Обозначения для дифференцирования - Notation for differentiation

В дифференциальное исчисление, нет единой униформы обозначение для дифференцирования. Вместо этого несколько разных обозначений для производная из функция или же Переменная были предложены разными математиками. Полезность каждой нотации зависит от контекста, и иногда бывает выгодно использовать более одной нотации в данном контексте. Наиболее распространенные обозначения для дифференцирования (и его противоположной операции - антидифференцировка или неопределенная интеграция) перечислены ниже.

Обозначения Лейбница

dy

dx

d²у

dx²

Первая и вторая производные от у относительно Икс, в обозначениях Лейбница.

Основная статья: Обозначения Лейбница

Исходные обозначения, используемые Готфрид Лейбниц используется во всей математике. Это особенно часто встречается, когда уравнение у = ж(Икс) рассматривается как функциональная связь между зависимые и независимые переменные у и Икс. Обозначения Лейбница делают это отношение явным, записывая производную как

${displaystyle {frac {dy}{dx}}.}$

Функция, значение которой при Икс является производной от ж в Икс поэтому написано

${displaystyle {frac {df}{dx}}(x){ ext{ or }}{frac {df(x)}{dx}}{ ext{ or }}{frac {d}{dx}}f(x).}$

Высшие производные записываются как

${displaystyle {frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{frac {d^{4}y}{dx^{4}}},ldots ,{frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

Это наводящий на размышления прием записи, который происходит от формальных манипуляций с символами, например,

${displaystyle {frac {dleft({frac {dleft({frac {dy}{dx}}ight)}{dx}}ight)}{dx}}=left({frac {d}{dx}}ight)^{3}y={frac {d^{3}y}{dx^{3}}}.}$

С логической точки зрения эти равенства не являются теоремами. Вместо этого они просто определения обозначений.

Значение производной от у в какой-то момент Икс = а может быть выражено двумя способами, используя обозначение Лейбница:

${displaystyle left.{frac {dy}{dx}}ight|_{x=a}={frac {dy}{dx}}(a)}$.

Обозначения Лейбница позволяют указать переменную для дифференцирования (в знаменателе). Это особенно полезно при рассмотрении частные производные. Это также делает Правило цепи легко запомнить и узнать:

${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {dy}{du}}cdot {frac {du}{dx}}.}$

Обозначения Лейбница для различения не требуют присвоения значения таким символам, как dx или же dy сами по себе, и некоторые авторы не пытаются присвоить этим символам значение. Лейбниц трактовал эти символы как бесконечно малые. Позже авторы приписывали им другие значения, например бесконечно малые в нестандартный анализ или же внешние производные.

Некоторые авторы и журналы устанавливают дифференциальный символ d в римский шрифт вместо курсив: dИкс. В ISO / IEC 80000 Руководство по научному стилю рекомендует этот стиль.

Обозначение Лейбница для антидифференцировки

∫ у dx
∫∫ у dx²

Одно- и двукратные неопределенные интегралы от у относительно Икс, в обозначениях Лейбница.

Для функций от 2 или более переменных см. Кратный интеграл.

Лейбниц представил интегральный символ ∫ в Analyseos tetragonisticae pars secunda и Methodi tangentium inversae, образец (оба с 1675 г.). Теперь это стандартный символ для интеграция.

${displaystyle {egin{aligned}int y',dx&=int f'(x),dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}int y,dx&=int f(x),dx=F(x)+C_{1}iint y,dx^{2}&=int left(int y,dxight)dx=int _{X imes X}f(x),dx=int F(x),dx=g(x)+C_{2}underbrace {int dots int } _{!!n}y,underbrace {dxdots dx} _{n}&=int _{underbrace {X imes cdots imes X} _{n}}f(x),dx=int s(x),dx=S(x)+C_{n}end{aligned}}}$

Обозначения Лагранжа

ж′(Икс)

Функция ж из Икс, дифференцированный один раз в обозначениях Лагранжа.

