Эли Картан - Élie Cartan

Эли Картан
Эли Картан.jpg
Профессор Эли Джозеф Картан
Родился(1869-04-09)9 апреля 1869 г.
Доломье, Изер, Франция
Умер6 мая 1951 года(1951-05-06) (82 года)
Париж, Франция
НациональностьФранция
Альма-матерПарижский университет
ИзвестенГруппы Ли (Теорема Картана )
Векторные пространства и внешняя алгебра
Дифференциальная геометрия
Особый и общая теория относительности
Дифференциальные формы
Квантовая механика (спиноры, вращающийся векторов )
Список вещей, названных в честь Эли Картана
НаградыПриз Леконта (1930)
Премия Лобачевского (1937)
Президент Французская Академия Наук (1946)
Член Королевского общества (1947)
Научная карьера
ПоляМатематика и физика
УчрежденияПарижский университет
École Normale Supérieure
ТезисSur la structure des groupes de transformations finis et continus (1894)
ДокторантГастон Дарбу
Софус Ли
ДокторантыЧарльз Эресманн
Мохсен Хаштрооди
Кентаро Яно
Другие известные студентыЧен Синшэнь

Эли Джозеф Картан, ForMemRS (Французский:[kaʁtɑ̃]; 9 апреля 1869 - 6 мая 1951) был влиятельным французским математиком, который провел фундаментальные работы в области теории Группы Ли, дифференциальные системы (безкоординатная геометрическая формулировка PDEs ), и дифференциальная геометрия. Он также внес значительный вклад в общая теория относительности и косвенно квантовая механика.[1][2][3] Он широко известен как один из величайших математиков двадцатого века.[3]

Его сын Анри Картан был влиятельным математиком, работавшим в алгебраическая топология.

Жизнь

Эли Картан родился 9 апреля 1869 года в деревне Доломье, Изер Джозефу Картану (1837–1917) и Анне Коттаз (1841–1927). Джозеф Картан был деревенским кузнецом; Эли Картан вспоминал, что его детство прошло под «ударами наковальни, которые начинались каждое утро с рассвета», и что «его мать в те редкие минуты, когда она была свободна от заботы о детях и доме, работала с прялка ". У Эли была старшая сестра Жанна-Мари (1867–1931), которая стала портнихой; младший брат Леон (1872–1956), который стал кузнецом, работая в кузнице своего отца; и младшая сестра Анна Картан (1878–1923), который, частично под влиянием Эли, вошел в École Normale Supérieure (как это делала Эли) и выбрала карьеру учителя математики в лицее (средней школе).

Эли Картан поступил в начальную школу в Доломье и был лучшим учеником в школе. Один из его учителей, М. Дюпюи, вспоминал, что «Эли Картан был застенчивым учеником, но в его глазах светился необычный свет большого ума, и это сочеталось с прекрасной памятью». Антонин Дубост, то представитель Изер, посетил школу и был впечатлен необычными способностями Картана. Он рекомендовал Картану принять участие в конкурсе на стипендию в лицей. Картан подготовился к конкурсу под руководством М. Дюпюи и прошел в возрасте десяти лет. Он провел пять лет (1880–1885) в Венском колледже, а затем два года (1885–1887) в лицее Гренобля. В 1887 году он переехал в Lycée Janson de Sailly в Париже на два года изучать естественные науки; там он познакомился и подружился со своим одноклассником Жан-Батист Перрен (1870–1942), впоследствии ставший известным во Франции физиком.

Картан поступил в École Normale Supérieure в 1888 г. Он слушал там лекции Чарльз Эрмит (1822–1901), Жюль Кожевников (1848–1910), Гастон Дарбу (1842–1917), Пол Аппель (1855–1930), Эмиль Пикар (1856–1941), Эдуард Гурса (1858–1936) и Анри Пуанкаре (1854–1912), чьи лекции были наиболее высоко ценим Картаном.

После окончания Высшей школы нормального образования в 1891 году Картан был призван во французскую армию, где прослужил один год и получил звание сержанта. В течение следующих двух лет (1892–1894) Картан вернулся в ENS и по совету своего одноклассника Артура Тресса (1868–1958), который учился у Софус Ли в 1888–1889 гг. работал над классификацией простые группы Ли, который был начат Вильгельм Киллинг. В 1892 году Ли приехал в Париж по приглашению Дарбу и Кожевника и впервые встретился с Картаном.

