Секция (пучок волокон) - Section (fiber bundle)

Секция

{ displaystyle s}

связки

{ displaystyle p двоеточие E to B}

. Секция

{ displaystyle s}

позволяет базовое пространство

{ displaystyle B}

быть отождествленным с подпространством

{ displaystyle s (B)}

из

{ displaystyle E}

.

Векторное поле на

{ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}

. Часть касательное векторное расслоение - векторное поле.

в математический поле топология, а раздел (или поперечное сечение)^[1] из пучок волокон ${ displaystyle E}$ является непрерывным правый обратный проекционной функции ${ displaystyle pi}$ . Другими словами, если ${ displaystyle E}$ расслоение над базовое пространство, ${ displaystyle B}$ :

{ displaystyle pi двоеточие E to B}

тогда часть этого пучка волокон является непрерывная карта,

{ Displaystyle sigma двоеточие от B до E}

такой, что

{ Displaystyle пи ( сигма (х)) = х}

для всех

{ displaystyle x in B}

.

Раздел - это абстрактная характеристика того, что значит быть график. График функции ${ displaystyle g двоеточие от B до Y}$ можно отождествить с функцией, принимающей значения в Декартово произведение ${ displaystyle E = B times Y}$ , из ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle Y}$ :

{ Displaystyle Sigma двоеточие B к E, quad sigma (x) = (x, g (x)) in E.}

Позволять ${ displaystyle pi двоеточие E to B}$ быть проекцией на первый фактор: ${ Displaystyle пи (х, у) = х}$ . Тогда график - это любая функция ${ displaystyle sigma}$ для которого ${ Displaystyle пи ( сигма (х)) = х}$ .

Язык расслоений позволяет обобщить это понятие сечения на случай, когда ${ displaystyle E}$ не обязательно декартово произведение. Если ${ displaystyle pi двоеточие E to B}$ расслоение, то сечение - это выбор точки ${ Displaystyle sigma (х)}$ в каждом из волокон. Условие ${ Displaystyle пи ( сигма (х)) = х}$ просто означает, что раздел в точке ${ displaystyle x}$ должен лежать ${ displaystyle x}$ . (См. Изображение.)

Например, когда ${ displaystyle E}$ это векторный набор часть ${ displaystyle E}$ является элементом векторного пространства ${ displaystyle E_ {x}}$ лежа над каждой точкой ${ displaystyle x in B}$ . В частности, векторное поле на гладкое многообразие ${ displaystyle M}$ это выбор касательный вектор в каждой точке ${ displaystyle M}$ : это раздел из касательный пучок из ${ displaystyle M}$ . Точно так же 1-форма на ${ displaystyle M}$ это раздел котангенсный пучок.

Сечения, особенно основных связок и векторных расслоений, также являются очень важными инструментами в дифференциальная геометрия. В этой настройке базовое пространство ${ displaystyle B}$ это гладкое многообразие ${ displaystyle M}$ , и ${ displaystyle E}$ предполагается гладким расслоением над ${ displaystyle M}$ (т.е. ${ displaystyle E}$ является гладким многообразием и ${ displaystyle pi двоеточие от E до M}$ это гладкая карта ). В этом случае рассматривается пространство гладкие участки из ${ displaystyle E}$ над открытым набором ${ displaystyle U}$ , обозначенный ${ Displaystyle C ^ { infty} (U, E)}$ . Это также полезно в геометрический анализ рассматривать пространства секций с промежуточной регулярностью (например, ${ displaystyle C ^ {k}}$ разделы или разделы с регулярностью в смысле Условия Гёльдера или Соболевские пространства ).

Локальные и глобальные разделы

Пучки волокон обычно не имеют таких Глобальный сечения (рассмотрим, например, расслоение волокон над ${ Displaystyle S ^ {1}}$ с волокном ${ Displaystyle F = mathbb {R} setminus {0 }}$ полученный путем взятия Связка Мебиуса и удаление нулевого раздела), поэтому также полезно определять разделы только локально. А местная секция расслоения является непрерывным отображением ${ displaystyle s двоеточие от U до E}$ где ${ displaystyle U}$ является открытый набор в ${ displaystyle B}$ и ${ Displaystyle пи (s (х)) = х}$ для всех ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle U}$ . Если ${ displaystyle (U, varphi)}$ это локальная тривиализация из ${ displaystyle E}$ , где ${ displaystyle varphi}$ является гомеоморфизмом из ${ Displaystyle pi ^ {- 1} (U)}$ к ${ Displaystyle U раз F}$ (где ${ displaystyle F}$ это волокно ), то локальные участки всегда существуют над ${ displaystyle U}$ в биективном соответствии с непрерывными отображениями из ${ displaystyle U}$ к ${ displaystyle F}$ . (Местные) секции образуют пучок над ${ displaystyle B}$ называется связка секций из ${ displaystyle E}$ .

Пространство непрерывных участков расслоения ${ displaystyle E}$ над ${ displaystyle U}$ иногда обозначается ${ Displaystyle C (U, E)}$ , а пространство глобальных сечений ${ displaystyle E}$ часто обозначается ${ displaystyle Gamma (E)}$ или ${ displaystyle Gamma (B, E)}$ .

Распространение на глобальные разделы

Разделы изучаются в теория гомотопии и алгебраическая топология, где одна из основных целей - учесть наличие или отсутствие глобальные разделы. An препятствие отрицает существование глобальных секций, поскольку пространство слишком "скручено". Точнее, препятствия «препятствуют» возможности расширения локальной секции до глобальной из-за «скрученности» пространства. Препятствия обозначены особым характеристические классы, которые являются когомологическими классами. Например, основной пакет имеет глобальный раздел тогда и только тогда, когда он банальный. С другой стороны, векторный набор всегда есть глобальный раздел, а именно нулевой участок. Однако он допускает наличие нигде не исчезающего участка, только если его Класс Эйлера равно нулю.

Обобщения

Препятствия к расширению локальных участков можно обобщить следующим образом: возьмите топологическое пространство и сформировать категория объекты которых являются открытыми подмножествами, а морфизмы - включениями. Таким образом, мы используем категорию для обобщения топологического пространства. Мы обобщаем понятие «локального сечения», используя пучки абелевы группы, который присваивает каждому объекту абелеву группу (аналог локальных секций).

Здесь есть важное различие: интуитивно локальные секции подобны «векторным полям» на открытом подмножестве топологического пространства. Таким образом, в каждой точке элемент исправлено задано векторное пространство. Однако пучки могут «непрерывно изменять» векторное пространство (или, в более общем смысле, абелеву группу).

Весь этот процесс действительно функтор глобального раздела, который назначает каждой связке свой глобальный раздел. потом когомологии пучков позволяет нам рассмотреть аналогичную проблему расширения, «непрерывно меняя» абелеву группу. Теория характеристические классы обобщает идею препятствий для наших расширений.

Смотрите также

Заметки

^ Хусемёллер, Дейл (1994), Пучки волокна, Springer Verlag, стр. 12, ISBN 0-387-94087-1

использованная литература

Норман Стинрод, Топология пучков волокон, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
Дэвид Бликер, Калибровочная теория и вариационные принципы, Издательство Addison-Wesley, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7.
Хусемёллер, Дейл (1994), Пучки волокна, Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1

внешние ссылки

Пучок волокна, PlanetMath
Вайсштейн, Эрик В. «Пучок волокна». MathWorld.

[1] Хусемёллер, Дейл (1994), Пучки волокна, Springer Verlag, стр. 12, ISBN 0-387-94087-1

[1]