Куча (математика) - Heap (mathematics)

В абстрактная алгебра, а полукуча является алгебраическая структура состоящий из непустой набор ЧАС с тернарная операция обозначенный ${displaystyle [x,y,z]in H}$ который удовлетворяет модифицированному свойству ассоциативности:

${displaystyle forall a,b,c,d,ein H [[a,b,c],d,e]=[a,[d,c,b],e]=[a,b,[c,d,e]].}$^[1]

А биунитарный элемент час полукупы удовлетворяет [h, h, k] = k = [к, ч, ч] для каждого k в ЧАС.^[1]:75,6

А куча представляет собой полугруду, в которой каждый элемент бунитарен.^[1]:80

Период, термин куча происходит от слова «груда», что по-русски означает «куча», «куча» или «стопка». Антон Сушкевич использовал этот термин в своем Теория обобщенных групп (1937), которые повлияли Виктор Вагнер, провозвестник полукучей, куч и обобщенных куч.^[1]:11 Груда контрастирует с группой (группа ), переведенный на русский язык транслитерацией. Действительно, кучу назвали гордый в английском тексте.^[2])

Примеры

Двухэлементная куча

Повернуть ${displaystyle H={a,b}}$ в циклическая группа ${displaystyle C_{2}}$, определяя ${displaystyle a}$ элемент идентичности, и ${displaystyle bb=a}$. Затем он создает следующую кучу:

${displaystyle [a,a,a]=a,,[a,a,b]=b,,[b,a,a]=b,,[b,a,b]=a,}$

${displaystyle [a,b,a]=b,,[a,b,b]=a,,[b,b,a]=a,,[b,b,b]=b.}$

Определение ${displaystyle b}$ как элемент идентичности и ${displaystyle aa=b}$ отдал бы такую ​​же кучу.

Куча целых чисел

Если ${displaystyle x,y,z}$ целые числа, мы можем установить ${displaystyle [x,y,z]=x-y+z}$ произвести кучу. Затем мы можем выбрать любой целое число ${displaystyle k}$ быть идентичностью новой группы на множестве целых чисел, с операцией ${displaystyle *}$

${displaystyle x*y=x+y-k}$

и обратный

${displaystyle x^{-1}=2k-x}$.

Куча группоида с двумя объектами

Можно обобщить понятие кучи группы на случай группоид который имеет два объекты А и B если рассматривать как категория. Элементы кучи можно идентифицировать с помощью морфизмы от A до B, что три морфизма Икс, у, z определить операцию кучи в соответствии с:

${displaystyle [x,y,z]=xy^{-1}z.}$

Это сводится к куче группы, если в качестве идентичности выбран определенный морфизм между двумя объектами. Это интуитивно связывает описание изоморфизмов между двумя объектами в виде кучи и описание изоморфизмов между несколькими объектами в виде группоида.

Гетерогенные отношения

Позволять А и B быть разными наборами и ${displaystyle {mathcal {B}}(A,B)}$ сборник разнородные отношения между ними. За ${displaystyle p,q,rin {mathcal {B}}(A,B)}$ определить тернарный оператор${displaystyle [p,q,r]=pq^{T}r}$ куда q^Т это обратное отношение из q. Результат этой композиции также в ${displaystyle {mathcal {B}}(A,B)}$ так что математическая структура была сформирована тернарной операцией.^[3] Виктор Вагнер был мотивирован на формирование этой кучи своим изучением карт переходов в атлас которые частичные функции.^[4] Таким образом, куча - это больше, чем настройка группы: это общая концепция, включающая группу как тривиальный случай.

Теоремы

Теорема: Полукучка с двухкомпонентным элементом. е можно считать инволютивная полугруппа с операцией, заданной ab = [а, е, б] и инволюция а^–1 = [е, а, е].^[1]:76

Теорема: Каждая полукуча может быть встроена в инволютивная полугруппа.^[1]:78

Как и при изучении полугруппы, структура полукучей описывается в терминах идеалы с "i-simple semiheap", не имеющим собственных идеалов. Мустафаева перевела Отношения Грина теории полугрупп в полугруды и определил класс ρ как те элементы, которые порождают один и тот же главный двусторонний идеал. Затем он доказал, что никакая i-простая полукуча не может иметь более двух ρ классов.^[5]

Он также описал классы регулярности полукучки. S:

${displaystyle D(m,n)={amid exists xin S:a=a^{n}xa^{m}}}$ куда п и м имеют то же самое паритет и тернарная операция полукуча применяется слева от строки из S.