Картан защитил диссертацию, Строение конечных непрерывных групп преобразований в 1894 г. на факультете наук Сорбонны. С 1894 по 1896 год Картан читал лекции в Университет Монпелье; с 1896 по 1903 год он был лектором на факультете естественных наук Лионский университет.

В 1903 году, находясь в Лионе, Картан женился на Мари-Луизе Бьянкони (1880–1950); в том же году Картан стал профессором факультета наук в Университет Нанси. В 1904 году первый сын Картана, Анри Картан родился впоследствии влиятельный математик; в 1906 году родился еще один сын, Жан Картан, ставший композитором. В 1909 году Картан переехал с семьей в Париж и работал преподавателем на факультете наук в Сорбонне. В 1912 году Картан стал там профессором, основываясь на рекомендации, полученной от Пуанкаре. Он оставался в Сорбонне до выхода на пенсию в 1940 году и провел последние годы своей жизни, преподавая математику в Высшей школе для девочек (École Normale Supérieure).

Будучи учеником Картана, геометр Шиинг-Шен Черн написал:[4]

Обычно на следующий день после [встречи с Картаном] я получал от него письмо. Он говорил: «После того, как вы ушли, я больше думал о ваших вопросах ...» - у него были некоторые результаты, еще несколько вопросов и так далее. Он знал все эти бумаги на простом Группы Ли, Алгебры Ли, все наизусть. Когда вы видели его на улице, когда возникала определенная проблема, он вытаскивал какой-то старый конверт, что-то писал и давал вам ответ. А иногда мне требовались часы или даже дни, чтобы получить тот же ответ ... Мне приходилось очень много работать.

В 1921 году он стал иностранным членом Польская академия обучения а в 1937 г. иностранный член Королевская Нидерландская академия искусств и наук.[5] В 1938 году он участвовал в Международном комитете, созданном для организации Международных конгрессов за единство науки.[6]

Он умер в 1951 году в Париже после продолжительной болезни.

В 1976 г. лунный кратер был назван в его честь. Ранее он назывался Аполлоний Д.

Работа

в TravauxКартан разбивает свою работу на 15 областей. Используя современную терминологию, это:

  1. Теория лжи
  2. Представления групп Ли
  3. Гиперкомплексные числа, алгебры с делением
  4. Системы PDE, Теорема Картана – Келера
  5. Теория эквивалентности
  6. Интегрируемые системы, теория продолжения и системы в инволюции
  7. Бесконечномерные группы и псевдогруппы
  8. Дифференциальная геометрия и движущиеся рамы
  9. Обобщенные пространства со структурными группами и связи, Картановое соединение, голономия, Тензор Вейля
  10. Геометрия и топология групп Ли
  11. Риманова геометрия
  12. Симметричные пространства
  13. Топология компактные группы и их однородные пространства
  14. Интегральные инварианты и классическая механика
  15. Относительность, спиноры

Математические работы Картана можно охарактеризовать как развитие анализа дифференцируемых многообразий, который многие теперь считают центральной и наиболее важной частью современной математики и который он в первую очередь сформировал и развил. Эта область сосредоточена на группах Ли, системах с частными производными и дифференциальной геометрии; они, главным образом благодаря вкладу Картана, теперь тесно переплетены и составляют единый и мощный инструмент.

Группы Ли

Картан был практически единственным в области групп Ли в течение тридцати лет после своей диссертации. Ли рассматривал эти группы в основном как системы аналитических преобразований аналитического многообразия, аналитически зависящих от конечного числа параметров. Очень плодотворный подход к изучению этих групп был открыт в 1888 г., когда Вильгельм Киллинг систематически начал изучать группу в самой себе, независимо от ее возможных действий на других многообразиях. В то время (и до 1920 г.) рассматривались только локальные свойства, поэтому основным объектом изучения для Киллинга была алгебра Ли группы, которая точно отражает локальные свойства в чисто алгебраических терминах. Величайшим достижением Киллинга было определение всех простых сложных алгебр Ли; его доказательства, однако, часто были ошибочными, и диссертация Картана была посвящена в основном обеспечению строгого обоснования локальной теории и доказательству существования исключительных алгебр Ли, принадлежащих каждому из типов простых комплексных алгебр Ли, которые, как показал Киллинг, быть возможно. Позже Картан завершил локальную теорию явным решением двух фундаментальных проблем, для которых ему пришлось разработать совершенно новые методы: классификацию простых вещественных алгебр Ли и определение всех неприводимых линейных представлений простых алгебр Ли с помощью понятия веса. представительства, которое он ввел с этой целью. Именно в процессе определения линейных представлений ортогональных групп Картан в 1913 году открыл спиноры, которая впоследствии сыграла такую ​​важную роль в квантовой механике.