Одно из наиболее распространенных современных обозначений дифференциации связано с Жозеф Луи Лагранж. В обозначениях Лагранжа главный знак обозначает производную. Если ж является функцией, то ее производная, вычисляемая на Икс написано

${displaystyle f'(x)}$.

Лагранж впервые использовал обозначения в неопубликованных работах, а в печати они появились в 1770 году.^[1]

Высшие производные обозначаются дополнительными штрихами, как в ${displaystyle f''(x)}$ для вторая производная и ${displaystyle f'''(x)}$ для третья производная. Использование повторяющихся штрихов со временем становится громоздким. Некоторые авторы продолжают использовать римские цифры, обычно в нижнем регистре,^[2][3] как в

${displaystyle f^{mathrm {iv} }(x),f^{mathrm {v} }(x),f^{mathrm {vi} }(x),ldots ,}$

для обозначения производных четвертого, пятого, шестого и более высоких порядков. Другие авторы используют арабские цифры в скобках, как в

${displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),ldots .}$

Эти обозначения также позволяют описать п-я производная, где п это переменная. Это написано

${displaystyle f^{(n)}(x).}$

Символы Юникода, относящиеся к нотации Лагранжа, включают

• U + 2032 ◌′ ОСНОВНОЙ (производная)
• U + 2033 ◌″ ДВОЙНОЙ ПРАЙМ (двойная производная)
• U + 2034 ◌‴ ТРОЙНОЙ ПРАЙМ (третья производная)
• U + 2057 ◌⁗ ЧЕТВЕРКА ПРАЙМ (четвертая производная)

Когда есть две независимые переменные для функции ж(Икс,у) можно следовать следующему соглашению:^[4]

${displaystyle {egin{aligned}f^{prime }&={frac {df}{dx}}=f_{x}f_{prime }&={frac {df}{dy}}=f_{y}f^{prime prime }&={frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=f_{xx}f_{prime }^{prime }&={frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}} =f_{xy}f_{prime prime }&={frac {d^{2}f}{dy^{2}}}=f_{yy},,end{aligned}}}$

Обозначение Лагранжа для антидифференцировки

ж⁽⁻¹⁾(Икс)
ж⁽⁻²⁾(Икс)

Одно- и двукратные неопределенные интегралы от ж относительно Икс, в обозначениях Лагранжа.

Принимая первообразную, Лагранж руководствовался обозначениями Лейбница:^[1]

${displaystyle f(x)=int f'(x),dx=int y,dx.}$

Однако, поскольку интегрирование является обратным дифференцированию, обозначения Лагранжа для производных более высокого порядка распространяются и на интегралы. Повторяющиеся интегралы от ж можно записать как

${displaystyle f^{(-1)}(x)}$ для первого интеграла (его легко спутать с обратная функция ${displaystyle f^{-1}(x)}$),

${displaystyle f^{(-2)}(x)}$ для второго интеграла

${displaystyle f^{(-3)}(x)}$ для третьего интеграла и

${displaystyle f^{(-n)}(x)}$ для п-й интеграл.

Обозначение Эйлера

D_Иксу
D²ж

В Икс производная от у и вторая производная от ж, Обозначения Эйлера.

Леонард Эйлер в обозначении используется дифференциальный оператор предложено Луи Франсуа Антуан Арбогаст, обозначенный как D (Оператор D)^[5] или же D̃ (Оператор Ньютона – Лейбница)^[6] Применительно к функции ж(Икс), он определяется

${displaystyle (Df)(x)={frac {df(x)}{dx}}.}$

Высшие производные обозначаются степенями D, как в^[4]

${displaystyle D^{2}f}$ для второй производной

${displaystyle D^{3}f}$ для третьей производной и

${displaystyle D^{n}f}$ для п-я производная.

