Рамка Дарбу - Darboux frame

в дифференциальная геометрия из поверхности, а Рамка Дарбу это естественный подвижная рама построенный на поверхности. Это аналог Кадр Френе-Серре применительно к геометрии поверхности. Фрейм Дарбу существует ни в каком не-пуповина точка поверхности, вложенная в Евклидово пространство. Назван в честь французского математика. Жан Гастон Дарбу.

Каркас Дарбу вложенной кривой

Позволять S ориентированная поверхность в трехмерном евклидовом пространстве E³. Построение рам Дарбу на S сначала рассматривает кадры, движущиеся по кривой в S, а затем специализируется, когда кривые движутся в направлении основные кривизны.

Определение

В каждой точке п ориентированной поверхности можно прикрепить единица измерения нормальный вектор ты(п) уникальным способом, как только была выбрана ориентация нормали в любой конкретной фиксированной точке. Если γ(s) кривая в S, параметризованный длиной дуги, то Рамка Дарбу из γ определяется

${displaystyle mathbf {T} (s)=gamma '(s),}$ (в касательная к единице)

${displaystyle mathbf {u} (s)=mathbf {u} (gamma (s)),}$ (в единица нормальная)

${displaystyle mathbf {t} (s)=mathbf {u} (s) imes mathbf {T} (s),}$ (в касательная нормаль)

Тройка Т, т, ты определяет положительно ориентированный ортонормированный базис к каждой точке кривой прикреплена естественная движущаяся рамка вдоль вложенной кривой.

Геодезическая кривизна, нормальная кривизна и относительное кручение

Обратите внимание, что система отсчета Дарбу для кривой не дает естественной подвижной системы отсчета на поверхности, поскольку она все еще зависит от первоначального выбора касательного вектора. Чтобы получить движущийся репер на поверхности, мы сначала сравним репер Дарбу для γ с его репером Френе – Серре. Позволять

${displaystyle mathbf {T} (s)=gamma '(s),}$ (в касательная к единице, как указано выше)

${displaystyle mathbf {N} (s)={frac {mathbf {T} '(s)}{|mathbf {T} '(s)|}},}$ (в Вектор нормали Френе)

${displaystyle mathbf {B} (s)=mathbf {T} (s) imes mathbf {N} (s),}$ (в Бинормальный вектор Френе).

Поскольку касательные векторы одинаковы в обоих случаях, существует единственный угол α такой, что поворот в плоскости N и B производит пару т и ты:

${displaystyle {egin{bmatrix}mathbf {T} mathbf {t} mathbf {u} end{bmatrix}}={egin{bmatrix}1&0&0�&cos alpha &sin alpha �&-sin alpha &cos alpha end{bmatrix}}{egin{bmatrix}mathbf {T} mathbf {N} mathbf {B} end{bmatrix}}.}$

Взяв дифференциал и применив Формулы Френе – Серре дает

${displaystyle mathrm {d} {egin{bmatrix}mathbf {T} mathbf {t} mathbf {u} end{bmatrix}}={egin{bmatrix}0&kappa cos alpha ,mathrm {d} s&-kappa sin alpha ,mathrm {d} s-kappa cos alpha ,mathrm {d} s&0& au ,mathrm {d} s+mathrm {d} alpha kappa sin alpha ,mathrm {d} s&- au ,mathrm {d} s-mathrm {d} alpha &0end{bmatrix}}{egin{bmatrix}mathbf {T} mathbf {t} mathbf {u} end{bmatrix}}}$

${displaystyle ={egin{bmatrix}0&kappa _{g},mathrm {d} s&kappa _{n},mathrm {d} s-kappa _{g},mathrm {d} s&0& au _{r},mathrm {d} s-kappa _{n},mathrm {d} s&- au _{r},mathrm {d} s&0end{bmatrix}}{egin{bmatrix}mathbf {T} mathbf {t} mathbf {u} end{bmatrix}}}$

куда:

• κ_грамм это геодезическая кривизна кривой,
• κ_п это нормальная кривизна кривой, и
• τ_р это относительное кручение (также называемый геодезическое кручение) кривой.