После 1925 г. Картана все больше интересовали топологические вопросы. Вдохновленный блестящими результатами Вейля о компактных группах, он разработал новые методы исследования глобальных свойств групп Ли; в частности, он показал, что топологически связная группа Ли является произведением евклидова пространства и компактной группы, а для компактных групп Ли он обнаружил, что возможные фундаментальные группы лежащего в основе многообразия можно прочитать из структуры алгебры Ли группы Ли. группа. Наконец, он обрисовал в общих чертах метод определения чисел Бетти компактных групп Ли, снова сведя проблему к алгебраическому вопросу об их алгебрах Ли, который с тех пор полностью решен.

Псевдогруппы Ли

После решения проблемы структуры групп Ли, которые Картан (вслед за Ли) назвал «конечными непрерывными группами» (или «конечными группами преобразований»), Картан поставил аналогичную проблему для «бесконечных непрерывных групп», которые теперь называются псевдогруппами Ли), бесконечномерный аналог групп Ли (есть и другие бесконечные обобщения групп Ли). Псевдогруппа Ли, рассматриваемая Картаном, представляет собой набор преобразований между подмножествами пространства, которое содержит идентичное преобразование и обладает тем свойством, что результат композиции двух преобразований в этом наборе (если это возможно) принадлежит одному и тому же набору. Так как композиция двух преобразований не всегда возможна, набор преобразований - это не группа (а группоид в современной терминологии), отсюда и название псевдогруппы. Картан рассматривал только те преобразования многообразий, для которых нет деления многообразий на классы, транспонированные рассматриваемыми преобразованиями. Такие псевдогруппы преобразований называются примитивными. Картан показал, что каждая бесконечномерная примитивная псевдогруппа комплексных аналитических преобразований принадлежит одному из шести классов: 1) псевдогруппе всех аналитических преобразований n комплексных переменных; 2) псевдогруппа всех аналитических преобразований n комплексных переменных с постоянным якобианом (т. Е. Преобразований, которые умножают все объемы на одно и то же комплексное число); 3) псевдогруппа всех аналитических преобразований n комплексных переменных, якобиан которых равен единице (т. Е. Преобразований, сохраняющих объемы); 4) псевдогруппа всех аналитических преобразований 2n> 4 комплексных переменных, сохраняющих некоторый двойной интеграл (симплектическая псевдогруппа); 5) псевдогруппа всех аналитических преобразований 2n> 4 комплексных переменных, умножающих упомянутый двойной интеграл на комплексную функцию; 6) псевдогруппа всех аналитических преобразований 2n + 1 комплексных переменных, умножающих некоторую форму на комплексную функцию (контактная псевдогруппа). Существуют аналогичные классы псевдогрупп для примитивных псевдогрупп вещественных преобразований, определяемых аналитическими функциями вещественных переменных.

Дифференциальные системы

Методы Картана в теории дифференциальных систем, пожалуй, его самое глубокое достижение. Нарушая традиции, он с самого начала стремился формулировать и решать проблемы полностью инвариантным образом, независимо от какого-либо конкретного выбора переменных и неизвестных функций. Таким образом, он впервые смог дать точное определение того, что является «общим» решением произвольной дифференциальной системы. Следующим его шагом была попытка определить все «особые» решения с помощью метода «продолжения», заключающегося в присоединении новых неизвестных и новых уравнений к данной системе таким образом, чтобы любое сингулярное решение исходной системы стало общее решение новой системы. Хотя Картан показал, что в каждом примере, который он рассматривал, его метод приводил к полному определению всех сингулярных решений, ему не удалось в целом доказать, что это всегда будет иметь место для произвольной системы; такое доказательство было получено в 1955 г. Масатаке Кураниши.