Нотация Эйлера оставляет неявной переменную, по которой выполняется дифференцирование. Однако эту переменную также можно указать явно. Когда ж является функцией переменной Икс, это делается путем написания^[4]

${displaystyle D_{x}f}$ для первой производной,

${displaystyle D_{x}^{2}f}$ для второй производной

${displaystyle D_{x}^{3}f}$ для третьей производной и

${displaystyle D_{x}^{n}f}$ для п-я производная.

Когда ж является функцией нескольких переменных, обычно используется "∂ " скорее, чем D. Как и выше, нижние индексы обозначают взятые производные. Например, вторые частные производные функции ж(Икс, у) находятся:^[4]

${displaystyle partial _{xx}f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}},}$

${displaystyle partial _{xy}f={frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}},}$

${displaystyle partial _{yx}f={frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}},}$

${displaystyle partial _{yy}f={frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}.}$

Видеть § Частные производные.

Обозначения Эйлера полезны для формулировки и решения линейные дифференциальные уравнения, поскольку это упрощает представление дифференциального уравнения, что может облегчить понимание основных элементов проблемы.

Нотация Эйлера для антидифференцировки

D⁻¹
_Иксу
D⁻²ж

В Икс первообразная у и вторая первообразная ж, Обозначения Эйлера.

Обозначения Эйлера могут использоваться для антидифференцировки так же, как обозначения Лагранжа.^[7] следующее^[6]

${displaystyle D^{-1}f(x)}$ для первого первообразного,

${displaystyle D^{-2}f(x)}$ для второй первообразной, и

${displaystyle D^{-n}f(x)}$ для пй первообраз.

Обозначение Ньютона

ИксИкс

Первая и вторая производные от Икс, Обозначения Ньютона.

Ньютон обозначение дифференцирования (также называемое точечная запись, а иногда грубо обозначение мухи^[8] для дифференциации) ставит точку над зависимой переменной. То есть, если у является функцией т, то производная от у относительно т является

${displaystyle {dot {y}}}$

Высшие производные представлены с использованием нескольких точек, как в

${displaystyle {ddot {y}},{overset {...}{y}}}$

Ньютон довольно далеко расширил эту идею:^[9]

${displaystyle {egin{aligned}{ddot {y}}&equiv {frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={frac {d}{dt}}left({frac {dy}{dt}}ight)={frac {d}{dt}}{Bigl (}{dot {y}}{Bigr )}={frac {d}{dt}}{Bigl (}f'(t){Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}{overset {...}{y}}&={dot {ddot {y}}}equiv {frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}{overset {,4}{dot {y}}}&={overset {....}{y}}={ddot {ddot {y}}}equiv {frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{m {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}{overset {,5}{dot {y}}}&={ddot {overset {...}{y}}}={dot {ddot {ddot {y}}}}={ddot {dot {ddot {y}}}}equiv {frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{m {V}}(t)=y_{t}^{(5)}{overset {,6}{dot {y}}}&={overset {...}{overset {...}{y}}}equiv {frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{m {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}{overset {,7}{dot {y}}}&={dot {overset {...}{overset {...}{y}}}}equiv {frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{m {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}{overset {,10}{dot {y}}}&={ddot {ddot {ddot {ddot {ddot {y}}}}}}equiv {frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{m {X}}(t)=y_{t}^{(10)}{overset {,n}{dot {y}}}&equiv {frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}end{aligned}}}$

Символы Юникода, относящиеся к нотации Ньютона, включают:

