Главное однородное пространство - Principal homogeneous space

Относительно термина «торсор» в алгебраической геометрии см. торсор (алгебраическая геометрия).

В математика, а главное однородное пространство,^[1] или торсор, для группа г это однородное пространство Икс для г в которой подгруппа стабилизатора каждой точки тривиально. Эквивалентно главное однородное пространство для группы г непустое множество Икс на котором г действует свободно и переходно (это означает, что для любого Икс, у в Икс, существует единственный г в г такой, что Икс·г = у, где · обозначает (правое) действие г на ИксАналогичное определение имеет место и в других категории, где, например,

• г это топологическая группа, Икс это топологическое пространство и действие непрерывный,
• г это Группа Ли, Икс это гладкое многообразие и действие гладкий; плавный,
• г является алгебраическая группа, Икс является алгебраическое многообразие и действие регулярный.

Определение

Если г является неабелевский тогда нужно различать левый и правый торсоры в зависимости от того, происходит ли действие слева или справа. В этой статье мы будем использовать правильные действия.

Чтобы сформулировать определение более подробно, Икс это г-торсор или г-главное однородное пространство, если Икс непусто и снабжено картой (в соответствующей категории) Икс × г → Икс такой, что

Икс·1 = Икс

Икс·(gh) = (Икс·г)·час

для всех Икс ∈ Икс и все г,час ∈ г и такая, что карта Икс × г → Икс × Икс данный

${\displaystyle (x,g)\mapsto (x,x\cdot g)}$

является изоморфизмом (множеств, или топологических пространств, или ..., в зависимости от ситуации, то есть в рассматриваемой категории).

Обратите внимание, что это означает, что Икс и г изоморфны (в рассматриваемой категории; не как группы: см. ниже). Однако - и это важный момент - в Икс. Это, Икс выглядит в точности как г кроме того, что это за личность, было забыто. (Эта концепция часто используется в математике как способ перейти к более внутренней точке зрения под заголовком «выбросить происхождение».)

поскольку Икс это не группа, мы не можем умножать элементы; однако мы можем взять их "частное". То есть есть карта Икс × Икс → г что посылает (Икс,у) к уникальному элементу г = Икс \ у ∈ г такой, что у = Икс·г.

Однако композиция последней операции с правильным групповым действием дает тернарная операция Икс × (Икс × Икс) → Икс, который служит аффинным обобщением группового умножения и достаточен как для алгебраической характеристики главного однородного пространства, так и для внутренней характеристики группы, с которой оно связано. Если обозначить ${\displaystyle x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)}$ результат этой тернарной операции, то следующий идентичности

${\displaystyle x/y\cdot y=x=y/y\cdot x}$

${\displaystyle v/w\cdot (x/y\cdot z)=(v/w\cdot x)/y\cdot z}$

будет достаточно для определения главного однородного пространства, а дополнительное свойство

${\displaystyle x/y\cdot z=z/y\cdot x}$

определяет те пространства, которые связаны с абелевыми группами. Группа может быть определена как формальные факторы ${\displaystyle x\backslash y}$ с учетом отношения эквивалентности

${\displaystyle x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y}$,

с групповым произведением, тождеством и инверсией, определяемыми, соответственно,

${\displaystyle (x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v}$,

${\displaystyle e=x\backslash x}$,

${\displaystyle (x\backslash y)^{-1}=y\backslash x,}$

и групповое действие

${\displaystyle x\cdot (y\backslash z)=x/y\cdot z.}$

Примеры

Каждая группа г можно рассматривать как левую или правую г-торсор при естественном действии левого или правого умножения.

Другой пример - аффинное пространство концепция: идея аффинного пространства А лежащий в основе векторное пространство V можно сказать лаконично, сказав, что А является главным однородным пространством для V действует как аддитивная группа переводов.

В флаги любой правильный многогранник образуют торсор для своей группы симметрии.

Учитывая векторное пространство V мы можем взять г быть общая линейная группа GL (V), и Икс быть набором всех (упорядоченных) базы из V. потом г действует на Икс так, как он действует на векторы V; и это действует переходно поскольку любой базис можно преобразовать с помощью г к любому другому. Более того, линейное преобразование, фиксирующее каждый вектор базиса, исправит все v в V, следовательно, являясь нейтральным элементом полной линейной группы GL (V) : так что Икс действительно главный однородное пространство. Один из способов проследить базисную зависимость в линейная алгебра аргумент - отслеживать переменные Икс в Икс. Точно так же пространство ортонормированные базы (в Коллектор Штифеля ${\displaystyle V_{n}(\mathbf {R} ^{n})}$ из п-рамки ) - главное однородное пространство для ортогональная группа.