Основным инструментом Картана было исчисление внешних дифференциальных форм, которое он помог создать и развить в течение десяти лет после своей диссертации, а затем с необычайной виртуозностью применил его к самым разнообразным задачам дифференциальной геометрии, групп Ли, аналитической динамики и т. Д. общая теория относительности. Он обсудил большое количество примеров, рассматривая их в чрезвычайно эллиптическом стиле, что стало возможным только благодаря его сверхъестественной алгебраической и геометрической проницательности.

Дифференциальная геометрия

Вклад Картана в дифференциальную геометрию не менее впечатляет, и можно сказать, что он оживил весь предмет, поскольку первоначальная работа Римана и Дарбу терялась в унылых вычислениях и второстепенных результатах, так же, как это произошло с элементарной геометрией и теорией инвариантов. поколением раньше. Его руководящим принципом было значительное расширение метода «движущихся систем отсчета» Дарбу и Рибокура, которому он придал огромную гибкость и мощь, намного превосходящую все, что было сделано в классической дифференциальной геометрии. Говоря современным языком, метод состоит в том, чтобы связать с расслоением E основное расслоение, имеющее ту же основу и имеющее в каждой точке базы слой, равный группе, которая действует на слой E в той же точке. Если E - касательное расслоение над базой (которое, поскольку Ли было по существу известно как многообразие «контактных элементов»), соответствующая группа является общей линейной группой (или ортогональной группой в классической евклидовой или римановой геометрии). Способность Картана обращаться со многими другими типами волокон и групп позволяет приписать ему первую общую идею пучка волокон, хотя он никогда не определял ее явно. Эта концепция стала одной из самых важных во всех областях современной математики, главным образом в глобальной дифференциальной геометрии, а также в алгебраической и дифференциальной топологии. Картан использовал его, чтобы сформулировать свое определение связи, которое теперь используется повсеместно и вытеснило предыдущие попытки нескольких геометров, предпринятые после 1917 года, найти тип «геометрии», более общий, чем риманова модель, и, возможно, лучше приспособленный к описанию. Вселенной в соответствии с общей теорией относительности.

Картан показал, как использовать свою концепцию связи, чтобы получить гораздо более элегантное и простое представление римановой геометрии. Однако его главным вкладом в последнее было открытие и изучение симметричных римановых пространств, один из немногих случаев, когда инициатор математической теории был также тем, кто довел ее до конца. Симметричные римановы пространства могут быть определены различными способами, простейший из которых постулирует существование вокруг каждой точки пространства «симметрии», которая является инволютивной, оставляет точку неподвижной и сохраняет расстояния. Неожиданный факт, обнаруженный Картаном, состоит в том, что можно дать полное описание этих пространств с помощью классификации простых групп Ли; Поэтому неудивительно, что в различных областях математики, таких как автоморфные функции и аналитическая теория чисел (очевидно, далеких от дифференциальной геометрии), эти пространства играют роль, которая становится все более важной.

Альтернативная теория общей теории относительности

Смотрите также: Альтернативы общей теории относительности

Картан также создал конкурирующую теорию гравитации. Теория Эйнштейна – Картана.

Публикации

Работы Картана собраны в его 6 томах Oeuvrescompètes. (Париж, 1952–1955). Два отличных уведомления о некрологе С. С. Черн и К. Шевалли, в Бюллетене Американского математического общества, 58 (1952); и Дж. Х. К. Уайтхед, в Некрологическом письме Королевского общества (1952).