• U + 0307 ◌̇ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТОЧКИ ВЫШЕ (производная)
• U + 0308 ◌̈ СОЧЕТАНИЕ ДИАРЕЗА (двойная производная)
• U + 20 дБ ◌⃛ СОЕДИНЕНИЕ ТРИ ТОЧКИ ВЫШЕ (третья производная) ← заменено на «объединение диэрезиса» + «объединение точки выше».
• U + 20DC ◌⃜ ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧЕТЫРЕ ТОЧКИ ВЫШЕ (четвертая производная) ← дважды заменено на «комбинированный диэрезис».
• U + 030D ◌̍ ОБЪЕДИНЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (интеграл)
• U + 030E ◌̎ ОБЪЕДИНЕНИЕ ДВОЙНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (второй интеграл)
• U + 25AD ▭ БЕЛЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК (интеграл)
• U + 20DE ◌⃞ КОМБИНИРОВАННАЯ ОГРАЖДЕНИЕ (интеграл)
• U + 1DE0 ◌ᷠ ОБЪЕДИНЕНИЕ СТРОЧНОЙ ЛАТИНСКОЙ БУКВЫ N (пth производная)

Обозначение Ньютона обычно используется, когда независимая переменная обозначает время. Если место у является функцией т, тогда ${displaystyle {dot {y}}}$ обозначает скорость^[10] и ${displaystyle {ddot {y}}}$ обозначает ускорение.^[11] Это обозначение популярно в физика и математическая физика. Он также появляется в областях математики, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения. Он популярен только для первой и второй производных, но в приложениях это обычно единственные производные, которые необходимы.

При взятии производной зависимой переменной у = ж(Икс) существует альтернативное обозначение:^[12]

${displaystyle {frac {dot {y}}{dot {x}}}={dot {y}}:{dot {x}}equiv {frac {dy}{dt}}:{frac {dx}{dt}}={frac {frac {dy}{dt}}{frac {dx}{dt}}}={frac {dy}{dx}}={frac {d}{dt}}{Bigl (}f(x){Bigr )}=Dy=f'(x)=y'}$

Ньютон разработал следующие операторы в частных производных, используя боковые точки на изогнутом X (ⵋ). Определения, данные Whiteside, приведены ниже:^[13][14]

${displaystyle {egin{aligned}{mathcal {X}} &= f(x,y),,cdot {mathcal {X}} &= x{frac {partial f}{partial x}}=xf_{x},,{mathcal {X}}cdot &= y{frac {partial f}{partial y}}=yf_{y},,colon {mathcal {X}},{ ext{ or }},cdot left(cdot {mathcal {X}}ight) &= x^{2}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx},,{mathcal {X}}colon ,{ ext{ or }},left({mathcal {X}}cdot ight)cdot &= y^{2}{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy},,cdot {mathcal {X}}cdot &= xy{frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}}=xyf_{xy},,end{aligned}}}$

Обозначение Ньютона для интеграции

ИксИкс

Первые и вторые первообразные Икс, в одной из ньютоновских нотаций.

Ньютон разработал множество различных обозначений для интеграция в его Quadratura curvarum (1704) и позже работает: он написал маленькую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной (й̍ ), прямоугольник с префиксом (▭у), либо заключением члена в прямоугольник (у) для обозначения беглый или интеграл по времени (опускание ).

${displaystyle {egin{aligned}y&=Box {dot {y}}equiv int {dot {y}},dt=int f'(t),dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}{overset {,prime }{y}}&=Box yequiv int y,dt=int f(t),dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}end{aligned}}}$

Для обозначения нескольких интегралов Ньютон использовал две маленькие вертикальные черты или простые числа (й̎) или комбинация предыдущих символов ▭й̍й̍, чтобы обозначить второй интеграл по времени (абсолютность).

${displaystyle {overset {,prime prime }{y}}=Box {overset {,prime }{y}}equiv int {overset {,prime }{y}},dt=int F(t),dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}}$

Интегралы по времени высшего порядка были следующими:^[15]

${displaystyle {egin{aligned}{overset {,prime prime prime }{y}}&=Box {overset {,prime prime }{y}}equiv int {overset {,prime prime }{y}},dt=int g(t),dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}{overset {,prime prime prime prime }{y}}&=Box {overset {,prime prime prime }{y}}equiv int {overset {,prime prime prime }{y}},dt=int G(t),dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}{overset {;n}{overset {,prime }{y}}}&=Box {overset {;n-1}{overset {,prime }{y}}}equiv int {overset {;n-1}{overset {,prime }{y}}},dt=int s(t),dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}end{aligned}}}$

Этот математическая запись не получили широкого распространения из-за трудностей печати и Споры об исчислении Лейбница – Ньютона.