Рама Дарбу на поверхности

В этом разделе случай репера Дарбу на кривой рассматривается как случай, когда кривая является главная кривая поверхности (a линия кривизны). В этом случае, поскольку главные кривые канонически связаны с поверхностью вообще непуповина точек, рамка Дарбу является канонической подвижная рама.

Трехгранник

Трехгранник Дарбу, состоящий из точки п и три ортонормированных вектора е₁, е₂, е₃ основанный на п.

Введение трехгранника (или триэдр), изобретение Дарбу, позволяет концептуально упростить проблему перемещения кадров на кривых и поверхностях за счет единообразной обработки координат точки на кривой и векторов кадров. А трехгранник состоит из точки п в евклидовом пространстве и три ортонормированных вектора е₁, е₂, и е₃ основанный на точке п. А движущийся трехгранник - трехгранник, компоненты которого зависят от одного или нескольких параметров. Например, трехгранник движется по кривой, если точка п зависит от одного параметра s, и п(s) очерчивает кривую. Аналогично, если п(s,т) зависит от пары параметров, то это трассирует поверхность.

Говорят, что трехгранник адаптирован к поверхности если п всегда лежит на поверхности и е₃ ориентированная единица, нормальная к поверхности в точке п. В случае репера Дарбу вдоль вложенной кривой четверка

(п(s) = γ (s), е₁(s) = Т(s), е₂(s) = т(s), е₃(s) = ты(s))

определяет тетраэдр, адаптированный к поверхности, в которую вложена кривая.

В терминах этого трехгранника структурные уравнения имеют вид

${displaystyle mathrm {d} {egin{bmatrix}mathbf {P} mathbf {T} mathbf {t} mathbf {u} end{bmatrix}}={egin{bmatrix}0&mathrm {d} s&0&0�&0&kappa _{g},mathrm {d} s&kappa _{n},mathrm {d} s�&-kappa _{g},mathrm {d} s&0& au _{r},mathrm {d} s�&-kappa _{n},mathrm {d} s&- au _{r},mathrm {d} s&0end{bmatrix}}{egin{bmatrix}mathbf {P} mathbf {T} mathbf {t} mathbf {u} end{bmatrix}}.}$

Смена кадра

Предположим, что любой другой адаптированный трехгранник

(п, е₁, е₂, е₃)

дано для вложенной кривой. Поскольку по определению п остается той же точкой на кривой, что и для трехгранника Дарбу, и е₃ = ты - единичная нормаль, этот новый трехгранник связан с триэдром Дарбу вращением формы

${displaystyle {egin{bmatrix}mathbf {P} mathbf {e} _{1}mathbf {e} _{2}mathbf {e} _{3}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}1&0&0&0�&cos heta &sin heta &0�&-sin heta &cos heta &0�&0&0&1end{bmatrix}}{egin{bmatrix}mathbf {P} mathbf {T} mathbf {t} mathbf {u} end{bmatrix}}}$

где θ = θ (s) является функцией s. Взяв дифференциал и применив уравнение Дарбу, получаем

${displaystyle {egin{aligned}mathrm {d} mathbf {P} &=mathbf {T} mathrm {d} s=omega ^{1}mathbf {e} _{1}+omega ^{2}mathbf {e} _{2}mathrm {d} mathbf {e} _{i}&=sum _{j}omega _{i}^{j}mathbf {e} _{j}end{aligned}}}$

где (ω^я, ω_я^j) являются функциями s, удовлетворяющий

${displaystyle {egin{aligned}omega ^{1}&=cos heta ,mathrm {d} s,quad omega ^{2}=-sin heta ,mathrm {d} somega _{i}^{j}&=-omega _{j}^{i}omega _{1}^{2}&=kappa _{g},mathrm {d} s+mathrm {d} heta omega _{1}^{3}&=(kappa _{n}cos heta + au _{r}sin heta ),mathrm {d} somega _{2}^{3}&=-(kappa _{n}sin heta + au _{r}cos heta ),mathrm {d} send{aligned}}}$

Структурные уравнения

В Лемма Пуанкаре, применительно к каждому двойному дифференциалу ddп, дде_я, дает следующие Структурные уравнения Картана. С ддп = 0,

