Тензор (внутреннее определение) - Tensor (intrinsic definition)

Для введения в природу и значение тензоров в широком контексте см. Тензор.

В математика, современный без компонентов подход к теории тензор рассматривает тензор как абстрактный объект, выражая определенный тип полилинейного понятия. Их известные свойства^{[ласковые слова ]} могут быть выведены из их определений, как линейные карты или в более общем смысле; а правила манипуляции с тензорами возникают как расширение линейная алгебра к полилинейная алгебра.

В дифференциальная геометрия внутренний^{[необходимо определение ]} геометрическое утверждение может быть описано тензорное поле на многообразие, и тогда вообще не нужно ссылаться на координаты. То же самое верно в общая теория относительности, тензорных полей, описывающих физическая собственность. Бескомпонентный подход также широко используется в абстрактная алгебра и гомологическая алгебра, где тензоры возникают естественным образом.

Примечание: Эта статья предполагает понимание тензорное произведение из векторные пространства без избранного базы. Обзор темы можно найти в главном тензор статья.

Определение через тензорные произведения векторных пространств

Учитывая конечное множество { V₁, ..., V_п } из векторные пространства над общим поле Fможно сформировать их тензорное произведение V₁ ⊗ ... ⊗ V_п, элемент которого называется тензор.

А тензор в векторном пространстве V затем определяется как элемент (то есть вектор в) векторного пространства формы:

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$

куда V^∗ это двойное пространство из V.

Если есть м копии V и п копии V^∗ в нашем продукте говорят, что тензор имеет тип (м, п) и контравариант порядка м и ковариантный порядок п и всего порядок м + п. Тензоры нулевого порядка - это просто скаляры (элементы поля F) контравариантного порядка 1 - это векторы из V, а ковариантного порядка 1 - одноформный в V^∗ (по этой причине два последних пространства часто называют контравариантными и ковариантными векторами). Пространство всех тензоров типа (м, п) обозначается

${\displaystyle T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}.}$

Пример 1. Пространство типа (1, 1) тензоры, ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)=V\otimes V^{*},}$ естественным образом изоморфно пространству линейные преобразования из V к V.

Пример 2. А билинейная форма в реальном векторном пространстве V, ${\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} ,}$ естественным образом соответствует типу (0, 2) тензор в ${\displaystyle T_{2}^{0}(V)=V^{*}\otimes V^{*}.}$ Пример такой билинейной формы может быть определен как связанный метрический тензор, и обычно обозначается грамм.

Тензорный ранг

Основная статья: Разложение тензорного ранга

А простой тензор (также называемый тензором первого ранга, элементарным тензором или разложимым тензором (Hackbusch 2012, pp. 4)) - тензор, который можно записать в виде произведения тензоров вида

${\displaystyle T=a\otimes b\otimes \cdots \otimes d}$

куда а, б, ..., d ненулевые и в V или же V^∗ - то есть, если тензор отличен от нуля и полностью факторизуемый. Каждый тензор можно выразить как сумму простых тензоров. В ранг тензора Т - минимальное количество простых тензоров, сумма которых равна Т (Бурбаки 1989, II, §7, нет. 8).

В нулевой тензор имеет нулевой ранг. Тензор ненулевого порядка 0 или 1 всегда имеет ранг 1. Ранг ненулевого тензора 2 или более высокого порядка меньше или равен произведению размерностей всех векторов, кроме самых высоких размерностей (сумма произведений ), который может быть выражен тензор: d^п−1 когда каждый продукт из п векторы из конечномерного векторного пространства размерности d.

Период, термин ранг тензора расширяет понятие ранг матрицы в линейной алгебре, хотя этот термин также часто используется для обозначения порядка (или степени) тензора. Ранг матрицы - это минимальное количество векторов-столбцов, необходимых для охвата диапазон матрицы. Таким образом, матрица имеет ранг один, если ее можно записать как внешний продукт двух ненулевых векторов:

${\displaystyle A=vw^{\mathrm {T} }.}$

Ранг матрицы А это наименьшее количество таких внешних продуктов, которое можно суммировать для его производства:

${\displaystyle A=v_{1}w_{1}^{\mathrm {T} }+\cdots +v_{k}w_{k}^{\mathrm {T} }.}$

В индексах тензор ранга 1 - это тензор вида

${\displaystyle T_{ij\dots }^{k\ell \dots }=a_{i}b_{j}\cdots c^{k}d^{\ell }\cdots .}$