Частные производные

ж_Иксж_ху

Функция ж дифференцированный против Икс, то против Икс и у.

Когда необходимы более конкретные типы дифференциации, например, в многомерное исчисление или же тензорный анализ, другие обозначения являются общими.

Для функции ж(Икс), мы можем выразить производную, используя индексы независимой переменной:

${displaystyle {egin{aligned}f_{x}&={frac {df}{dx}}f_{xx}&={frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.end{aligned}}}$

Этот тип обозначений особенно полезен для частные производные функции нескольких переменных.

∂f/∂x

Функция ж дифференцированный против Икс.

Частные производные обычно отличаются от обычных производных заменой дифференциального оператора d с "∂ "символ. Например, мы можем указать частную производную от ж(Икс, у, z) относительно Икс, но не у или же z несколькими способами:

${displaystyle {frac {partial f}{partial x}}=f_{x}=partial _{x}f}$.

Что делает это различие важным, так это то, что непрямая производная, такая как ${displaystyle extstyle {frac {df}{dx}}}$ май, в зависимости от контекста, интерпретировать как скорость изменения ${displaystyle f}$ относительно ${displaystyle x}$ когда все переменные могут изменяться одновременно, тогда как с частной производной, такой как ${displaystyle extstyle {frac {partial f}{partial x}}}$ ясно, что должна изменяться только одна переменная.

Другие обозначения можно найти в различных подполях математики, физики и инженерии, см., Например, Максвелл отношения из термодинамика. Символ ${displaystyle left({frac {partial T}{partial V}}ight)_{S}}$ - производная от температуры Т по объему V при сохранении постоянной энтропии (нижний индекс) S, пока ${displaystyle left({frac {partial T}{partial V}}ight)_{P}}$ - производная температуры по объему при постоянном давлении п. Это становится необходимым в ситуациях, когда количество переменных превышает количество степеней свободы, так что нужно выбирать, какие другие переменные следует оставить фиксированными.

Частные производные высшего порядка по одной переменной выражаются как

${displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}=f_{xx}}$

${displaystyle {frac {partial ^{3}f}{partial x^{3}}}=f_{xxx}.}$

Смешанные частные производные могут быть выражены как

${displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}=f_{xy}.}$

В этом последнем случае переменные записываются в обратном порядке между двумя обозначениями, что объясняется следующим образом:

${displaystyle (f_{x})_{y}=f_{xy}}$

${displaystyle {frac {partial }{partial y}}left({frac {partial f}{partial x}}ight)={frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}}$

Обозначения в векторном исчислении

Векторное исчисление обеспокоенность дифференциация и интеграция из вектор или же скаляр поля. Несколько обозначений, характерных для случая трехмерных Евклидово пространство общие.

Предположить, что (Икс, у, z) дано Декартова система координат, который А это векторное поле с компонентами ${displaystyle mathbf {A} =(mathbf {A} _{x},mathbf {A} _{y},mathbf {A} _{z})}$, и это ${displaystyle varphi =varphi (x,y,z)}$ это скалярное поле.

Дифференциальный оператор, введенный Уильям Роуэн Гамильтон, написано ∇ и позвонил дель или набла, символически определяется в виде вектора,

${displaystyle abla =left({frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}ight),}$

где терминология символически отражает, что оператор ∇ также будет рассматриваться как обычный вектор.

∇φ

Градиент скалярного поля φ.

