Логарифмическое дифференцирование - Logarithmic differentiation

Для производной см. Логарифмическая производная.

В исчисление, логарифмическое дифференцирование или же дифференцирование по логарифму это метод, используемый для различать функции используя логарифмическая производная функции ж,^[1]

${displaystyle (ln f)'={frac {f'}{f}}quad implies quad f'=fcdot (ln f)'.}$

Этот метод часто используется в тех случаях, когда легче дифференцировать логарифм функции, чем саму функцию. Обычно это происходит в тех случаях, когда интересующая функция состоит из произведения нескольких частей, так что логарифмическое преобразование превратит ее в сумму отдельных частей (которую намного легче различить). Это также может быть полезно при применении к функциям, возведенным в степень переменных или функций. Логарифмическое дифференцирование основывается на Правило цепи а также свойства логарифмы (в частности, натуральный логарифм, или логарифм по основанию е ) для преобразования произведений в суммы и деления в вычитания.^[2][3] Этот принцип может быть реализован, по крайней мере частично, в дифференциации почти всех дифференцируемые функции, при условии, что эти функции не равны нулю.

Обзор

Для функции

${displaystyle y=f(x),!}$

логарифмическое дифференцирование обычно начинается с натурального логарифма или логарифма по основанию е, с обеих сторон, не забывая принимать абсолютные значения:^[4]

${displaystyle ln |y|=ln |f(x)|.,!}$

После неявное дифференцирование:^[5]

${displaystyle {frac {1}{y}}{frac {dy}{dx}}={frac {f'(x)}{f(x)}}.}$

Умножение на у затем выполняется для устранения 1 /у и оставь только dy/dx на левая сторона:

${displaystyle {frac {dy}{dx}}=y imes {frac {f'(x)}{f(x)}}=f'(x).}$

Этот метод используется потому, что свойства логарифмов позволяют быстро упростить дифференциацию сложных функций.^[6] Этими свойствами можно манипулировать после взятия натуральных логарифмов с обеих сторон и до предварительного дифференцирования. Наиболее часто используемые законы логарифмирования:^[3]

${displaystyle ln(ab)=ln(a)+ln(b),qquad ln left({frac {a}{b}}ight)=ln(a)-ln(b),qquad ln(a^{n})=nln(a).}$

Общий случай

С помощью прописная пи,

${displaystyle f(x)=prod _{i}(f_{i}(x))^{alpha _{i}(x)}.}$

Применение натуральных логарифмов приводит к (с прописная сигма )

${displaystyle ln(f(x))=sum _{i}alpha _{i}(x)cdot ln(f_{i}(x)),}$

и после дифференцирования

${displaystyle {frac {f'(x)}{f(x)}}=sum _{i}left[alpha _{i}'(x)cdot ln(f_{i}(x))+alpha _{i}(x)cdot {frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}ight].}$

Переставьте, чтобы получить производную исходной функции,

${displaystyle f'(x)=overbrace {prod _{i}(f_{i}(x))^{alpha _{i}(x)}} ^{f(x)} imes overbrace {sum _{i}left{alpha _{i}'(x)cdot ln(f_{i}(x))+alpha _{i}(x)cdot {frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}ight}} ^{[ln(f(x))]'}.}$

Производные высшего порядка

С помощью Формула Фаа ди Бруно, логарифмическая производная n-го порядка равна,

${displaystyle {d^{n} over dx^{n}}ln f(x)=sum _{m_{1}+2m_{2}+cdots +nm_{n}=n}{frac {n!}{m_{1}!,m_{2}!,cdots ,m_{n}!}}cdot {frac {(-1)^{m_{1}+cdots +m_{n}-1}(m_{1}+cdots +m_{n}-1)!}{f(x)^{m_{1}+cdots +m_{n}}}}cdot prod _{j=1}^{n}left({frac {f^{(j)}(x)}{j!}}ight)^{m_{j}}.}$

Используя это, первые четыре производные:

${displaystyle {frac {d^{2}}{dx^{2}}}ln f(x)={frac {f''(x)}{f(x)}}-left({frac {f'(x)}{f(x)}}ight)^{2}}$

${displaystyle {frac {d^{3}}{dx^{3}}}ln f(x)={frac {f'''(x)}{f(x)}}-3{frac {f'(x)f''(x)}{f(x)^{2}}}+2left({frac {f'(x)}{f(x)}}ight)^{3}}$

${displaystyle {frac {d^{4}}{dx^{4}}}ln f(x)={frac {f''''(x)}{f(x)}}-4{frac {f'(x)f'''(x)}{f(x)^{2}}}-3left({frac {f''(x)}{f(x)}}ight)^{2}+12{frac {f'(x)^{2}f''(x)}{f(x)^{3}}}-6left({frac {f'(x)}{f(x)}}ight)^{4}}$

Приложения

Товары

А натуральный логарифм применяется к продукту двух функций

${displaystyle f(x)=g(x)h(x),!}$

преобразовать произведение в сумму

${displaystyle ln(f(x))=ln(g(x)h(x))=ln(g(x))+ln(h(x)).,!}$

Дифференциация с помощью цепь и сумма правила доходности

${displaystyle {frac {f'(x)}{f(x)}}={frac {g'(x)}{g(x)}}+{frac {h'(x)}{h(x)}},}$

и после перестановки дает^[7]

${displaystyle f'(x)=f(x) imes {Bigg {}{frac {g'(x)}{g(x)}}+{frac {h'(x)}{h(x)}}{Bigg }}=g(x)h(x) imes {Bigg {}{frac {g'(x)}{g(x)}}+{frac {h'(x)}{h(x)}}{Bigg }}.}$

Коэффициенты

А натуральный логарифм применяется к частному двух функций

${displaystyle f(x)={frac {g(x)}{h(x)}},!}$

преобразовать деление в вычитание

${displaystyle ln(f(x))=ln {Bigg (}{frac {g(x)}{h(x)}}{Bigg )}=ln(g(x))-ln(h(x)),!}$

Дифференциация с помощью цепь и сумма правила доходности

${displaystyle {frac {f'(x)}{f(x)}}={frac {g'(x)}{g(x)}}-{frac {h'(x)}{h(x)}},}$

и после перестановки дает

${displaystyle f'(x)=f(x) imes {Bigg {}{frac {g'(x)}{g(x)}}-{frac {h'(x)}{h(x)}}{Bigg }}={frac {g(x)}{h(x)}} imes {Bigg {}{frac {g'(x)}{g(x)}}-{frac {h'(x)}{h(x)}}{Bigg }}.}$

После умножения и использования общий знаменатель формула результат такой же, как и после применения правило частного прямо к ${displaystyle f(x)}$.

Составная экспонента

Для функции вида

${displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)},!}$

В натуральный логарифм превращает возведение в степень в продукт

${displaystyle ln(f(x))=ln left(g(x)^{h(x)}ight)=h(x)ln(g(x)),!}$

Дифференциация с помощью цепь и товар правила доходности

${displaystyle {frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)ln(g(x))+h(x){frac {g'(x)}{g(x)}},}$

и после перестановки дает

${displaystyle f'(x)=f(x) imes {Bigg {}h'(x)ln(g(x))+h(x){frac {g'(x)}{g(x)}}{Bigg }}=g(x)^{h(x)} imes {Bigg {}h'(x)ln(g(x))+h(x){frac {g'(x)}{g(x)}}{Bigg }}.}$

Тот же результат можно получить, переписав ж с точки зрения exp и применяя цепное правило.

Смотрите также

• Производная Дарбу
• Форма Маурера – Картана
• Группа Ли
• Список тем логарифмирования
• Список логарифмических тождеств

Примечания

1. Кранц, Стивен Г. (2003). Исчисление демистифицировано. McGraw-Hill Professional. п. 170. ISBN  0-07-139308-0.
2. Н.П. Бали (2005). Золотое дифференциальное исчисление. Брандмауэр Media. п. 282. ISBN  81-7008-152-1.
3. Птица, Джон (2006). Высшая инженерная математика. Newnes. п. 324. ISBN  0-7506-8152-7.
4. Доулинг, Эдвард Т. (1990). Очерк теории и проблем исчисления для бизнеса, экономики и социальных наук Шаум. McGraw-Hill Professional. стр.160. ISBN  0-07-017673-6.
5. Херст, Кейт (2006). Исчисление одной переменной. Birkhäuser. п. 97. ISBN  1-85233-940-3.
6. Бланк, Брайан Э. (2006). Исчисление, одна переменная. Springer. п. 457. ISBN  1-931914-59-1.
7. Уильямсон, Бенджамин (2008). Элементарный трактат по дифференциальному исчислению. БиблиоБазар, ООО. С. 25–26. ISBN  0-559-47577-2.