Он доказывает, что S может иметь не более 5 классов регулярности. Мустафаев называет идеалом B "изолирован", когда ${displaystyle a^{n}in Bimplies ain B.}$ Затем он доказывает, что когда S = D (2,2), то каждый идеал изолирован, и наоборот.^[6]

Изучая полумулок Z (А, Б) из разнородные отношения между сетами А и B, в 1974 г. К. А. Зарецкий, следуя примеру Мустафаева, описал идеальную эквивалентность, классы регулярности и идеальные факторы полукупы.^[7]

Обобщения и связанные концепции

• А псевдо-куча или же псевдогруд удовлетворяет частичному параассоциативному условию^[4]

${displaystyle [[a,b,c],d,e]=[a,b,[c,d,e]].}$^{[сомнительный ]}

• А Мальцевская операция удовлетворяет закону тождества, но не обязательно параассоциативному закону,^[8] это тернарная операция ${displaystyle f}$ на съемочной площадке ${displaystyle X}$ удовлетворение личности ${displaystyle f(x,x,y)=f(y,x,x)=y}$.
• А полукуча или же полугрудный требуется, чтобы удовлетворять только пара-ассоциативному закону, но не обязательно подчиняться закону тождества.^[9]

Пример полуграда, который в общем случае не является грунтом, дается следующим образом: M а звенеть из матрицы фиксированного размера с

${displaystyle [x,y,z]=xcdot y^{mathrm {T} }cdot z}$

где • означает матричное умножение а T обозначает матрица транспонировать.^[9]

• An идемпотентная полукуча это полукуча, где ${displaystyle [a,a,a]=a}$ для всех а.
• А обобщенная куча или же обобщенная земля идемпотентная полукуча, где

${displaystyle [a,a,[b,b,x]]=[b,b,[a,a,x]]}$ и ${displaystyle [[x,a,a],b,b]=[[x,b,b],a,a]}$ для всех а и б.

Полугруд является обобщенным слоем, если отношение → определяется формулой

${displaystyle aightarrow bLeftrightarrow [a,b,a]=a}$

является рефлексивный (идемпотентность) и антисимметричный. В обобщенной группе → является отношение порядка.^[10]

Смотрите также

п-арная ассоциативность

Примечания

1. CD. Холлингс и М.В. Лоусон (2017) Теория обобщенных груд Вагнера, Книги Springer ISBN  978-3-319-63620-7 МИСТЕР3729305
2. Schein (1979), стр.101–102: сноска (o)
3. Кристофер Холлингс (2014) Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп, страницы 264,5, История математики 41, Американское математическое общество ISBN  978-1-4704-1493-1
4. Вагнер (1968)
5. Л. Г. Мустафаев (1966) «Идеальные эквивалентности полукучей». МИСТЕР0202892
6. Л. Г. Мустафаев (1965) "Классы регулярности полукучей". МИСТЕР0209386
7. К. А. Зарецкий (1974) «Полугруды бинарных отношений». МИСТЕР0364526
8. Борсё, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории. Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4020-1961-6.
9. Молдавская, З. Я. «Линейные полукулы». Доповиди Ахад. Наук Украины. RSR Ser. А. 1971: 888–890, 957. МИСТЕР  0297918.
10. Schein (1979) стр.104

Рекомендации

• Антон Сушкевич (1929) «Об одном обобщении ассоциативного закона», Труды Американского математического общества 31(1): 204–14 Дои:10.1090 / S0002-9947-1929-1501476-0 МИСТЕР1501476
• Шейн, Борис (1979). «Обратные полугруппы и обобщенные группы». В сборнике А.Ф. Лаврика (ред.). Двенадцать работ по логике и алгебре. Амер. Математика. Soc. Пер. 113. Американское математическое общество. С. 89–182. ISBN  0-8218-3063-5.
• Вагнер, В.В. (1968). «К алгебраической теории координатных атласов, II». Труды сем. Вектор. Tenzor. Анальный. (на русском). 14: 229–281. МИСТЕР  0253970.

внешняя ссылка

• Сорт Мальцева в nLab