Дифференциально-алгебраическая система уравнений - Differential-algebraic system of equations

В математика, а дифференциально-алгебраическая система уравнений (DAE) это система уравнений который либо содержит дифференциальные уравнения и алгебраические уравнения, или эквивалент такой системы. Такие системы встречаются как общая форма (систем) дифференциальные уравнения для векторнозначных функций Икс в одной независимой переменной т,

${\displaystyle F({\dot {x}}(t),\,x(t),\,t)=0}$

куда ${\displaystyle x:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ вектор зависимых переменных ${\displaystyle x(t)=(x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t))}$ и в системе столько же уравнений, ${\displaystyle F=(F_{1},\dots ,F_{n}):\mathbb {R} ^{2n+1}\to \mathbb {R} ^{n}}$.Они отличаются от обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE) в том смысле, что DAE не является полностью разрешимой для производных всех компонентов функции Икс потому что они могут появиться не все (т.е. некоторые уравнения являются алгебраическими); технически различие между неявной системой ODE [которая может быть выражена явно] и системой DAE заключается в том, что Матрица якобиана ${\displaystyle {\frac {\partial F(u,v,t)}{\partial u}}}$ это сингулярная матрица для системы DAE.^[1] Это различие между ODE и DAE проводится потому, что DAE имеют разные характеристики и, как правило, их сложнее решить.^[2]

На практике различие между DAE и ODE часто заключается в том, что решение системы DAE зависит от производных входного сигнала, а не только от самого сигнала, как в случае ODE;^[3] эта проблема часто встречается в системах с гистерезис,^[4] такой как Триггер Шмитта.^[5]

Эта разница будет более отчетливо видна, если систему можно будет переписать так, чтобы вместо Икс мы рассматриваем пару ${\displaystyle (x,y)}$ векторов зависимых переменных и ДАУ имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=f(x(t),y(t),t),\\0&=g(x(t),y(t),t).\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{m}}$, ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{m}.}$

Система DAE такой формы называется полу-явный.^[1] Каждое решение второй половины грамм уравнения определяет единственное направление для Икс через первую половину ж уравнений, а направление для у произвольно. Но не все (х, у, т) это решение грамм. Переменные в Икс и первая половина ж уравнений получают атрибут дифференциал. Компоненты у и вторая половина грамм уравнений называются алгебраический переменные или уравнения системы. [Период, термин алгебраический в контексте DAE означает только без производных и не имеет отношения к (абстрактной) алгебре.]

Решение DAE состоит из двух частей: первая - поиск согласованных начальных значений, а вторая - вычисление траектории. Чтобы найти согласованные начальные значения, часто необходимо рассматривать производные некоторых из составляющих функций DAE. Наивысший порядок производной, необходимый для этого процесса, называется индекс дифференциации. Уравнения, полученные при вычислении индекса и согласованных начальных значений, также могут быть использованы при вычислении траектории. Полуявную систему DAE можно преобразовать в неявную, уменьшив индекс дифференцирования на единицу, и наоборот.^[6]

Другие формы DAE

Отличие DAE от ODE становится очевидным, если некоторые зависимые переменные встречаются без их производных. Тогда вектор зависимых переменных можно записать в виде пары ${\displaystyle (x,y)}$ и система дифференциальных уравнений ДАУ имеет вид

${\displaystyle F\left({\dot {x}},x,y,t\right)=0}$

куда

• ${\displaystyle x}$, вектор в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, являются зависимыми переменными, для которых имеются производные (дифференциальные переменные),
• ${\displaystyle y}$, вектор в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, являются зависимыми переменными, для которых нет производных (алгебраические переменные),
• ${\displaystyle t}$, скаляр (обычно время) - независимая переменная.
• ${\displaystyle F}$ вектор ${\displaystyle n+m}$ функции, которые включают подмножества этих ${\displaystyle n+m+1}$ переменные и ${\displaystyle n}$ производные.

