График функции - Graph of a function - Wikipedia

Для графического представления см. Сюжет (графика). Комбинаторную структуру см. Граф (дискретная математика). Для теоретико-графического представления функции из множества в себя см. Функциональный график.

График функции ж(Икс) = Икс³ − 9Икс

В математика, то график из функция ж это набор заказанные пары (Икс, у), куда ж(Икс) = у. В общем случае, когда Икс и ж(Икс) находятся действительные числа эти пары Декартовы координаты очков в двумерное пространство и таким образом образуют подмножество этой плоскости.

В случае функций двух переменных, то есть функций, область определения которых состоит из пар (Икс, у), график обычно относится к множеству заказал троек (Икс, у, z) куда ж(Икс, у) = z, вместо пар ((Икс, у), z) как в определении выше. Этот набор является подмножеством трехмерное пространство; для непрерывного функция с действительным знаком двух реальных переменных, это поверхность.

График функции - это частный случай связь.

В наука, инженерное дело, технологии, финансы и других областях графики - это инструменты, используемые для многих целей. В простейшем случае одна переменная отображается как функция другой, обычно с использованием прямоугольные оси; видеть Сюжет (графика) для подробностей.

В современном основы математики, и, как правило, в теория множеств, функция фактически равна своему графику.^[1] Однако часто бывает полезно рассматривать функции как сопоставления,^[2] которые состоят не только из отношения между вводом и выводом, но также из того, какой набор является доменом, а какой набор является codomain. Например, чтобы сказать, что функция находится на (сюръективный ) или не учитывать кодомен. График функции сам по себе не определяет кодомен. Это общепринято^[3] использовать оба термина функция и график функции поскольку даже если они рассматриваются как один и тот же объект, они указывают на то, что смотрят на него с другой точки зрения.

График функции ж(Икс) = Икс⁴ − 4^Икс над интервал [−2, + 3]. Также показаны два действительных корня и локальный минимум, которые находятся в интервале.

Определение

Учитывая отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$, другими словами, функция ${\displaystyle f}$ вместе со своим доменом ${\displaystyle X}$ и codomain ${\displaystyle Y}$, график отображения^[4] набор

${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x))\mid x\in X\}}$,

который является подмножеством ${\displaystyle X\times Y}$. В абстрактном определении функции ${\displaystyle G(f)}$ фактически равно ${\displaystyle f}$.

Можно заметить, что если ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, то график ${\displaystyle G(f)}$ это подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}}$ (строго говоря это ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}$, но его можно вложить естественным изоморфизмом).

Примеры

Функции одной переменной

График функция ж(Икс, у) = грех (Икс²) · Cos (у²).

График функции ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$ определяется

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}}$

это подмножество множества ${\displaystyle \{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}}$

${\displaystyle G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.\,}$

На графике домен ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ восстанавливается как набор первых компонентов каждой пары в графе ${\displaystyle \{1,2,3\}=\{x:\ {\text{there exists }}y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$. Точно так же классифицировать можно восстановить как ${\displaystyle \{a,c,d\}=\{y:{\text{there exists }}x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$.Кодомен ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$однако нельзя определить только по графику.

График кубического полинома на реальная линия

${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x\,}$

является

${\displaystyle \{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number}}\}.\,}$

Если этот набор нанесен на декартову плоскость, результатом будет кривая (см. Рисунок).

Функции двух переменных

Сюжет графика ж(Икс, у) = - (cos (Икс²) + cos (у²))², также показывающий его градиент, спроецированный на нижнюю плоскость.

График тригонометрическая функция

${\displaystyle f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})\,}$

является

${\displaystyle \{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.}$

Если этот набор нанесен на трехмерная декартова система координат, в результате получится поверхность (см. рисунок).

Часто бывает полезно показать с графиком градиент функции и несколько кривых уровня. Кривые уровня могут быть нанесены на функциональную поверхность или могут быть спроецированы на нижнюю плоскость. На втором рисунке показан такой рисунок графика функции:

${\displaystyle f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}\,}$

Обобщения

График функции содержится в Декартово произведение наборов. Плоскость X – Y представляет собой декартово произведение двух линий, называемых X и Y, а цилиндр - это декартово произведение прямой и окружности, высота, радиус и угол которой задают точное расположение точек. Пучки волокон не являются декартовыми произведениями, но кажутся близкими. Соответствующее понятие графа на расслоении называется графом. раздел.

Смотрите также

• Асимптота
• Диаграмма
• Вогнутая функция
• Выпуклая функция
• Контурный сюжет
• Критическая точка
• Производная
• Эпиграф
• Нормально к графику
• Склон
• Стационарная точка
• Тетравью
• Вертикальный перевод
• y-перехват

Рекомендации

1. Чарльз С. Пинтер (2014) [1971]. Книга теории множеств. Dover Publications. п. 49. ISBN  978-0-486-79549-2.
2. Апостол Т.М. (1981). Математический анализ. Эддисон-Уэсли. п. 35.
3. П. Р. Халмос (1982). Книга проблем гильбертова пространства. Springer-Verlag. п.31. ISBN  0-387-90685-1.
4. Д. С. Бриджес (1991). Основы реального и абстрактного анализа. Springer. п.285. ISBN  0-387-98239-6.

внешняя ссылка

• Weisstein, Eric W. "График функций. »Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.