${displaystyle {egin{aligned}mathrm {d} omega ^{1}&=omega ^{2}wedge omega _{2}^{1}mathrm {d} omega ^{2}&=omega ^{1}wedge omega _{1}^{2}�&=omega ^{1}wedge omega _{1}^{3}+omega ^{2}wedge omega _{2}^{3}end{aligned}}}$

С дде_я = 0,

${displaystyle {egin{aligned}mathrm {d} omega _{1}^{2}&=omega _{1}^{3}wedge omega _{3}^{2}mathrm {d} omega _{1}^{3}&=omega _{1}^{2}wedge omega _{2}^{3}mathrm {d} omega _{2}^{3}&=omega _{2}^{1}wedge omega _{1}^{3}end{aligned}}}$

Последние являются Уравнения Гаусса – Кодацци для поверхности, выраженное на языке дифференциальных форм.

Основные кривые

Рассмотрим вторая основная форма из S. Это симметричная 2-форма на S данный

${displaystyle II=-mathrm {d} mathbf {N} cdot mathrm {d} mathbf {P} =omega _{1}^{3}odot omega ^{1}+omega _{2}^{3}odot omega ^{2}={egin{pmatrix}omega ^{1}omega ^{2}end{pmatrix}}{egin{pmatrix}ii_{11}&ii_{12}ii_{21}&ii_{22}end{pmatrix}}{egin{pmatrix}omega ^{1}omega ^{2}end{pmatrix}}.}$

Посредством спектральная теорема, есть выбор кадра (е_я) в котором (ii_ij) это диагональная матрица. В собственные значения являются основные кривизны поверхности. Диагонализирующая рамка а₁, а₂, а₃ состоит из вектора нормали а₃, и два основных направления а₁ и а₂. Это называется каркасом Дарбу на поверхности. Фрейм канонически определяется (например, упорядочиванием собственных значений) вдали от пуповина поверхности.

Перемещение кадров

Оправа Дарбу - пример натурального подвижная рама определяется на поверхности. С небольшими изменениями понятие подвижной системы отсчета можно обобщить на гиперповерхность в п-размерный Евклидово пространство, или вообще любой встроенный подмногообразие. Это обобщение является одним из многих вкладов Эли Картан к методу подвижных кадров.

Фреймы на евклидовом пространстве

A (евклидово) Рамка на евклидовом пространстве E^п является многомерным аналогом трехгранника. Он определяется как (п + 1) -набор векторов, взятых из E^п, (v; ж₁, ..., ж_п), куда:

• v это выбор происхождение из E^п, и
• (ж₁, ..., ж_п) является ортонормированный базис векторного пространства на основе v.

Позволять F(п) - ансамбль всех евклидовых реперов. В Евклидова группа действует на F(п) следующее. Пусть φ ∈ Euc (п) - элемент евклидовой группы, разлагающийся как

${displaystyle phi (x)=Ax+x_{0}}$

где А является ортогональное преобразование и Икс₀ это перевод. Затем на кадре

${displaystyle phi (v;f_{1},dots ,f_{n}):=(phi (v);Af_{1},dots ,Af_{n}).}$

Геометрически аффинная группа перемещает начало координат обычным образом и действует посредством вращения на ортогональные базисные векторы, поскольку они «привязаны» к конкретному выбору начала координат. Это эффективное и переходное групповое действие, так F(п) это главное однородное пространство Евк (п).

Структурные уравнения

Определите следующую систему функций F(п) → E^п:^[1]

${displaystyle {egin{aligned}P(v;f_{1},dots ,f_{n})&=ve_{i}(v;f_{1},dots ,f_{n})&=f_{i},qquad i=1,2,dots ,n.end{aligned}}}$

Оператор проекции п имеет особое значение. Прообраз точки п⁻¹(v) состоит из всех ортонормированных базисов с базовой точкой в v. Особенно, п : F(п) → E^п подарки F(п) как основной пакет структурной группой которой является ортогональная группа O (п). (На самом деле это главное расслоение есть просто тавтологическое расслоение однородное пространство F(п) → F(п) / O (п) = E^п.)