В целом набор DAE - это функция

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{(2n+m+1)}\to \mathbb {R} ^{(n+m)}.}$

Начальные условия должны быть решением системы уравнений вида

${\displaystyle F\left({\dot {x}}(t_{0}),\,x(t_{0}),y(t_{0}),t_{0}\right)=0.}$

Примеры

Поведение маятник длины L с центром в (0,0) в декартовых координатах (х, у) описывается Уравнения Эйлера – Лагранжа.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,&{\dot {y}}&=v,\\{\dot {u}}&=\lambda x,&{\dot {v}}&=\lambda y-g,\\x^{2}+y^{2}&=L^{2},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \lambda }$ это Множитель Лагранжа. Импульсные переменные ты и v должны ограничиваться законом сохранения энергии, и их направление должно указывать вдоль окружности. Ни одно из условий не является явным в этих уравнениях. Дифференцирование последнего уравнения приводит к

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {x}}\,x+{\dot {y}}\,y&=0\\\Rightarrow &&u\,x+v\,y&=0,\end{aligned}}}$

ограничение направления движения касательной к окружности. Из следующей производной этого уравнения следует

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {u}}\,x+{\dot {v}}\,y+u\,{\dot {x}}+v\,{\dot {y}}&=0,\\\Rightarrow &&\lambda (x^{2}+y^{2})-gy+u^{2}+v^{2}&=0,\\\Rightarrow &&L^{2}\,\lambda -gy+u^{2}+v^{2}&=0,\end{aligned}}}$

и производная этого последнего тождества упрощается до ${\displaystyle L^{2}{\dot {\lambda }}-3gv=0}$ что неявно подразумевает сохранение энергии, поскольку после интегрирования константа ${\displaystyle E={\tfrac {3}{2}}gy-{\tfrac {1}{2}}L^{2}\lambda ={\frac {1}{2}}(u^{2}+v^{2})+gy}$ представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии.

Для получения уникальных значений производной для всех зависимых переменных последнее уравнение дифференцировалось трижды. Это дает индекс дифференциации 3, который типичен для механических систем с ограничениями.

Если начальные значения ${\displaystyle (x_{0},u_{0})}$ и знак для у даны, остальные переменные определяются через ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {L^{2}-x^{2}}}}$, и если ${\displaystyle y\neq 0}$ тогда ${\displaystyle v=-ux/y}$ и ${\displaystyle \lambda =(gy-u^{2}-v^{2})/L^{2}}$. Чтобы перейти к следующему пункту, достаточно получить производные от Икс и ты, то есть решаемая система теперь

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,\\{\dot {u}}&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^{2}+y^{2}-L^{2},\\0&=ux+vy,\\0&=u^{2}-gy+v^{2}+L^{2}\,\lambda .\end{aligned}}}$

Это полуявная ДАУ индекса 1. Другой набор аналогичных уравнений может быть получен, начиная с ${\displaystyle (y_{0},v_{0})}$ и знак для Икс.

DAE также естественным образом возникают при моделировании цепей с нелинейными устройствами. Модифицированный узловой анализ использование DAE используется, например, в повсеместных СПЕЦИЯ семейство симуляторов цифровых схем.^[7] По аналогии, Фраунгофера Аналоговые вставки Mathematica пакет может использоваться для получения DAE из список соединений а затем упростить или даже в некоторых случаях решить уравнения символически.^[8][9] Стоит отметить, что индекс DAE (схемы) можно сделать произвольно высоким путем каскадирования / связи через конденсаторы. операционные усилители с положительный отзыв.^[4]

Полуявный DAE индекса 1

DAE формы

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t),\\0&=g(x,y,t).\end{aligned}}}$

называются полуявными. Свойство index-1 требует, чтобы грамм является разрешимый за у. Другими словами, индекс дифференцирования равен 1, если путем дифференцирования алгебраических уравнений для т результаты неявной системы ODE,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t)\\0&=\partial _{x}g(x,y,t){\dot {x}}+\partial _{y}g(x,y,t){\dot {y}}+\partial _{t}g(x,y,t),\end{aligned}}}$

который разрешим для ${\displaystyle ({\dot {x}},\,{\dot {y}})}$ если ${\displaystyle \det \left(\partial _{y}g(x,y,t)\right)\neq 0.}$

Всякая достаточно гладкая ДАУ почти всюду сводится к этой полуявной форме индекса-1.