• Градиент: Градиент ${displaystyle mathrm {grad,} varphi }$ скалярного поля ${displaystyle varphi }$ - вектор, который символически выражается умножение и скалярного поля ${displaystyle varphi }$,

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {grad} varphi &=left({frac {partial varphi }{partial x}},{frac {partial varphi }{partial y}},{frac {partial varphi }{partial z}}ight)&=left({frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}ight)varphi &=abla varphi end{aligned}}}$

∇∙А

Дивергенция векторного поля А.

• Расхождение: Дивергенция ${displaystyle mathrm {div} ,mathbf {A} }$ векторного поля А - скаляр, который символически выражается скалярное произведение и вектора А,

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {div} mathbf {A} &={partial A_{x} over partial x}+{partial A_{y} over partial y}+{partial A_{z} over partial z}&=left({frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}ight)cdot mathbf {A} &=abla cdot mathbf {A} end{aligned}}}$

∇²φ

Лапласиан скалярного поля φ.

• Лапласиан: Лапласиан ${displaystyle operatorname {div} operatorname {grad} varphi }$ скалярного поля ${displaystyle varphi }$ является скаляром, который символически выражается скалярным умножением ∇² и скалярное поле φ,

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {div} operatorname {grad} varphi &=abla cdot (abla varphi )&=(abla cdot abla )varphi &=abla ^{2}varphi &=Delta varphi end{aligned}}}$

∇×А

Ротор векторного поля А.

• Вращение: Вращение ${displaystyle mathrm {curl} ,mathbf {A} }$, или же ${displaystyle mathrm {rot} ,mathbf {A} }$, векторного поля А - вектор, который символически выражается перекрестное произведение и вектора А,

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {curl} mathbf {A} &=left({partial A_{z} over {partial y}}-{partial A_{y} over {partial z}},{partial A_{x} over {partial z}}-{partial A_{z} over {partial x}},{partial A_{y} over {partial x}}-{partial A_{x} over {partial y}}ight)&=left({partial A_{z} over {partial y}}-{partial A_{y} over {partial z}}ight)mathbf {i} +left({partial A_{x} over {partial z}}-{partial A_{z} over {partial x}}ight)mathbf {j} +left({partial A_{y} over {partial x}}-{partial A_{x} over {partial y}}ight)mathbf {k} &={egin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} {cfrac {partial }{partial x}}&{cfrac {partial }{partial y}}&{cfrac {partial }{partial z}}A_{x}&A_{y}&A_{z}end{vmatrix}}&=abla imes mathbf {A} end{aligned}}}$

Многие символьные операции над производными могут быть напрямую обобщены с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, единственная переменная правило продукта имеет прямой аналог в умножении скалярных полей путем применения оператора градиента, как в

${displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~Longrightarrow ~~~abla (phi psi )=(abla phi )psi +phi (abla psi ).}$

Многие другие правила исчисления одной переменной имеют аналоги векторного исчисления для градиента, дивергенции, ротора и лапласиана.

Для более экзотических типов пространств были разработаны дальнейшие обозначения. Для расчетов в Пространство Минковского, то оператор Даламбера, также называемый даламбертианом, волновым оператором или прямоугольным оператором, представлен как ${displaystyle Box }$, или как ${displaystyle Delta }$ когда не противоречит символу лапласиана.

Смотрите также

• Аналитическое общество
• Производная
• Матрица якобиана
• Матрица Гессе

Рекомендации

1. Лагранж, Новый метод для исследований в области литературных знаний по моей инициативе (1770), стр. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
2. Моррис, Карла С. (28 июля 2015 г.). Основы исчисления. Старк, Роберт М., 1930-2017. Хобокен, Нью-Джерси. ISBN  9781119015314. OCLC  893974565.
3. Осборн, Джордж А. (1908). Дифференциальное и интегральное исчисление. Бостон: Д. К. Хит и компания. стр.63 -65.
4. Дифференциальное и интегральное исчисление (Огастес Де Морган, 1842). стр. 267-268
5. «Оператор D - Дифференциальный - Исчисление - Справочник по математике с рабочими примерами». www.codecogs.com. В архиве из оригинала от 19.01.2016.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальный оператор». Из MathWorld- Веб-ресурс Wolfram. «Архивная копия». В архиве из оригинала от 21.01.2016. Получено 2016-02-07.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Повторяющийся интеграл». Из MathWorld- Веб-ресурс Wolfram. «Архивная копия». В архиве из оригинала на 01.02.2016. Получено 2016-02-07.
8. Зилл, Деннис Г. (2009). "1.1". Первый курс дифференциальных уравнений (9-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Брукс / Коул. п. 3. ISBN  978-0-495-10824-5.
9. Обозначения Ньютона воспроизведены по:
   • С 1-й по 5-ю производные: Quadratura curvarum (Ньютон, 1704), стр. 7 (стр. 5r в оригинальной MS: «Архивная копия». В архиве из оригинала от 28.02.2016. Получено 2016-02-05.).
   • С 1-го по 7-е, пth и (п+1) -ые производные: Метод флюсий (Ньютон, 1736), стр. 313-318 и стр. 265 (стр. 163 в оригинальной MS: «Архивная копия». В архиве из оригинала на 2017-04-06. Получено 2016-02-05.)
   • С 1 по 5 производные: Трактат о колебаниях (Колин МакЛорин, 1742), стр. 613
   • С 1 по 4 и ппроизводные: статьи «Дифференциальный» и «Флюксионный», Словарь чистой и смешанной математики (Питер Барлоу, 1814 г.)
   • С 1 по 4, 10 и пth производные: статьи 622, 580 и 579 в История математических обозначений (Ф. Каджори, 1929)
   • С 1 по 6 и пth производные: Математические статьи Исаака Ньютона Vol. 7 1691-1695 (Д. Т. Уайтсайд, 1976), стр. 88 и 17
   • С 1 по 3 и пth производные: История анализа (Ханс Нильс Янке, 2000), стр. 84-85.
   Точка для п-я производная может быть опущена ( ${displaystyle {overset {,n}{y}}}$ )
10. Вайсштейн, Эрик В. «Овердот». Из MathWorld- Веб-ресурс Wolfram. «Архивная копия». В архиве из оригинала от 05.09.2015. Получено 2016-02-05.
11. Вайсштейн, Эрик В. «Двойная точка». Из MathWorld- Веб-ресурс Wolfram. «Архивная копия». В архиве из оригинала от 03.03.2016. Получено 2016-02-05.
12. Статья 580 в деле Флориана Каджори, История математических обозначений (1929), Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN  0-486-67766-4
13. "Образцы математической мысли в конце семнадцатого века", Архив истории точных наук Vol. 1, No. 3 (D. T. Whiteside, 1961), стр. 361–362 378
14. С.Б. Энгельсман дал более строгие определения в Семейства кривых и истоки частичной дифференциации (2000), стр. 223-226.
15. Обозначения Ньютона для интегрирования воспроизведены из:
    • 1–3 интегралы: Quadratura curvarum (Ньютон, 1704), стр. 7 (стр. 5r в оригинальной MS: «Архивная копия». В архиве из оригинала от 28.02.2016. Получено 2016-02-05.)
    • 1–3 интегралы: Метод флюсий (Ньютон, 1736), стр. 265-266 (стр. 163 в оригинальном MS: «Архивная копия». В архиве из оригинала на 2017-04-06. Получено 2016-02-05.)
    • 4-й интеграл: Доктрина колебаний (Джеймс Ходжсон, 1736), стр. 54 и 72.
    • 1–2 интегралы: статьи 622 и 365 в История математических обозначений (Ф. Каджори, 1929)
    В п-я интегральная запись вычитается из п-я производная. Его можно использовать в Methodus Incrementorum Directa и Inversa (Брук Тейлор, 1715 г.)

внешняя ссылка

• Раннее использование символов исчисления, поддерживается Джеффом Миллером.