Интегро-дифференциальное уравнение - Integro-differential equation - Wikipedia

В математика, интегро-дифференциальное уравнение является уравнение это включает в себя как интегралы и производные из функция.

Общие линейные уравнения первого порядка

Общее линейное (только по отношению к члену, содержащему производную) интегро-дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

{ displaystyle { frac {d} {dx}} u (x) + int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, u (t)) , dt = g (x, u ( x)), qquad u (x_ {0}) = u_ {0}, qquad x_ {0} geq 0.}

Как это типично для дифференциальные уравнения, получение решения в закрытой форме часто бывает затруднительным. В относительно немногих случаях, когда решение может быть найдено, это часто происходит с помощью какого-либо интегрального преобразования, когда проблема сначала преобразуется в алгебраическую постановку. В таких ситуациях решение проблемы может быть получено путем применения обратного преобразования к решению этого алгебраического уравнения.

Пример

Рассмотрим следующую задачу второго порядка:

{ displaystyle u '(x) + 2u (x) +5 int _ {0} ^ {x} u (t) , dt = theta (x) qquad { text {with}} qquad u (0) = 0,}

куда

{ displaystyle theta (x) = left {{ begin {array} {ll} 1, qquad x geq 0 0, qquad x <0 end {array}} right.}

это Ступенчатая функция Хевисайда. В Преобразование Лапласа определяется как,

{ Displaystyle U (s) = { mathcal {L}} left {u (x) right } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- sx} u (x) , dx.}

После почленного преобразования Лапласа и использования правил для производных и интегралов интегро-дифференциальное уравнение преобразуется в следующее алгебраическое уравнение:

{ displaystyle sU (s) -u (0) + 2U (s) + { frac {5} {s}} U (s) = { frac {1} {s}}.}

Таким образом,

{ Displaystyle U (s) = { frac {1} {s ^ {2} + 2s + 5}}}

.

Обращение преобразования Лапласа с помощью контурные интегральные методы затем дает

{ Displaystyle и (х) = { гидроразрыва {1} {2}} е ^ {- х} грех (2х) тета (х)}

.

В качестве альтернативы можно завершить квадрат и используйте таблицу Преобразования Лапласа («экспоненциально затухающая синусоида») или вызовите из памяти, чтобы продолжить:

{ Displaystyle U (s) = { frac {1} {s ^ {2} + 2s + 5}} = { frac {1} {2}} { frac {2} {(s + 1) ^ {2} +4}} Rightarrow u (x) = { mathcal {L}} ^ {- 1} left {U (s) right } = { frac {1} {2}} e ^ {- х} sin (2x) theta (x)}

.

Приложения

Интегро-дифференциальные уравнения моделируют многие ситуации из наука и инженерное дело, например, при анализе цепей. К Второй закон Кирхгофа, чистое падение напряжения в замкнутом контуре равно приложенному напряжению ${ displaystyle E (t)}$ . (По сути, это приложение для сохранения энергии.) Таким образом, цепь RLC подчиняется

${ displaystyle L { frac {d} {dt}} I (t) + RI (t) + { frac {1} {C}} int _ {0} ^ {t} I ( tau) d tau = E (t),}$

куда ${ Displaystyle I (т)}$ ток как функция времени, ${ displaystyle R}$ это сопротивление, ${ displaystyle L}$ индуктивность, и ${ displaystyle C}$ емкость.^[1]

Активность взаимодействия тормозящий и возбуждающий нейроны можно описать системой интегро-дифференциальных уравнений, см., например, Модель Уилсона-Коуэна.

Эпидемиология

Интегро-дифференциальные уравнения нашли применение в эпидемиология, математическое моделирование эпидемии, особенно когда модели содержат возрастная структура^[2] или описать пространственные эпидемии.^[3]

Смотрите также

дальнейшее чтение

Вангипурам Лакшмикантам, М. Рама Мохана Рао, «Теория интегродифференциальных уравнений. », CRC Press, 1995 г.

внешняя ссылка

Интерактивная математика
Численное решение примера с использованием Chebfun

[1] Зилл, Деннис Г. и Уоррен С. Райт. «Раздел 7.4: Операционные свойства II». Дифференциальные уравнения с краевыми задачами., 8-е изд., Brooks / Cole Cengage Learning, 2013, стр. 305. ISBN 978-1-111-82706-9. Глава 7 посвящена преобразованию Лапласа.

[2] Брауэр, Фред; ван ден Дрише, Полина; Ву, Цзяньхун, ред. (2008). «Математическая эпидемиология» (PDF). Конспект лекций по математике: 205–227. Дои:10.1007/978-3-540-78911-6. ISSN 0075-8434.

[3] Medlock, янв (16 марта 2005 г.). «Модели интегро-дифференциального уравнения для инфекционных заболеваний» (PDF). Йельский университет.

[1]

[2]

[3]