Численная обработка DAE и приложений

Две основные проблемы при решении DAE: снижение индекса и согласованные начальные условия. Большинство числовых решателей требуют обыкновенные дифференциальные уравнения и алгебраические уравнения формы

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

Преобразование произвольных систем DAE в ODE для решения с помощью чистых решателей ODE - нетривиальная задача. Можно использовать следующие методы: Алгоритм Пантелидеса и метод уменьшения индекса фиктивной производной. В качестве альтернативы также возможно прямое решение высокоиндексных DAE с несовместимыми начальными условиями. Этот подход к решению включает преобразование производных элементов через ортогональная коллокация на конечных элементах или же прямая транскрипция в алгебраические выражения. Это позволяет решать ДАУ любого индекса без преобразования в форме открытого уравнения.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f\left({\frac {dx}{dt}},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

Как только модель была преобразована в форму алгебраического уравнения, она может быть решена крупномасштабными решателями нелинейного программирования (см. APMonitor ).

Сговорчивость

Были разработаны несколько показателей управляемости DAE с точки зрения численных методов, например: индекс дифференциации, индекс возмущения, индекс управляемости, геометрический индекс, а Индекс Кронекера.^[10][11]

Структурный анализ DAE

Мы используем ${\displaystyle \Sigma }$-метод анализа DAE. Построим для DAE матрицу сигнатур ${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{i,j})}$, где каждая строка соответствует каждому уравнению ${\displaystyle f_{i}}$ и каждый столбец соответствует каждой переменной ${\displaystyle x_{j}}$. Вход в позицию ${\displaystyle (i,j)}$ является ${\displaystyle \sigma _{i,j}}$, обозначающий высший порядок производной, к которому ${\displaystyle x_{j}}$ происходит в ${\displaystyle f_{i}}$, или же ${\displaystyle -\infty }$ если ${\displaystyle x_{j}}$ не встречается в ${\displaystyle f_{i}}$.

Для маятникового DAE выше переменные: ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x,y,u,v,\lambda )}$. Соответствующая матрица подписи

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}1&-&0^{\bullet }&-&-\\-&1^{\bullet }&-&0&-\\0&-&1&-&0^{\bullet }\\-&0&-&1^{\bullet }&0\\0^{\bullet }&0&-&-&-\end{bmatrix}}}$

Смотрите также

• Алгебраическое дифференциальное уравнение, другая концепция, несмотря на похожее название
• Дифференциальное уравнение задержки
• Алгебраическое уравнение с частными производными
• Modelica Язык

Рекомендации

1. Ури М. Ашер; Линда Р. Петцольд (1998). Компьютерные методы решения обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений. СИАМ. п. 12. ISBN  978-1-61197-139-2.
2. Ахим Ильхманн; Тимо Рейс (2014). Обзоры по дифференциально-алгебраическим уравнениям II. Springer. С. 104–105. ISBN  978-3-319-11050-9.
3. Ренате Меркер; Вольфганг Шварц, ред. (2001). Автоматизация проектирования систем: основы, принципы, методы, примеры. Springer Science & Business Media. п.221. ISBN  978-0-7923-7313-1.
4. К. Э. Бренан; С. Л. Кэмпбелл; Л. Р. Петцольд (1996). Численное решение начальных задач в дифференциально-алгебраических уравнениях. СИАМ. С. 173–177. ISBN  978-1-61197-122-4.
5. Günther, M .; Feldmann, U .; Тер Матен, Дж. (2005). «Моделирование и дискретизация схемотехнических задач». Численные методы в электромагнетизме. Справочник по численному анализу. 13. п. 523. Дои:10.1016 / S1570-8659 (04) 13006-8. ISBN  978-0-444-51375-5., стр. 529-531
6. Ашер и Петцольд, стр. 234
7. Рикардо Риаса (2013). «DAE в схемотехническом моделировании: обзор». У Ахима Ильхмана; Тимо Рейс (ред.). Обзоры по дифференциально-алгебраическим уравнениям I. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-34928-7.
8. Platte, D .; Jing, S .; Sommer, R .; Барке, Э. (2007). «Повышение эффективности и надежности аналоговых моделей поведения». Достижения в области проектирования и языков спецификации для встраиваемых систем. п. 53. Дои:10.1007/978-1-4020-6149-3_4. ISBN  978-1-4020-6147-9.
9. Hauser, M .; Salzig, C .; Дрейер, А. (2011). «Быстрое и надежное сокращение порядка символьных моделей с помощью аналоговых вставок». Компьютерная алгебра в научных вычислениях. Конспект лекций по информатике. 6885. п. 215. Дои:10.1007/978-3-642-23568-9_17. ISBN  978-3-642-23567-2.
10. Рикардо Риаса (2008). Дифференциально-алгебраические системы: аналитические аспекты и схемотехнические приложения. World Scientific. стр.5 –8. ISBN  978-981-279-181-8.
11. http://www.ise.chuo-u.ac.jp/ise-labs/takamatsu-lab/takamatsu/metr/METR08-10.pdf

