Решение дифференциальных уравнений в степенном ряду - Power series solution of differential equations

В математика, то метод степенных рядов используется для поиска степенной ряд решение определенных дифференциальные уравнения. В общем, такое решение предполагает степенной ряд с неизвестными коэффициентами, затем подставляет это решение в дифференциальное уравнение, чтобы найти отношение повторения для коэффициентов.

Метод

Рассмотрим второй порядок линейное дифференциальное уравнение

${\displaystyle a_{2}(z)f''(z)+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)=0.\;\!}$

Предполагать а₂ отличен от нуля для всех z. Затем мы можем разделить все, чтобы получить

${\displaystyle f''+{a_{1}(z) \over a_{2}(z)}f'+{a_{0}(z) \over a_{2}(z)}f=0.}$

Предположим далее, что а₁/а₂ и а₀/а₂ находятся аналитические функции.

Метод степенного ряда требует построения решения степенного ряда

${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}.}$

Если а₂ равен нулю для некоторых z, то Метод Фробениуса, разновидность этого метода, подходит для работы с так называемыми "особые точки ". Метод работает аналогично как для уравнений высшего порядка, так и для систем.

Пример использования

Давайте посмотрим на Дифференциальное уравнение Эрмита,

${\displaystyle f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda =1}$

Можно попробовать построить серийное решение

${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}}$

${\displaystyle f'=\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}}$

${\displaystyle f''=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}}$

Подставляя их в дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-2z\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}=0\\&=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\end{aligned}}}$

Делаем сдвиг на первую сумму

${\displaystyle {\begin{aligned}&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\\&=2A_{2}+\sum _{k=1}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}z^{k}\\&=2A_{2}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}\right)z^{k}\end{aligned}}}$

Если этот ряд является решением, то все эти коэффициенты должны быть равны нулю, поэтому как для k = 0, так и для k> 0:

${\displaystyle (k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}=0\;\!}$

Мы можем изменить это, чтобы получить отношение повторения за А_k+2.

${\displaystyle (k+2)(k+1)A_{k+2}=-(-2k+1)A_{k}\;\!}$

${\displaystyle A_{k+2}={(2k-1) \over (k+2)(k+1)}A_{k}\;\!}$

Теперь у нас есть

${\displaystyle A_{2}={-1 \over (2)(1)}A_{0}={-1 \over 2}A_{0},\,A_{3}={1 \over (3)(2)}A_{1}={1 \over 6}A_{1}}$

Мы можем определить А₀ и А₁ если есть начальные условия, т.е. если у нас есть задача начального значения.

Итак, у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{4}&={1 \over 4}A_{2}=\left({1 \over 4}\right)\left({-1 \over 2}\right)A_{0}={-1 \over 8}A_{0}\\[8pt]A_{5}&={1 \over 4}A_{3}=\left({1 \over 4}\right)\left({1 \over 6}\right)A_{1}={1 \over 24}A_{1}\\[8pt]A_{6}&={7 \over 30}A_{4}=\left({7 \over 30}\right)\left({-1 \over 8}\right)A_{0}={-7 \over 240}A_{0}\\[8pt]A_{7}&={3 \over 14}A_{5}=\left({3 \over 14}\right)\left({1 \over 24}\right)A_{1}={1 \over 112}A_{1}\end{aligned}}}$

и серийное решение

${\displaystyle {\begin{aligned}f&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+A_{2}z^{2}+A_{3}z^{3}+A_{4}z^{4}+A_{5}z^{5}+A_{6}z^{6}+A_{7}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+A_{1}z+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \end{aligned}}}$

которую можно разбить на сумму двух линейно независимых рядов решений:

${\displaystyle f=A_{0}\left(1+{-1 \over 2}z^{2}+{-1 \over 8}z^{4}+{-7 \over 240}z^{6}+\cdots \right)+A_{1}\left(z+{1 \over 6}z^{3}+{1 \over 24}z^{5}+{1 \over 112}z^{7}+\cdots \right)}$

который можно еще упростить, используя гипергеометрический ряд.

Более простой способ с использованием ряда Тейлора

Намного более простой способ решения этого уравнения (и решения степенного ряда в целом) с использованием разложения в виде ряда Тейлора. Здесь мы предполагаем, что ответ имеет вид

${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }{A_{k}z^{k} \over {k!}}}$

Если мы это сделаем, общее правило получения рекуррентного соотношения для коэффициентов будет

${\displaystyle y^{[n]}\to A_{k+n}}$

и

${\displaystyle x^{m}y^{[n]}\to (k)(k-1)\cdots (k-m+1)A_{k+n-m}}$

В этом случае мы можем решить уравнение Эрмита за меньшее количество шагов:

${\displaystyle f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda =1}$

становится

${\displaystyle A_{k+2}-2kA_{k}+\lambda A_{k}=0}$

или же

${\displaystyle A_{k+2}=(2k-\lambda )A_{k}}$

в сериале

${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }{A_{k}z^{k} \over {k!}}}$