В внешняя производная из п (рассматривается как векторнозначная дифференциальная форма ) однозначно разлагается как

${displaystyle mathrm {d} P=sum _{i}omega ^{i}e_{i},,}$

для некоторой системы скалярных значений одноформный ω^я. Точно так же есть п × п матрица одноформ (ω_я^j) такие, что

${displaystyle mathrm {d} e_{i}=sum _{j}omega _{i}^{j}e_{j}.}$

Поскольку е_я ортонормированы под внутренний продукт евклидова пространства матрица 1-форм ω_я^j является кососимметричный. В частности, он однозначно определяется своей верхнетреугольной частью (ω_j^я | я < j). Система п(п + 1) / 2 одноформ (ω^я, ω_j^я (я<j)) дает абсолютный параллелизм из F(п), поскольку каждый координатный дифференциал может быть выражен через них. Под действием евклидовой группы эти формы преобразуются следующим образом. Пусть φ - евклидово преобразование, состоящее из сдвига v^я и матрица вращения (А_j^я). Тогда легко проверяется инвариантность внешней производной относительно откат:

${displaystyle phi ^{*}(omega ^{i})=(A^{-1})_{j}^{i}omega ^{j}}$

${displaystyle phi ^{*}(omega _{j}^{i})=(A^{-1})_{p}^{i},omega _{q}^{p},A_{j}^{q}.}$

Кроме того, Лемма Пуанкаре, есть следующие структурные уравнения

${displaystyle mathrm {d} omega ^{i}=-omega _{j}^{i}wedge omega ^{j}}$

${displaystyle mathrm {d} omega _{j}^{i}=-omega _{k}^{i}wedge omega _{j}^{k}.}$

Адаптированные системы отсчета и уравнения Гаусса – Кодацци.

Пусть φ: M → E^п быть вложением п-размерный гладкое многообразие в евклидово пространство. Пространство адаптированные кадры на M, обозначаемый здесь F_φ(M) - это набор кортежей (Икс; ж₁,...,ж_п) где Икс ∈ M, а ж_я образуют ортонормированный базис E^п такой, что ж₁,...,ж_п касаются φ (M) при φ (v).^[2]

Уже было рассмотрено несколько примеров адаптированных фреймов. Первый вектор Т системы Френе – Серре (Т, N, B) касается кривой, и все три вектора ортонормированы между собой. Точно так же репер Дарбу на поверхности - это ортонормированный репер, первые два вектора которого касаются поверхности. Адаптированные фреймы полезны, потому что инвариантные формы (ω^я, ω_j^я) откат вдоль φ, и структурные уравнения сохранятся при этом откате. Следовательно, результирующая система форм дает структурную информацию о том, как M находится внутри евклидова пространства. В случае системы отсчета Френе – Серре структурные уравнения являются в точности формулами Френе – Серре, и они служат для полной классификации кривых с точностью до евклидовых движений. Общий случай аналогичен: структурные уравнения для адаптированной системы реперов классифицируют произвольные вложенные подмногообразия с точностью до евклидова движения.

Подробно проекция π: F(M) → M задается формулой π (Икс; ж_я) = Икс дает F(M) структура основной пакет на M (структурная группа расслоения O (п) × O (п − п).) Это главное расслоение вкладывается в расслоение евклидовых реперов F(п) на φ (v;ж_я): = (φ (v);ж_я) ∈ F(п). Следовательно, можно определить откаты инвариантных форм из F(п):

${displaystyle heta ^{i}=phi ^{*}omega ^{i},quad heta _{j}^{i}=phi ^{*}omega _{j}^{i}.}$

Поскольку внешняя производная эквивариантна относительно откатов, выполняются следующие структурные уравнения

${displaystyle mathrm {d} heta ^{i}=- heta _{j}^{i}wedge heta ^{j},quad mathrm {d} heta _{j}^{i}=- heta _{k}^{i}wedge heta _{j}^{k}.}$

Кроме того, поскольку некоторые из векторов кадра ж₁...ж_п касаются M в то время как другие являются нормальными, структурные уравнения естественным образом разделяются на тангенциальный и нормальный вклады.^[3] Пусть строчные латинские индексы а,б,c диапазон от 1 до п (т.е. тангенциальные индексы) и греческие индексы μ, γ варьируются от п+1 к п (т.е. нормальные индексы). Первое наблюдение:

${displaystyle heta ^{mu }=0,quad mu =p+1,dots ,n}$

поскольку эти формы порождают подмногообразие φ (M) (в смысле Теорема интегрирования Фробениуса.)