дальнейшее чтение

Книги

• Hairer, E .; Ваннер, Г. (1996). Решение обыкновенных дифференциальных уравнений II: жесткие и дифференциально-алгебраические задачи (2-е изд. Перераб.). Берлин: Springer-Verlag.
• Ascher, Uri M .; Петцольд, Линда Р. (1998). Компьютерные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений. Филадельфия: СИАМ. ISBN  978-0-89871-412-8.
• Кункель, Питер; Мерманн, Фолькер Людвиг (2006). Дифференциально-алгебраические уравнения: анализ и численное решение. Цюрих, Швейцария: Европейское математическое общество. ISBN  978-3-03719-017-3.
• Казуо Мурота (2009). Матрицы и матроиды для системного анализа. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-03994-2. (Охватывает структурный подход к вычислению индекса DAE.)
• Маттиас Гердтс (2012). Оптимальное управление ODE и DAE. Вальтер де Грюйтер. ISBN  978-3-11-024999-6.
• Ламур, Рене; Мэрц, Росвита; Тишендорф, Карен (2013). Дифференциально-алгебраические уравнения: анализ на основе проектора. Гейдельберг: Springer. ISBN  978-3-642-27554-8.

Различные документы

• Г. Фабиан; Д.А. ван Бик; Дж. Э. Руда (2001). «Уменьшение индекса и устранение разрывов с использованием замещающих уравнений» (PDF). Математическое и компьютерное моделирование динамических систем. 7 (2): 173–187. CiteSeerX  10.1.1.8.5859. Дои:10.1076 / mcmd.7.2.173.3646. Архивировано из оригинал (PDF) на 2005-04-26.
• Илие, Сильвана; Корлесс, Роберт М .; Рид, Грег (2006). «Численные решения дифференциально-алгебраических уравнений индекса −1 могут быть вычислены за полиномиальное время». Численные алгоритмы. 41 (2): 161–171. CiteSeerX  10.1.1.71.7366. Дои:10.1007 / s11075-005-9007-1.
• Недиалков, Нед С .; Прайс, Джон Д. (2005). «Решение дифференциально-алгебраических уравнений с помощью ряда Тейлора (I): вычисление коэффициентов Тейлора» (PDF). КУСОЧЕК. 45 (3): 561–591. Дои:10.1007 / s10543-005-0019-у.
• Недиалков, Нед С .; Прайс, Джон Д. (2005). "Решение дифференциально-алгебраических уравнений с помощью ряда Тейлора (II): вычисление системного якобиана" (PDF). КУСОЧЕК. 47: 121–135. CiteSeerX  10.1.1.455.6965. Дои:10.1007 / s10543-006-0106-8.
• Недиалков, Нед С .; Прайс, Джон Д. (2007). «Решение дифференциально-алгебраических уравнений с помощью ряда Тейлора (III): код DAETS» (PDF). Журнал численного анализа, промышленной и прикладной математики (JNAIAM). 1 (1): 1–30. ISSN  1790-8140.
• Недиалков, Нед С .; Прайс, Джон Д .; Тан, Гуаннин (2014). "DAESA - инструмент Matlab для структурного анализа дифференциально-алгебраических уравнений: программное обеспечение" (PDF). Транзакции ACM на математическом ПО. 41 (2): 1–14. Дои:10.1145/2700586.
• Прайс, Джон Д .; Недиалков, Нед С .; Тан, Гуаннин (2014). "DAESA - инструмент Matlab для структурного анализа дифференциально-алгебраических уравнений: алгоритм" (PDF). Транзакции ACM на математическом ПО. 41 (2): 1–20. Дои:10.1145/2689664.
• Рубичек, Т .; Валашек, М. (2002). «Оптимальное управление причинно-дифференциальными алгебраическими системами». J. Math. Анальный. Приложение. 269 (2): 616–641. Дои:10.1016 / s0022-247x (02) 00040-9.

внешняя ссылка

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations