Форма Маурера – Картана - Maurer–Cartan form

В математика, то Форма Маурера – Картана для Группа Ли грамм выдающийся дифференциальная одноформа на грамм который несет основную бесконечно малую информацию о структуре грамм. Его много использовали Эли Картан в качестве основного ингредиента его метод перемещения кадров, и носит его имя вместе с именем Людвиг Маурер.

Как одноразовая форма Маурера – Картана отличается тем, что принимает свои значения в Алгебра Ли связанной с группой Ли грамм. Алгебра Ли отождествляется с касательное пространство из грамм в единице, обозначенный Т_еграмм. Форма Маурера – Картана. ω таким образом, одна форма определена глобально на грамм которое является линейным отображением касательного пространства Т_граммграмм на каждом грамм ∈ грамм в Т_еграмм. Это дается как продвигать вектора в Т_граммграмм по левому - перевод в группе:

${\displaystyle \omega (v)=(L_{g^{-1}})_{*}v,\quad v\in T_{g}G.}$

Мотивация и интерпретация

Смотрите также: Действие группы Ли

Группа Ли действует сама на себя умножением при отображении

${\displaystyle G\times G\ni (g,h)\mapsto gh\in G.}$

Важным вопросом для Картана и его современников было то, как определить главное однородное пространство из грамм. Это многообразие п идентично группе грамм, но без фиксированного выбора единичного элемента. Частично эта мотивация возникла из-за Феликс Кляйн с Программа Эрланген где кто-то интересовался понятием симметрия на пространстве, где симметрии пространства были трансформации образуя группу Ли. Интересующие геометрии были однородные пространства грамм/ЧАС, но обычно без фиксированного выбора происхождения, соответствующего смежный eH.

Главное однородное пространство грамм это многообразие п абстрактно характеризуется наличием свободное и переходное действие из грамм на п. В Форма Маурера – Картана^[1] дает соответствующий бесконечно малый характеристика главного однородного пространства. Это одна форма, определенная на п удовлетворение условие интегрируемости известное как уравнение Маурера – Картана. Используя это условие интегрируемости, можно определить экспоненциальная карта алгебры Ли и таким образом получить локально групповое действие на п.

Строительство

Внутренняя конструкция

Позволять грамм ≅ Т_еграмм касательное пространство группы Ли грамм на тождестве (его Алгебра Ли ). грамм действует на себя левым переводом

${\displaystyle L:G\times G\to G}$

так что для данного грамм ∈ грамм у нас есть

${\displaystyle L_{g}:G\to G\quad {\mbox{where}}\quad L_{g}(h)=gh,}$

и это индуцирует отображение касательный пучок себе:${\displaystyle (L_{g})_{*}:T_{h}G\to T_{gh}G.}$Левоинвариантный векторное поле это раздел Икс из Тграмм такой, что ^[2]

${\displaystyle (L_{g})_{*}X=X\quad \forall g\in G.}$

В Форма Маурера – Картана ω это граммоднозначная форма на грамм определены на векторах v ∈ T_граммграмм по формуле

${\displaystyle \omega _{g}(v)=(L_{g^{-1}})_{*}v.}$

Внешняя конструкция

Если грамм встроен в GL (п) матричнозначным отображением грамм =(грамм_ij), тогда можно написать ω явно как

${\displaystyle \omega _{g}=g^{-1}\,dg.}$

В этом смысле форма Маурера – Картана всегда является левой логарифмическая производная карты идентичности грамм.

Характеристика как связь

Если рассматривать группу Ли грамм как основной пакет над многообразием, состоящим из одной точки, то форму Маурера – Картана также можно абстрактно охарактеризовать как единственную основная связь на основной связке грамм. Действительно, это уникальный грамм = T_еграмм ценится 1-форма на грамм удовлетворение

1. ${\displaystyle \omega _{e}=\mathrm {id} :T_{e}G\rightarrow {\mathfrak {g}},{\text{ and}}}$
2. ${\displaystyle \forall g\in G\quad \omega _{g}=\mathrm {Ad} (h)(R_{h}^{*}\omega _{e}),{\text{ where }}h=g^{-1},}$

куда р_час* это откат форм по правому переводу в группе и Объявление(час) это сопряженное действие по алгебре Ли.

Характеристики

Если Икс левоинвариантное векторное поле на грамм, тогда ω(Икс) постоянно на грамм. Кроме того, если Икс и Y оба левоинвариантны, то

${\displaystyle \omega ([X,Y])=[\omega (X),\omega (Y)]}$

где скобка слева - это Скобка Ли векторных полей, а скобка справа - скобка на алгебре Ли грамм. (Это может быть использовано как определение скобки на грамм.) Эти факты могут быть использованы для установления изоморфизма алгебр Ли

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G\cong \{{\hbox{left-invariant vector fields on G}}\}.}$

По определению внешняя производная, если Икс и Y - произвольные векторные поля, то

${\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).}$

Здесь ω(Y) это грамм-значная функция, полученная двойственностью из спаривания одноформной ω с векторным полем Y, и Икс(ω(Y)) это Производная Ли этой функции по Икс. по аналогии Y(ω(Икс)) - производная Ли по Y из грамм-значная функция ω(Икс).

В частности, если Икс и Y левоинвариантны, то

${\displaystyle X(\omega (Y))=Y(\omega (X))=0,}$

так

${\displaystyle d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)]=0}$

но левоинвариантные поля охватывают касательное пространство в любой точке (продвижение базиса в Т_еграмм при диффеоморфизме все еще является базисом), поэтому уравнение верно для любой пары векторных полей Икс и Y. Это известно как Уравнение Маурера – Картана. Часто его записывают как

${\displaystyle d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]=0.}$

Здесь [ω, ω] обозначает скобка алгеброзначных форм Ли.