Первый набор структурных уравнений теперь становится

${displaystyle left.{egin{array}{l}mathrm {d} heta ^{a}=-sum _{b=1}^{p} heta _{b}^{a}wedge heta ^{b}\0=mathrm {d} heta ^{mu }=-sum _{b=1}^{p} heta _{b}^{mu }wedge heta ^{b}end{array}}ight},,,(1)}$

Из них последнее подразумевает Лемма Картана это

${displaystyle heta _{b}^{mu }=s_{ab}^{mu } heta ^{a}}$

где s^μ_ab является симметричный на а и б (в вторые основные формы из φ (M)). Следовательно, уравнения (1) являются Формулы Гаусса (увидеть Уравнения Гаусса – Кодацци ). В частности, θ_б^а это форма подключения для Леви-Чивита связь на M.

Вторые структурные уравнения также распадаются на следующие

${displaystyle left.{egin{array}{l}mathrm {d} heta _{b}^{a}+sum _{c=1}^{p} heta _{c}^{a}wedge heta _{b}^{c}=Omega _{b}^{a}=-sum _{mu =p+1}^{n} heta _{mu }^{a}wedge heta _{b}^{mu }\mathrm {d} heta _{b}^{gamma }=-sum _{c=1}^{p} heta _{c}^{gamma }wedge heta _{b}^{c}-sum _{mu =p+1}^{n} heta _{mu }^{gamma }wedge heta _{b}^{mu }\mathrm {d} heta _{mu }^{gamma }=-sum _{c=1}^{p} heta _{c}^{gamma }wedge heta _{mu }^{c}-sum _{delta =p+1}^{n} heta _{delta }^{gamma }wedge heta _{mu }^{delta }end{array}}ight},,,(2)}$

Первое уравнение - это Уравнение Гаусса который выражает форма кривизны Ω из M в терминах второй фундаментальной формы. Второй - это Уравнение Кодацци – Майнарди который выражает ковариантные производные второй фундаментальной формы через нормальную связность. Третий - это Уравнение Риччи.

Смотрите также

• Производная Дарбу
• Форма Маурера – Картана

Примечания

1. Лечение основано на Приложении II Германа к Картану (1983), хотя он использует этот подход для лечения аффинная группа. Случай с евклидовой группой можно найти в эквивалентных, но несколько более продвинутых терминах, в Sternberg (1967), глава VI. Обратите внимание, что мы немного злоупотребили обозначениями (следуя Герману, а также Картану), рассматривая ж_я как элементы евклидова пространства E^п вместо векторного пространства р^п основанный на v. Это тонкое различие не имеет значения, поскольку в конечном итоге используются только дифференциалы этих карт.
2. Эта трактовка взята из статьи Штернберга (1964), глава VI, теорема 3.1, с. 251.
3. Это подробное описание, хотя и обработанное Штернбергом (1964), взято из Spivak (1999), главы III.1 и IV.7.C.

Рекомендации

• Картан, Эли (1937). Теория конечных групп и континентов и геометрические различия в чертах по методу репертуара мобильных устройств. Готье-Виллар.
• Картан Э. (Приложения Германа Р.) (1983). Геометрия римановых пространств. Math Sci Press, Массачусетс.
• Дарбу, Гастон (1887,1889,1896). Leçons sur la théorie génerale des поверхностей: [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0001.001 Volume I], [http: // www .hti.umich.edu / cgi / t / text / text-idx? c = umhistmath; idno = ABV4153.0002.001 Том II], [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text -idx? c = umhistmath; idno = ABV4153.0003.001 Том III], [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0004.001 Том IV ]. Готье-Виллар. Проверить значения даты в: | год = (Помогите); Внешняя ссылка в | название = (Помогите)

• Гуггенхаймер, Генрих (1977). «Глава 10. Поверхности». Дифференциальная геометрия. Дувр. ISBN  0-486-63433-7.
• Спивак, Майкл (1999). Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 3). Опубликовать или погибнуть. ISBN  0-914098-72-1.
• Спивак, Майкл (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (том 4). Опубликовать или погибнуть. ISBN  0-914098-73-X.
• Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии. Прентис-Холл.