающей степень ${\displaystyle x'}$. Переписываем вторую производную, переставляем и выражаем левую часть как производную:

${\displaystyle -\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-n}f(x)}$

${\displaystyle -\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=f(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2-n}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}\right)=f(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}=(2-n)\int f(x)dx+C_{1}}$

${\displaystyle t+C_{2}=\int \left((2-n)\int f(x)dx+C_{1}\right)^{\frac {1}{n-2}}dx}$

Право будет нести +/-, если ${\displaystyle n}$ даже. Лечение должно быть другим, если ${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle -\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=f(x)}$

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left(\ln \left({\frac {dt}{dx}}\right)\right)=f(x)}$

${\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=C_{1}e^{-\int f(x)dx}}$

${\displaystyle t+C_{2}=C_{1}\int e^{-\int f(x)dx}dx}$

Высшие порядки

Аналогичного метода решения автономных уравнений третьего и более высокого порядка не существует. Такие уравнения могут быть решены точно, только если они обладают каким-либо другим упрощающим свойством, например линейность или зависимость правой части уравнения только от зависимой переменной^[3][4] (т.е. не его производные). Это не должно вызывать удивления, учитывая, что нелинейные автономные системы в трех измерениях могут действительно создавать хаотичный поведение, такое как Аттрактор Лоренца и Аттрактор Рёсслера.

При таком менталитете также неудивительно, что общие неавтономные уравнения второго порядка не могут быть решены явно, поскольку они также могут быть хаотическими (примером этого является периодически принудительный маятник^[5]).

Смотрите также

• Инвариантная во времени система
• Неавтономная система (математика)

Рекомендации

1. Бойс, Уильям Э .; Ричард С. ДиПрима (2005). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи объема (8-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 133. ISBN  0-471-43338-1.
2. Автономное уравнение второго порядка в eqworld.
3. Автономное уравнение третьего порядка в eqworld.
4. Автономное уравнение четвертого порядка в eqworld.
5. Бланшар; Девани; Холл (2005). Дифференциальные уравнения. Brooks / Cole Publishing Co., стр. 540–543. ISBN  0-495-01265-3.