Рама Маурера – Картана

Можно также рассматривать форму Маурера – Картана как построенную из Рама Маурера – Картана. Позволять E_я быть основа разделов Тграмм состоящий из левоинвариантных векторных полей, и θ^j быть двойная основа разделов Т^*грамм такой, что θ^j(E_я) = δ_я^j, то Дельта Кронекера. потом E_я фрейм Маурера – Картана, а θ^я это Каркас Маурера – Картана.

С E_я левоинвариантно, применение к нему формы Маурера – Картана просто возвращает значение E_я при личности. Таким образом ω(E_я) = E_я(е) ∈ грамм. Таким образом, форму Маурера – Картана можно записать

${\displaystyle \omega =\sum _{i}E_{i}(e)\otimes \theta ^{i}.}$

(1)

Предположим, что скобки Ли векторных полей E_я даны

${\displaystyle [E_{i},E_{j}]=\sum _{k}{c_{ij}}^{k}E_{k}.}$

Количество c_ij^k являются структурные константы алгебры Ли (относительно базиса E_я). Простой расчет с использованием определения внешней производной d, дает

${\displaystyle d\theta ^{i}(E_{j},E_{k})=-\theta ^{i}([E_{j},E_{k}])=-\sum _{r}{c_{jk}}^{r}\theta ^{i}(E_{r})=-{c_{jk}}^{i}=-{\frac {1}{2}}({c_{jk}}^{i}-{c_{kj}}^{i}),}$

так что по двойственности

${\displaystyle d\theta ^{i}=-{\frac {1}{2}}\sum _{jk}{c_{jk}}^{i}\theta ^{j}\wedge \theta ^{k}.}$

(2)

Это уравнение также часто называют Уравнение Маурера – Картана. Чтобы связать это с предыдущим определением, в котором использовалась только форма Маурера – Картана ωвозьмем внешнюю производную от (1):

${\displaystyle d\omega =\sum _{i}E_{i}(e)\otimes d\theta ^{i}\,=\,-{\frac {1}{2}}\sum _{ijk}{c_{jk}}^{i}E_{i}(e)\otimes \theta ^{j}\wedge \theta ^{k}.}$

Компоненты каркаса даются

${\displaystyle d\omega (E_{j},E_{k})=-\sum _{i}{c_{jk}}^{i}E_{i}(e)=-[E_{j}(e),E_{k}(e)]=-[\omega (E_{j}),\omega (E_{k})],}$

устанавливающий эквивалентность двух форм уравнения Маурера – Картана.

На однородном пространстве

Формы Маурера – Картана играют важную роль в теории Картана. метод перемещения кадров. В этом контексте можно рассматривать форму Маурера – Картана как 1-форма определяется на тавтологическом основной пакет связанный с однородное пространство. Если ЧАС это закрытая подгруппа из грамм, тогда грамм/ЧАС гладкое многообразие размерности тусклый грамм - тусклый ЧАС. Факторная карта грамм → грамм/ЧАС индуцирует структуру ЧАС-принципиальный пакет более грамм/ЧАС. Форма Маурера – Картана на группе Ли грамм дает квартиру Картановое соединение для этого основного пакета. В частности, если ЧАС = {е}, то эта связь Картана является обычной форма подключения, и у нас есть

${\displaystyle d\omega +\omega \wedge \omega =0}$

что является условием обращения в нуль кривизны.

В методе подвижных систем отсчета иногда рассматривается локальный участок тавтологического пучка, например s : грамм/ЧАС → грамм. (Если вы работаете на подмногообразие однородного пространства, то s должно быть только локальным сечением над подмногообразием.) откат формы Маурера – Картана вдоль s определяет невырожденный грамм-значен 1-форма θ = s^*ω над основанием. Из уравнения Маурера – Картана следует, что

${\displaystyle d\theta +{\frac {1}{2}}[\theta ,\theta ]=0.}$

Более того, если s_U и s_V - пара локальных сечений, определенных соответственно над открытыми множествами U и V, то они связаны элементом ЧАС в каждом волокне пучка:

${\displaystyle h_{UV}(x)=s_{V}\circ s_{U}^{-1}(x),\quad x\in U\cap V.}$

Дифференциал час дает условие совместимости, связывающее два раздела в области перекрытия:

${\displaystyle \theta _{V}=\operatorname {Ad} (h_{UV}^{-1})\theta _{U}+(h_{UV})^{*}\omega _{H}}$

куда ω_ЧАС форма Маурера – Картана на группе ЧАС.

Система невырожденных грамм-значен 1-формы θ_U определены на открытых множествах в многообразии M, удовлетворяющая структурным уравнениям Маурера – Картана и условиям совместности, задает многообразие M локально со структурой однородного пространства грамм/ЧАС. Другими словами, локально существует диффеоморфизм из M в однородное пространство, такое что θ_U является откатом формы Маурера – Картана вдоль некоторого участка тавтологического расслоения. Это следствие существования примитивов Производная Дарбу.

Примечания

1. Введен Картаном (1904 г.).
2. Тонкость: ${\displaystyle (L_{g})_{*}X}$ дает вектор в ${\displaystyle T_{gh}G{\text{ if }}X\in T_{h}G}$

Рекомендации

• Картан, Эли (1904). "Sur la structure des groupes infinis de transformations" (PDF). Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure). 21: 153–206.
• Р. В. Шарп (1996). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна. Шпрингер-Верлаг, Берлин. ISBN  0-387-94732-9.
• Шломо Штернберг (1964). «Глава V, Группы Ли. Раздел 2, Инвариантные формы и алгебра Ли». Лекции по дифференциальной геометрии. Прентис-Холл. LCCN  64-7993.