Третья производная - Third derivative

В исчисление, филиал математика, то третья производная скорость, с которой вторая производная, или скорость изменения скорости изменения, меняется, что используется для определения отклонения от нормы.^[1] Третья производная функции ${displaystyle f(x)=y}$ можно обозначить как

${displaystyle {frac {d^{3}y}{dx^{3}}},quad f'''(x),quad { ext{or }}{frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)].}$

Могут использоваться и другие обозначения, но приведенные выше являются наиболее распространенными.

Математические определения

Позволять ${displaystyle f(x)=x^{4}}$. потом ${displaystyle f'(x)=4x^{3}}$, и ${displaystyle f''(x)=12x^{2}}$. Следовательно, третья производная от ж(Икс) в этом случае

${displaystyle f'''(x)=24x}$

или, используя Обозначение Лейбница,

${displaystyle {frac {d^{3}}{dx^{3}}}[x^{4}]=24x}$

Теперь для более общего определения. Позволять ${displaystyle f(x)}$ быть любой функциейИкс. Тогда третья производная от ${displaystyle f(x)}$ дается следующим:

${displaystyle {frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)]={frac {d}{dx}}[f''(x)]}$

Третья производная - это скорость, с которой вторая производная (f '' (х)) меняется.

Приложения в геометрии

В дифференциальная геометрия, то кручение кривой - фундаментальное свойство кривых в трех измерениях - вычисляется с использованием третьих производных координатных функций (или вектора положения), описывающих кривую.^[2]

Приложения в физике

Основная статья: Рывок (физика)

В физика, особенно кинематика, придурок определяется как третья производная от функция положения объекта. По сути, это скорость, с которой ускорение изменения. С математической точки зрения:

${displaystyle mathbf {j} (t)={frac {d^{3}mathbf {r} }{dt^{3}}}}$

куда j(т) - рывковая функция по времени, а р(т) - функция положения объекта по времени.

Экономический пример

Во время кампании за второй срок президент США Ричард Никсон объявил, что темпы роста инфляции снижаются, что было отмечено как «первый раз, когда действующий президент использовал третью производную для продвижения своих аргументов в пользу переизбрания».^[3] С инфляция сам является производной - скоростью, с которой снижается покупательная способность денег, - тогда скорость роста инфляции является производной инфляции, противоположной по знаку второй производной по времени покупательной способности денег. Заявление о том, что функция убывает, эквивалентно заявлению о том, что ее производная отрицательна, поэтому утверждение Никсона состоит в том, что вторая производная инфляции отрицательна, а третья производная покупательной способности положительна.

Однако заявление Никсона позволило повысить уровень инфляции, поэтому его заявление не было таким показателем стабильности цен, как кажется.

Смотрите также

• Производная (математика)
• Вторая производная

Рекомендации

1. Шот, Стивен (ноябрь 1978 г.). «Аберранси: геометрия третьей производной». Математический журнал. 5. 51: 259–275. Дои:10.2307/2690245. JSTOR  2690245.
2. ду Карму, Манфреду (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.. ISBN  0-13-212589-7.
3. Росси, Хьюго (октябрь 1996). «Математика - это здание, а не набор инструментов» (PDF). Уведомления Американского математического общества. 43 (10): 1108. Получено 13 ноября 2012.