Теория препятствий - Obstruction theory

В математика, теория препятствий это имя, данное двум разным математические теории, оба из которых дают когомологический инварианты.

В оригинальной работе Штифель и Уитни, характеристические классы были определены как препятствия к существованию определенных полей линейно независимых векторов. Теория препятствий оказывается приложением теории когомологий к проблеме построения поперечное сечение из пучок.

В теории гомотопии

Старое значение теории препятствий в теория гомотопии относится к индуктивной по отношению к размеру процедуре расширения непрерывное отображение определено на симплициальный комплекс, или же CW комплекс. Его традиционно называют Теория препятствий Эйленберга, после Сэмюэл Эйленберг. Это включает в себя группы когомологий с коэффициентами в гомотопические группы для определения препятствий для расширений. Например, с отображением из симплициального комплекса Икс другому, Y, определенная изначально на 0-скелет из Икс (вершины Икс), расширение 1-скелета будет возможно всякий раз, когда изображение 0-скелета будет принадлежать тому же самому соединенный путём компонент Y. Переход от 1-скелета к 2-скелету означает определение отображения на каждом сплошном треугольнике из Икс, учитывая отображение, уже определенное на его граничных ребрах. Аналогичным образом, расширение отображения на 3-скелет включает расширение отображения на каждый твердый 3-симплекс Икс, учитывая, что отображение уже определено на его границе.

В какой-то момент, скажем, расширение отображения от (n-1) -скелета Икс к n-скелету Икс, эта процедура может оказаться невозможной. В этом случае каждому n-симплексу можно присвоить гомотопический класс $π п-1 (Y)$ отображения, уже определенного на его границе (хотя бы одно из которых будет отличным от нуля). Эти задания определяют н-коцепь с коэффициентами в $π п-1 (Y)$ . Удивительно, но эта коцепь оказывается коцикл и так определяет когомология класс в n-й группе когомологий Икс с коэффициентами в $π п-1 (Y)$ . Когда этот класс когомологий равен 0, оказывается, что отображение может быть изменено в пределах своего гомотопического класса на (n-1) -скелете Икс так что отображение можно продолжить до n-скелета Икс. Если класс не равен нулю, это называется препятствием для расширения отображения на n-скелет, учитывая его гомотопический класс на (n-1) -скелете.

Препятствие к расширению участка основного пучка

Строительство

Предположим, что $B$ это односвязный симплициальный комплекс и что $п : E \to B$ это расслоение с волокном $F$ . Кроме того, предположим, что у нас есть частично определенный раздел $σ п : B п \to E$ на $п$ -скелет из $B$ .

Для каждого $(п + 1)$ -суплекс $Δ$ в $B$ , $σ п$ можно ограничить его границей (которая является топологической $п$ -сфера ). Потому что $п$ отправить каждый из них обратно каждому $Δ$ , у нас есть карта из $п$ -сфера к $п -1 (Δ)$ . Поскольку расслоения удовлетворяют свойству гомотопического подъема, и $Δ$ является стягиваемый; $п -1 (Δ)$ является гомотопический эквивалент к $F$ . Таким образом, этот частично определенный раздел назначает элемент $π п (F)$ каждому $(п + 1)$ -симплекс. Это как раз данные $π п (F)$ -значен симплициальный коцепь степени $п + 1$ на $B$ , т.е. элемент $C п + 1 (B; π п (F))$ . Эта коцепь называется препятствие коцепь потому что ноль означает, что все эти элементы $π п (F)$ тривиальны, что означает, что наш частично определенный раздел может быть расширен до $(п + 1)$ -скелет, используя гомотопию между (частично определенное сечение на границе каждого $Δ$ ) и постоянное отображение.

Тот факт, что эта коцепь произошла из частично определенного раздела (в отличие от произвольного набора карт со всех границ всех $(п + 1)$ -симплексы) можно использовать для доказательства того, что эта коцепь является коциклом. Если вы начали с другого частично определенного раздела $σ п$ что согласуется с оригиналом на $(п - 1)$ -скелет, то можно также доказать, что полученный коцикл будет отличаться от первого кограницей. Следовательно, мы имеем корректно определенный элемент группы когомологий $ЧАС п + 1 (B; π п (F))$ таким образом, что если частично определенный раздел на $(п + 1)$ -скелет, согласующийся с данным выбором на $(п - 1)$ -скелет, то этот класс когомологий должен быть тривиальным.

Обратное также верно, если допустить такие вещи, как гомотопические разделы, т.е. карта $σ : B \to E$ такой, что $п \circ σ$ гомотопно (а не равно) тождественному отображению на $B$ . Таким образом, он обеспечивает полный инвариант существования сечений с точностью до гомотопии на $(п + 1)$ -скелет.

Приложения

Введение над $п$ , можно построить первое препятствие на пути к секции как первый из перечисленных выше классов когомологий, который не равен нулю.
Это может быть использовано для поиска препятствий к тривиализации основные связки.
Потому что любую карту можно превратить в расслоение, эту конструкцию можно использовать, чтобы увидеть, есть ли препятствия для существования подъема (с точностью до гомотопии) отображения в $B$ на карту в $E$ даже если $п : E \to B$ не расслоение.
Это очень важно для строительства Системы Постникова.

В геометрической топологии

В геометрическая топология, теория препятствий занимается тем, когда топологическое многообразие имеет кусочно-линейная структура, а когда кусочно-линейное многообразие имеет дифференциальная структура.

В размерности не выше 2 (Радо) и 3 (Морса) понятия топологических многообразий и кусочно линейных многообразий совпадают. В измерении 4 они не совпадают.

В размерностях не более 6 понятия кусочно-линейных многообразий и дифференцируемых многообразий совпадают.

В теории хирургии

Два основных вопроса теория хирургии являются ли топологическим пространством с п-размерный Двойственность Пуанкаре является гомотопический эквивалент для п-размерный многообразие, а также гомотопическая эквивалентность из п-мерные многообразия гомотопный к диффеоморфизм. В обоих случаях есть два препятствия для п> 9, первичный топологическая K-теория препятствие существованию векторный набор: если это исчезает, существует карта нормалей, позволяя определить вторичный обструкция хирургии в алгебраическая L-теория выполнить операцию на карте нормалей, чтобы получить гомотопическая эквивалентность.

Смотрите также

Класс Кирби – Зибенмана