В теория категорий, если два объекта Икс и Y изоморфны, то изоморфизмы между ними Iso (Икс,Y), образуют торсор для группа автоморфизмов из Икс, Aut (Икс), а также для Aut (Y); выбор изоморфизма между объектами приводит к изоморфизму между этими группами и отождествляет торсор с этими двумя группами, давая торсору групповую структуру (как теперь у него базовая точка ).

Приложения

Концепция главного однородного пространства является частным случаем концепции основной пакет: это означает основной пучок с базой в одной точке. Другими словами, локальная теория главных расслоений - это теория семейства главных однородных пространств, зависящих от некоторых параметров в базе. «Происхождение» может быть предоставлено раздел пучка - обычно предполагается, что такие участки существуют локально на базе- связка локально тривиальный, так что локальная структура - это структура декартово произведение. Но разделы часто не существуют глобально. Например, дифференциальный коллектор M имеет основной набор кадры связанный с его касательный пучок. Глобальный раздел будет существовать (по определению) только тогда, когда M является распараллеливаемый, что влечет сильные топологические ограничения.

В теория чисел есть (внешне отличная) причина рассматривать главные однородные пространства, так как эллиптические кривые E определяется над полем K (и более общие абелевы разновидности ). Как только это было понято, различные другие примеры были собраны под заголовком для других алгебраические группы: квадратичные формы для ортогональные группы, и Разновидности Севери – Брауэра для проективные линейные группы будучи двумя.

Причина интереса к Диофантовы уравнения в случае эллиптической кривой состоит в том, что K может и не быть алгебраически замкнутый. Могут существовать кривые C которые не имеют точки, определенной над K, которые становятся изоморфными в большем поле E, которая по определению имеет точку над K служить элементом идентичности для его дополнительного закона. То есть для этого случая следует различать C который имеет род 1, из эллиптических кривых E у которых есть K-точка (или, другими словами, предоставить диофантово уравнение, которое имеет решение в K). Кривые C оказаться торсорами E, и образуют набор, несущий богатую структуру в случае, если K это числовое поле (теория Группа Сельмера ). Фактически типичная плоская кубическая кривая C над Q не имеет особой причины иметь рациональная точка; стандартная модель Вейерштрасса всегда делает, а именно точка на бесконечности, но вам нужна точка над K класть C в эту форму над K.

Эта теория была разработана с большим вниманием к локальный анализ, что приводит к определению Группа Тейт-Шафаревич. В целом подход, основанный на теории торсора, проще простого. алгебраически замкнутое поле, и попытка вернуться "вниз" к меньшему полю - это аспект спуск. Это сразу же приводит к вопросам Когомологии Галуа, поскольку торсоры представляют классы в групповые когомологии ЧАС¹.

Другое использование

Понятие главного однородного пространства также можно глобализировать следующим образом. Позволять Икс быть «пространством» ( схема /многообразие /топологическое пространство и т. д.), и пусть г быть группой Икс, т.е. групповой объект в категория пространств над Икс. В этом случае (скажем так) г-торсор E на Икс это пространство E (того же типа) над Икс с (правым) г действие такой, что морфизм

${\displaystyle E\times _{X}G\rightarrow E\times _{X}E}$

данный

${\displaystyle (x,g)\mapsto (x,xg)}$

является изоморфизм в соответствующем категория, и такой, что E локально тривиален на Икс, в этом E → Икс приобретает раздел локально на Икс. Классы изоморфизма торсоров в этом смысле соответствуют классам из когомология группа ЧАС¹(Икс,г).

Когда мы находимся в гладком многообразии категория, потом г-торсор (для г а Группа Ли ) тогда в точности главный г-связка как определено выше.

Пример: если г компактная группа Ли (скажем), то ${\displaystyle EG}$ это г-торсор над классификация пространства ${\displaystyle BG}$.

Смотрите также

• Однородное пространство
• Куча (математика)

Заметки

1. С. Лэнг и Дж. Тейт (1958). «Главное однородное пространство над абелевыми многообразиями». Американский журнал математики. 80 (3): 659–684. Дои:10.2307/2372778.

дальнейшее чтение

• Гарибальди, Скип; Меркурьев Александр; Серр, Жан-Пьер (2003). Когомологические инварианты в когомологиях Галуа. Серия университетских лекций. 28. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3287-5. Zbl  1159.12311.
• Скоробогатов, А. (2001). Торсоры и рациональные точки. Кембриджские трактаты по математике. 144. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-80237-7. Zbl  0972.14015.

внешние ссылки

• Торсоры стали проще Джон Баэз