Ранг тензора порядка 2 совпадает с рангом, когда тензор рассматривается как матрица (Халмос 1974, §51), и может быть определена из Гауссово исключение например. Однако ранг тензора порядка 3 или выше часто очень тяжело для определения, а разложения тензоров низкого ранга иногда представляют большой практический интерес (де Гроот 1987 ). Вычислительные задачи, такие как эффективное умножение матриц и эффективное вычисление многочленов, можно преобразовать в проблему одновременного вычисления набора билинейные формы

${\displaystyle z_{k}=\sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}}$

для заданных входов Икс_я и у_j. Если разложение тензора низкого ранга Т известно, то эффективный стратегия оценки известен (Кнут 1998, стр. 506–508).

Универсальная собственность

Космос ${\displaystyle T_{n}^{m}(V)}$ можно охарактеризовать универсальная собственность с точки зрения полилинейные отображения. Среди преимуществ этого подхода - то, что он дает возможность показать, что многие линейные отображения являются «естественными» или «геометрическими» (другими словами, не зависят от любого выбора базиса). Явная вычислительная информация может быть записана с использованием базисов, и такой порядок приоритетов может быть более удобным, чем доказательство формулы, приводящей к естественному отображению. Другой аспект заключается в том, что тензорные произведения используются не только для бесплатные модули, а «универсальный» подход легче переносится на более общие ситуации.

Скалярная функция на Декартово произведение (или же прямая сумма ) векторных пространств

${\displaystyle f:V_{1}\times \cdots \times V_{N}\to \mathbb {R} }$

является полилинейным, если оно линейно по каждому аргументу. Пространство всех полилинейных отображений из V₁ × ... × V_N к W обозначается L^N(V₁, ..., V_N; W). Когда N = 1, полилинейное отображение - это просто обычное линейное отображение, а пространство всех линейных отображений из V к W обозначается L(V; W).

В универсальная характеристика тензорного произведения следует, что для каждой полилинейной функции

${\displaystyle f\in L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};W)}$

(куда ${\displaystyle W}$ может представлять поле скаляров, векторное пространство или тензорное пространство) существует единственная линейная функция

${\displaystyle T_{f}\in L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};W)}$

такой, что

${\displaystyle f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},v_{1},\ldots ,v_{n})=T_{f}(\alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})}$

для всех ${\displaystyle v_{i}\in V}$ и ${\displaystyle \alpha _{i}\in V^{*}.}$

Используя универсальное свойство, следует, что пространство (м,п) -тензор допускает естественный изоморфизм

${\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};\mathbb {R} )\cong L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};\mathbb {R} ).}$

Каждый V в определении тензора соответствует V^* внутри аргумента линейных отображений, и наоборот. (Обратите внимание, что в первом случае есть м копии V и п копии V^*, и в последнем случае наоборот). В частности, есть

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}^{1}(V)&\cong L(V^{*};\mathbb {R} )\cong V\\T_{1}^{0}(V)&\cong L(V;\mathbb {R} )=V^{*}\\T_{1}^{1}(V)&\cong L(V;V)\end{aligned}}}$

Тензорные поля

Основная статья: тензорное поле

Дифференциальная геометрия, физика и инженерное дело должен часто иметь дело с тензорные поля на гладкие многообразия. Период, термин тензор иногда используется как сокращение для тензорное поле. Тензорное поле выражает понятие тензора, который меняется от точки к точке на многообразии.

Рекомендации

• Авраам, Ральф; Марсден, Джеррольд Э. (1985), Основы механики (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN  0-201-40840-6.
• Бурбаки, Николас (1989), Элементы математики, алгебры I, Springer-Verlag, ISBN  3-540-64243-9.
• де Гроот, Х. Ф. (1987), Лекции о сложности билинейных задач, Конспект лекций по информатике, 245, Спрингер, ISBN  3-540-17205-Х.
• Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства, Спрингер, ISBN  0-387-90093-4.
• Дживанджи, Надир (2011), Введение в тензоры и теорию групп для физиков, ISBN  978-0-8176-4714-8
• Кнут, Дональд Э. (1998) [1969], Искусство программирования, т. 2 (3-е изд.), С. 145–146, ISBN  978-0-201-89684-8.
• Хакбуш, Вольфганг (2012), Тензорные пространства и численное тензорное исчисление, Springer, стр. 4, ISBN  978-3-642-28027-6.