Подвижная рамка - Moving frame

В Кадр Френе – Серре на кривой - простейший пример движущейся системы отсчета.

В математика, а подвижная рама является гибким обобщением понятия заказная основа из векторное пространство часто используется для изучения внешняя дифференциальная геометрия из гладкие многообразия встроен в однородное пространство.

Вступление

Говоря простым языком, точка зрения это система измерительные стержни используется наблюдатель измерить окружающее пространство, предоставив координаты. А подвижная рама тогда система отсчета, которая движется вместе с наблюдателем по траектории (a изгиб ). В этом простом примере метод движущейся рамы стремится создать «предпочтительную» движущуюся раму из кинематический свойства наблюдателя. В геометрической постановке эта проблема была решена в середине 19 века. Жан Фредерик Френе и Джозеф Альфред Серре.^[1] В Кадр Френе-Серре подвижный репер, заданный на кривой, которую можно построить исключительно из скорость и ускорение кривой.^[2]

Рама Френе-Серре играет ключевую роль в дифференциальная геометрия кривых, что в конечном итоге приводит к более или менее полной классификации гладких кривых в евклидовом пространстве с точностью до соответствие.^[3] В Формулы Френе – Серре показать, что на кривой задана пара функций: кручение и кривизна, которые получаются дифференцирующий кадр, и которые полностью описывают, как кадр развивается во времени вдоль кривой. Ключевой особенностью общего метода является то, что предпочтительная движущаяся система координат, если она может быть найдена, дает полное кинематическое описание кривой.

Трехгранник Дарбу, состоящий из точки п, и тройка ортогональный единичные векторы е₁, е₂, и е₃ который адаптирован к поверхности в том смысле, что п лежит на поверхности, и е₃ перпендикулярно поверхности.

В конце 19 века Гастон Дарбу исследовал задачу построения выделенного подвижного репера на поверхность в евклидовом пространстве вместо кривой Рамка Дарбу (или Trièdre Mobile как это тогда называлось). Построить такой каркас вообще оказалось невозможным, и что условия интегрируемости которые нужно было сначала удовлетворить.^[1]

Позже подвижные рамки широко разрабатывались Эли Картан и другие при изучении подмногообразий более общего однородные пространства (Такие как проективное пространство ). В этой настройке Рамка переносит геометрическую идею основы векторного пространства на другие виды геометрических пространств (Геометрии Клейна ). Вот несколько примеров фреймов:^[3]

А линейная рамка является заказная основа из векторное пространство.
An ортонормированный каркас векторного пространства - это упорядоченный базис, состоящий из ортогональный единичные векторы (ан ортонормированный базис ).
An аффинная рамка аффинного пространства состоит из выбора источник вместе с упорядоченным базисом векторов в ассоциированном разностное пространство.^[4]
А Евклидова рамка аффинного пространства - это выбор начала координат наряду с ортонормированным базисом разностного пространства.
А проекционная рамка на п-размерный проективное пространство это упорядоченный набор п+1 линейно независимый точки в пространстве.
Поля кадра в общей теории относительности четырехмерные рамки, или Vierbeins, на немецком.

В каждом из этих примеров набор всех фреймов однородный в определенном смысле. В случае линейных фреймов, например, любые два фрейма связаны элементом общая линейная группа. Проективные фреймы связаны соотношением проективная линейная группа. Эта однородность или симметрия класса кадров отражает геометрические особенности линейного, аффинного, евклидова или проективного ландшафта. Движущийся фрейм в этих обстоятельствах и есть фрейм, который меняется от точки к точке.

Формально рама на однородное пространство грамм/ЧАС состоит из точки в тавтологическом расслоении грамм → грамм/ЧАС. А подвижная рама это раздел этого пакета. это движущийся в том смысле, что при изменении точки основания каркас в волокне изменяется на элемент группы симметрии грамм. Движущийся репер на подмногообразии M из грамм/ЧАС это раздел откат тавтологического пучка к M. По сути^[5] подвижный фрейм можно определить на основной пакет п над многообразием. В этом случае подвижная система отсчета задается грамм-эквивариантное отображение φ: п → грамм, таким образом обрамление многообразие элементами группы Ли грамм.

Можно распространить понятие фреймов на более общий случай: можно "припаять "а пучок волокон к гладкое многообразие таким образом, что волокна ведут себя так, как будто они касаются друг друга. Когда пучок волокон представляет собой однородное пространство, это сводится к описанному выше полю кадра. Когда однородное пространство является частным от специальные ортогональные группы, это сводится к стандартной концепции Vierbein.