Нелинейные уравнения

Метод степенных рядов может применяться к некоторым нелинейный дифференциальные уравнения, хотя и с меньшей гибкостью. Очень большой класс нелинейных уравнений может быть решен аналитически с помощью Метод Паркера – Сохацкого. Поскольку метод Паркера – Сохацки включает расширение исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью вспомогательных уравнений, его не называют просто методом степенных рядов. Метод Паркера – Сохацки применяется раньше, чем метод степенных рядов, чтобы сделать метод степенных рядов возможным для многих нелинейных задач. Задачу ОДУ можно расширить с помощью вспомогательных переменных, которые делают метод степенных рядов тривиальным для эквивалентной более крупной системы. Расширение задачи ОДУ вспомогательными переменными дает те же коэффициенты (поскольку степенной ряд для функции уникален) за счет также вычисления коэффициентов вспомогательных уравнений. Часто без использования вспомогательных переменных нет известного способа получить степенной ряд для решения системы, поэтому метод одного степенного ряда трудно применить к большинству нелинейных уравнений.

Метод степенных рядов даст решения только для проблемы начального значения (в отличие от краевые задачи ), это не проблема при работе с линейными уравнениями, поскольку решение может включать несколько линейно независимых решений, которые можно комбинировать ( суперпозиция ) для решения краевых задач. Еще одно ограничение состоит в том, что коэффициенты ряда будут задаваться нелинейным повторением (нелинейности наследуются из дифференциального уравнения).

Чтобы метод решения работал, как в линейных уравнениях, необходимо выразить каждый член нелинейного уравнения в виде степенного ряда, чтобы все члены могли быть объединены в один степенной ряд.

В качестве примера рассмотрим задачу начального значения

${\displaystyle FF''+2F'^{2}+\eta F'=0\quad ;\quad F(1)=0\ ,\ F'(1)=-{\frac {1}{2}}}$

который описывает решение проблемы капиллярного потока в канавке. Есть две нелинейности: первый и второй члены связаны с продуктами. Начальные значения приведены в ${\displaystyle \eta =1}$, который намекает, что степенной ряд должен быть установлен как:

${\displaystyle F(\eta )=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}(\eta -1)^{i}}$

так как таким образом

${\displaystyle {\frac {d^{n}F}{d\eta ^{n}}}{\Bigg |}_{\eta =1}=n!\ c_{n}}$

что позволяет очень легко оценить начальные значения. Необходимо немного переписать уравнение в свете определения степенного ряда,

${\displaystyle FF''+2F'^{2}+(\eta -1)F'+F'=0\quad ;\quad F(1)=0\ ,\ F'(1)=-{\frac {1}{2}}}$

так что третий член содержит ту же форму ${\displaystyle \eta -1}$ что показано в степенном ряду.

Последнее соображение - что делать с продуктами; замена степенного ряда на приведет к продуктам степенного ряда, когда необходимо, чтобы каждый член был его собственным степенным рядом. Вот где Продукт Коши

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}\sum _{j=0}^{i}a_{i-j}b_{j}}$

Полезно; подстановка степенного ряда в дифференциальное уравнение и применение этого тождества приводит к уравнению, в котором каждый член является степенным рядом. После долгой перестановки рецидив

${\displaystyle \sum _{j=0}^{i}\left((j+1)(j+2)c_{i-j}c_{j+2}+2(i-j+1)(j+1)c_{i-j+1}c_{j+1}\right)+ic_{i}+(i+1)c_{i+1}=0}$

, задав точные значения коэффициентов ряда. Исходя из начальных значений, ${\displaystyle c_{0}=0}$ и ${\displaystyle c_{1}=-1/2}$, после этого используется указанное выше повторение. Например, следующие несколько коэффициентов:

${\displaystyle c_{2}=-{\frac {1}{6}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {1}{108}}\quad ;\quad c_{4}={\frac {7}{3240}}\quad ;\quad c_{5}=-{\frac {19}{48600}}\ \dots }$

В этом примере проявляется ограничение решения степенного ряда. Численное решение задачи показывает, что функция гладкая и всегда убывает слева от ${\displaystyle \eta =1}$, и ноль справа. В ${\displaystyle \eta =1}$, существует разрыв наклона, функция, которую степенной ряд не может отобразить, по этой причине решение ряда продолжает уменьшаться вправо от ${\displaystyle \eta =1}$ вместо того, чтобы внезапно стать нулевым.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Метод Фробениуса». MathWorld.

Рекомендации

• Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Нью-Йорк: Макгроу – Хилл.
• Хилле, Эйнар (1976). Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области.. Mineola: Dover Publications.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• Lozi, R .; Погонин, В.А .; Пчелинцев, А. (2016). «Новый точный численный метод аппроксимации хаотических решений уравнений динамической модели с квадратичными нелинейностями» (PDF). Хаос, солитоны и фракталы. 91: 108–114. Дои:10.1016 / j.chaos.2016.05.010.