Одна форма - One-form

Линейные функционалы (1-формы) α, β и их сумма σ и векторы ты, v, ш, в 3D Евклидово пространство. Количество (1-форма) гиперплоскости пересекается вектором равна внутренний продукт.^[1]

В линейная алгебра, а однотипный на векторное пространство это то же самое, что и линейный функционал на пространстве. Использование однотипный в этом контексте обычно отличает однократные формы от высших полилинейные функционалы на пространстве. Подробнее см. линейный функционал.

В дифференциальная геометрия, а однотипный на дифференцируемое многообразие это гладкий раздел из котангенсный пучок. Эквивалентно одноформа на многообразии M является гладким отображением общая площадь из касательный пучок из M к ${ Displaystyle mathbb {R}}$ ограничение на каждый слой является линейным функционалом на касательном пространстве. Символично,

{ displaystyle alpha: TM rightarrow { mathbb {R}}, quad alpha _ {x} = alpha | _ {T_ {x} M}: T_ {x} M rightarrow { mathbb {R }},}

куда α_Икс линейно.

Часто описываются одноформные локально, особенно в местные координаты. В локальной системе координат единичная форма - это линейная комбинация дифференциалы координат:

{ Displaystyle альфа _ {х} = f_ {1} (x) , dx_ {1} + f_ {2} (x) , dx_ {2} + cdots + f_ {n} (x) , dx_ {n},}

где ж_я - гладкие функции. С этой точки зрения у одной формы есть ковариантный закон преобразования при переходе из одной системы координат в другую. Таким образом, одна форма - это ковариантный порядок 1. тензорное поле.

Примеры

Приложения

Многие концепции реального мира можно описать как единые формы:

Индексирование в вектор: Второй элемент трехвектора задается однократной формой [0, 1, 0]. То есть второй элемент [Икс, у, z] является

[0, 1, 0] · [Икс, у, z] = у.

Иметь в виду: Средний элемент п-вектор задается однозначной формой [1 /п, 1/п, ..., 1/п]. То есть,

{ displaystyle operatorname {mean} (v) = [1 / n, 1 / n, dots, 1 / n] cdot v.}

Отбор проб: Выборка с ядром может считаться однократной формой, где единичная форма - это ядро, перемещенное в соответствующее место.
Чистая приведенная стоимость сети денежный поток, р(т), задается однозначной формой ш(т) := (1 + я)^−т куда я это учетная ставка. То есть,

{ Displaystyle mathrm {NPV} (R ​​(t)) = langle w, R rangle = int _ {t = 0} ^ { infty} { frac {R (t)} {(1 + я ) ^ {t}}} , dt.}

Дифференциальный

Самая основная нетривиальная дифференциальная одноформа - это форма "изменения угла". ${ displaystyle d theta.}$ Это определяется как производная от угловой «функции» ${ Displaystyle тета (х, у)}$ (который определяется только с точностью до аддитивной константы), который можно явно определить в терминах atan2 функция ${ displaystyle operatorname {atan2} (y, x) = operatorname {arctan} (y / x).}$ Взяв производную, получаем следующую формулу для полная производная:

{ displaystyle { begin {align} d theta & = partial _ {x} left ( operatorname {atan2} (y, x) right) dx + partial _ {y} left ( operatorname {atan2 } (y, x) right) dy & = - { frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx + { frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} ду конец {выровнено}}}

В то время как угловая «функция» не может быть определена непрерывно - функция atan2 не является непрерывной вдоль отрицательного у-axis - который отражает тот факт, что угол не может быть определен непрерывно, эта производная определяется непрерывно, за исключением начала координат, что отражает тот факт, что бесконечно малые (и действительно локальные) изменения in angle может быть определен везде, кроме начала координат. Интегрирование этой производной по траектории дает полное изменение угла по траектории, а интегрирование по замкнутому контуру дает номер намотки раз $2 π$ .

На языке дифференциальная геометрия, эта производная является одноформной, и это закрыто (его производная равна нулю), но не точный (это не производная 0-формы, т.е. функция), и фактически она порождает первую когомологии де Рама из проколотый самолет. Это самый простой пример такой формы, и он является фундаментальным в дифференциальной геометрии.

Дифференциал функции

Позволять ${ Displaystyle U substeq mathbb {R}}$ быть открыто (например, интервал ${ Displaystyle (а, б)}$ ) и рассмотрим дифференцируемая функция ${ displaystyle f: U to mathbb {R}}$ , с производная f '. Дифференциал df из ж, в какой-то момент ${ displaystyle x_ {0} in U}$ , определяется как определенный линейная карта переменной dx. Конкретно, ${ displaystyle df (x_ {0}, cdot): dx mapsto f '(x_ {0}) dx}$ . (Значение символа dx таким образом раскрывается: это просто аргумент или независимая переменная линейной функции ${ displaystyle df (x_ {0}, cdot)}$ .) Следовательно, отображение ${ Displaystyle х mapsto df (х)}$ отправляет каждую точку Икс к линейному функционалу ${ Displaystyle df (х, cdot)}$ . Это простейший пример дифференциальной (одно-) формы.