Хотя существует существенное формальное различие между внешней и внутренней движущейся системой отсчета, они обе похожи в том смысле, что движущаяся система всегда задается отображением в грамм. Стратегия Картана метод перемещения кадров, как кратко изложено в Метод эквивалентности Картана, это найти естественная подвижная рама на коллекторе, а затем взять его Производная Дарбу, другими словами откат в Форма Маурера-Картана из грамм к M (или же п), и тем самым получить полный набор структурных инвариантов многообразия.^[3]

Метод подвижной рамы

Картан (1937) сформулировал общее определение подвижной системы отсчета и метод подвижной системы отсчета, разработанные Вейль (1938). Элементы теории

А Группа Ли грамм.
А Пространство Клейна Икс группа геометрических автоморфизмов которого грамм.
А гладкое многообразие Σ, которое служит пространством (обобщенных) координат для Икс.
Коллекция кадры ƒ каждый из которых определяет координатную функцию из Икс в Σ (точная природа шкалы остается неясной в общей аксиоматизации).

Затем предполагается, что между этими элементами выполняются следующие аксиомы:

Есть свободный и переходный групповое действие из грамм по сбору кадров: это главное однородное пространство за грамм. В частности, для любой пары фреймов ƒ и ƒ ′ существует единственный переход фрейма (ƒ → ƒ ′) в грамм определяется требованием (ƒ → ƒ ′) ƒ = ƒ ′.
Учитывая каркас ƒ и точку А ∈ Икс, есть связанная точка Икс = (А, ƒ) принадлежащие Σ. Это отображение, определяемое шкалой, является биекцией из точек Икс к таковым из Σ. Эта биекция совместима с законом композиции фреймов в том смысле, что координата Икс′ Точки А в другой системе отсчета ƒ ′ возникает из (А, ƒ) применением преобразования (ƒ → ƒ ′). То есть,

{ displaystyle (A, f ') = (f to f') circ (A, f).}

Для метода интересны параметризованные подмногообразия Икс. Рассмотрение в основном носит локальный характер, поэтому область параметров рассматривается как открытое подмножество р^λ. Немного разные методы применяются в зависимости от того, интересует ли подмногообразие вместе с его параметризацией, или подмногообразие вплоть до повторной параметризации.

Перемещение касательных кадров

Наиболее часто встречающийся случай подвижной системы отсчета - это связка касательных рамок (также называемая комплект кадров ) многообразия. В этом случае движущийся касательный репер на многообразии M состоит из набора векторных полей е₁, е₂, ..., е_п составляя основу касательное пространство в каждой точке открытого множества U ⊂ M.

Если ${ Displaystyle (х ^ {1}, х ^ {2}, ..., х ^ {п})}$ система координат на U, то каждое векторное поле е_j можно выразить как линейную комбинацию координатных векторных полей ${ displaystyle { frac { partial} { partial x ^ {i}}}}$ :

{ displaystyle e_ {j} = sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {j} ^ {i} { frac { partial} { partial x ^ {i}}},}

где каждый

{ displaystyle A_ {j} ^ {i}}

это функция на U. Их можно рассматривать как компоненты матрицы

{ displaystyle A}

. Эта матрица полезна для нахождения координатного выражения двойного coframe, как объясняется в следующем разделе.

Coframes

Подвижная рамка определяет двойная рама или же рама из котангенсный пучок над U, который иногда также называют подвижным фреймом. Это п-комплект гладких 1-формы

θ¹, θ² , ..., θ^п

которые линейно независимы в каждой точке q в U. И наоборот, у такого каркаса есть уникальная подвижная рама. е₁, е₂, ..., е_п которое двойственно ему, т. е. удовлетворяет соотношению двойственности θ^я(е_j) = δ^я_j, куда δ^я_j это Дельта Кронекера функционировать на U.

Если ${ Displaystyle (х ^ {1}, х ^ {2}, ..., х ^ {п})}$ система координат на U, как и в предыдущем разделе, то каждое ковекторное поле θ^я можно выразить как линейную комбинацию координатных ковекторных полей ${ displaystyle dx ^ {i}}$ :

{ displaystyle theta ^ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} B_ {j} ^ {i} dx ^ {j},}

где каждый

{ displaystyle B_ {j} ^ {i}}

это функция на U. С

{ displaystyle dx ^ {i} left ({ frac { partial} { partial x ^ {j}}} right) = delta _ {j} ^ {i}}

, два координатных выражения выше объединяются, чтобы дать

{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {k} ^ {i} A_ {j} ^ {k} = delta _ {j} ^ {i}}

; в терминах матриц это просто говорит, что

{ displaystyle A}

и

{ displaystyle B}

находятся обратное друг друга.

В обстановке классическая механика, при работе с канонические координаты, канонический кофрейм задается тавтологический однообразный. Интуитивно он связывает скорости механической системы (заданные векторными полями на касательном пучке координат) с соответствующими импульсами системы (заданными векторными полями в кокасательном расслоении, т.е. заданными формами). Тавтологическая одноформа - это частный случай более общего форма припоя, который обеспечивает поле (ко) кадра на общем пучок волокон.

Использует

Подвижные рамки важны в общая теория относительности, где нет привилегированного способа расширить выбор кадра на мероприятии п (точка в пространство-время, которое представляет собой многообразие размерности четыре) в близлежащие точки, поэтому необходимо сделать выбор. В отличие от специальная теория относительности, M рассматривается как векторное пространство V (размерности четыре). В этом случае кадр в точке п можно перевести с п в любую другую точку q четко определенным образом. Вообще говоря, движущаяся система отсчета соответствует наблюдателю, а выделенные системы отсчета в специальной теории относительности представляют инерционные наблюдатели.

В теории относительности и в Риманова геометрия, наиболее полезными подвижными кадрами являются ортогональный и ортонормированные рамки, то есть фреймы, состоящие из ортогональных (единичных) векторов в каждой точке. В данный момент п общий каркас может быть сделан ортонормированным с помощью ортонормализация; фактически это можно сделать плавно, так что существование движущейся системы отсчета подразумевает существование движущейся ортонормированной системы отсчета.

Более подробная информация

Движущийся фрейм существует всегда локально, т.е. в некоторой окрестности U любой точки п в M; однако наличие подвижной системы отсчета на глобальном уровне M требует топологический условия. Например, когда M это круг, или в более общем смысле тор, такие рамки существуют; но не когда M это 2-сфера. Многообразие, имеющее глобальную подвижную систему отсчета, называется параллелизируемый. Обратите внимание, например, как единичные направления широта и долгота на поверхности Земли ломаются как движущиеся рамки на северном и южном полюсах.

В метод перемещения кадров из Эли Картан основан на взятии подвижной системы отсчета, адаптированной к конкретной изучаемой проблеме. Например, учитывая изгиб в пространстве первые три производных вектора кривой могут в общем случае определять систему отсчета в ее точке (см. тензор кручения для количественного описания - здесь предполагается, что кручение не равно нулю). На самом деле, в методе подвижных фреймов чаще работают с кадрами, а не с фреймами. В более общем смысле, движущиеся кадры можно рассматривать как части основные связки по открытым сетам U. Общий метод Картана использует эту абстракцию, используя понятие Картановое соединение.

Атласы

Во многих случаях невозможно определить единую систему отсчета, действующую в глобальном масштабе. Чтобы преодолеть это, кадры обычно собирают вместе, чтобы сформировать атлас, придя, таким образом, к понятию локальная рамка. Кроме того, часто бывает желательно снабдить эти атласы гладкая структура, так что результирующие поля кадра дифференцируемы.

Обобщения

Хотя в этой статье поля фрейма построены как система координат на касательный пучок из многообразие, общие идеи легко переходят к концепции векторный набор, которое представляет собой многообразие, наделенное векторным пространством в каждой точке, причем это векторное пространство является произвольным и в общем случае не связано с касательным расслоением.

Приложения

Главные оси вращения в пространстве

Маневры самолета можно выразить через подвижную систему отсчета (Главные оси самолета ) при описании пилота.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Черн 1985
^ Д. Дж. Струик, Лекции по классической дифференциальной геометрии, п. 18
^ ^а ^б ^c Гриффитс 1974
^ "Аффинный фрейм" Proofwiki.org
^ См. Картан (1983) 9.I; Приложение 2 (Германа) для связки касательных реперов. Фелс и Олвер (1998) для случая более общих расслоений. Гриффитс (1974) для случая реперов на тавтологическом главном расслоении однородного пространства.