  • Картан, Эли (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Диссертация, Нет
  • Картан, Эли (1899), "Sur определенных выражений différentielles et le problème de Pfaff", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure), Серия 3 (на французском языке), Париж: Готье-Виллар, 16: 239–332, Дои:10.24033 / asens.467, ISSN  0012-9593, JFM  30.0313.04
  • Leçons sur les invariants intégraux, Герман, Париж, 1922 г.
  • La Géométrie des espaces de Riemann, 1925
  • Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann, Готье-Виллар, 1928 г.
  • Теория конечных групп и непрерывный анализ мест, Готье-Виллар, 1930 г.
  • Leçons sur la géométrie проективный комплекс, Готье-Виллар, 1931 г.
  • Абсолютный параллелизм и чемпионская теория, Герман, 1932 г.
  • Les Espaces Métriques Fondés sur la Notion d'Arie, Герман, 1933[7]
  • La méthode de repère mobile, la théorie des groupes continus, et les espaces généralisés, 1935[8]
  • Leçons sur la théorie des espaces à Connexion projective, Готье-Виллар, 1937 г.[9]
  • Теория конечных групп и континентов и геометрические различия в чертах по методу репертуара мобильных устройств, Готье-Виллар, 1937 г.[10]
  • Картан, Эли (1981) [1938], Теория спиноров, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-64070-9, Г-Н  0631850[11][12]
  • Les systèmes différentiels extérieurs et leurs géométriques приложений, Герман, 1945[13]
  • Oeuvres complete, 3 части в 6 томах, Париж с 1952 по 1955 год, перепечатано CNRS 1984:[14]
    • Часть 1: Groupes de Lie (в 2-х томах), 1952
    • Часть 2, т. 1: Algèbre, formes différentielles, systèmes différentiels, 1953 г.
    • Часть 2, т. 2: Groupes finis, Systèmes différentiels, theories d'équivalence, 1953 г.
    • Часть 3, т. 1. Дайверы, géométrie différentielle, 1955 г.
    • Часть 3, т. 2: Géométrie différentielle, 1955 г.
  • Эли Картан и Альберт Эйнштейн: Письма об абсолютном параллелизме, 1929–1932 гг. / оригинальный текст на французском и немецком языках, пер. Жюль Лерой и Джим Риттер, изд. Роберт Дебевер, Princeton University Press, 1979 г.[15]

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Эли Картан", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
  2. ^ Эли Картан на Проект "Математическая генеалогия"
  3. ^ а б О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Е. Ф. (1999). Великие математики ХХ века (PDF).
  4. ^ Джексон, Аллин (1998). "Интервью с Шиинг Шен Черн" (PDF).
  5. ^ "Эли Дж. Картан (1869–1951)". Королевская Нидерландская академия искусств и наук. Получено 19 июля 2015.
  6. ^ Нейрат, Отто (1938). «Единая наука как энциклопедическая интеграция». Международная энциклопедия объединенной науки. 1 (1): 1–27.
  7. ^ Кнебельман, М. С. (1937). "Рецензия на книгу: Les Espaces Métriques Fondés sur la Notion d'Arie". Бюллетень Американского математического общества. 43 (3): 158–159. Дои:10.1090 / S0002-9904-1937-06493-7. ISSN  0002-9904.
  8. ^ Леви, Гарри (1935). "Обзор: La Méthode de Repère Mobile, La Théorie des Groupes Continus, et Les Espaces Généralisés". Бык. Амер. Математика. Soc. 41 (11): 774. Дои:10.1090 / с0002-9904-1935-06183-х.
  9. ^ Вандерслис, Дж. Л. (1938). "Обзор: Leçons sur la théorie des espaces à Connexion projective". Бык. Амер. Математика. Soc. 44 (1, часть 1): 11–13. Дои:10.1090 / с0002-9904-1938-06648-7.
  10. ^ Вейль, Германн (1938). «Картан о группах и дифференциальной геометрии». Бык. Амер. Математика. Soc. 44 (9, часть 1): 598–601. Дои:10.1090 / S0002-9904-1938-06789-4.
  11. ^ Гивенс, Уоллес (1940). "Обзор: La Theórie des Spineurs Эли Картан " (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. 46 (11): 869–870. Дои:10.1090 / с0002-9904-1940-07329-х.
  12. ^ Русе, Гарольд Стэнли (июль 1939 г.). "Обзор: Leçons sur le theórie des spineurs Э. Картана ». Математический вестник. 23 (255): 320–323. Дои:10.2307/3606453. JSTOR  3606453.
  13. ^ Томас, Дж. М. (1947). "Обзор: Les systèmes différentiels extérieurs et leurs géométriques приложений". Бык. Амер. Математика. Soc. 53 (3): 261–266. Дои:10.1090 / s0002-9904-1947-08750-4.
  14. ^ Картан, Эли (1899 г.), "Sur некоторых выражений différentielles et le problème de Pfaff", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure), 16: 239–332, Дои:10.24033 / asens.467
  15. ^ "Обзор Эли Картан, Альберт Эйнштейн: Письма об абсолютном параллелизме, 1929–1932 гг. под редакцией Роберта Дебевера ". Бюллетень ученых-атомщиков. 36 (3): 51. Март 1980.

внешние ссылки

Английские переводы некоторых его книг и статей: