Нормальный инвариант - Normal invariant

В математике карта нормалей это концепция в геометрическая топология из-за Уильям Браудер что имеет принципиальное значение в теория хирургии. Учитывая Комплекс Пуанкаре Икс (более геометрически Пространство Пуанкаре ), карту нормалей на Икс наделяет пространство, грубо говоря, некоторой из теоретико-гомотопической глобальной структуры замкнутого многообразия. Особенно, Икс есть хороший кандидат на стабильный нормальный пакет и Том свернуть карту, что эквивалентно существованию карты из многообразия M к Икс соответствие фундаментальным классам и сохранение нормальной информации о связках. Если размер Икс является ${displaystyle geq }$ 5 тогда существует только алгебраическая топология обструкция хирургии из-за К. Т. К. Уолл к Икс на самом деле гомотопический эквивалент к замкнутому коллектору. Карты нормалей также применимы к изучению единственности структур многообразий в пределах гомотопического типа, которое было впервые предложено Сергей Новиков.

В кобордизм классы карт нормалей на Икс называются нормальные инварианты. В зависимости от категории многообразий (дифференцируемые, кусочно-линейные или топологические) существуют аналогично определенные, но неэквивалентные понятия нормальных отображений и нормальных инвариантов.

Возможно выполнение хирургия на нормальных картах, что означает операцию на многообразии областей и сохранение карты. Хирургия карт нормалей позволяет систематически уничтожать элементы в относительных гомотопических группах, представляя их в виде вложений. с тривиальным нормальным пучком.

Определение

Есть два эквивалентных определения нормальных отображений, в зависимости от того, используются ли нормальные расслоения или касательные расслоения многообразий. Следовательно, можно переключаться между определениями, что оказывается весьма удобным.

1. Учитывая комплекс Пуанкаре Икс (т.е. CW-комплекс чей клеточно-цепной комплекс удовлетворяет Двойственность Пуанкаре ) формального измерения ${displaystyle n}$, карта нормалей на Икс состоит из

• карта ${displaystyle fcolon M o X}$ из некоторых закрытых п-мерное многообразие M,
• набор ${displaystyle xi }$ над Икс, и стабильная карта из стабильный нормальный пакет ${displaystyle u _{M}}$ из ${displaystyle M}$ к ${displaystyle xi }$, и
• обычно карта нормалей должна быть первая степень. Это означает, что основной класс ${displaystyle M}$ должен быть нанесен на карту под ${displaystyle f}$ к фундаментальному классу ${displaystyle X}$: ${displaystyle f_{*}([M])=[X]in H_{n}(X)}$.

2. Учитывая комплекс Пуанкаре ${displaystyle X}$ (т.е. CW-комплекс чей клеточно-цепной комплекс удовлетворяет Двойственность Пуанкаре ) формального измерения ${displaystyle n}$, карта нормалей на ${displaystyle X}$ (относительно касательного расслоения) состоит из

• карта ${displaystyle fcolon M o X}$ из некоторых закрытых ${displaystyle n}$-мерное многообразие ${displaystyle M}$,
• набор ${displaystyle xi }$ над ${displaystyle X}$, и стабильная карта из конюшни касательный пучок ${displaystyle au _{M}oplus varepsilon ^{k}}$ из ${displaystyle M}$ к ${displaystyle xi }$, и
• так же, как и выше, требуется, чтобы фундаментальный класс ${displaystyle M}$ должен быть нанесен на карту под ${displaystyle f}$ к фундаментальному классу ${displaystyle X}$: ${displaystyle f_{*}([M])=[X]in H_{n}(X)}$.

Две нормальные карты эквивалентны, если между ними существует нормальный бордизм.

Роль в теории хирургии

Хирургия на картах против хирургии на картах нормалей

Рассмотрим вопрос:

Комплекс Пуанкаре Икс формального измерения п гомотопически эквивалентен замкнутому п-многообразие?

Наивный хирургический подход к этому вопросу был бы таков: начните с карты. ${displaystyle M o X}$ из некоторого многообразия ${displaystyle M}$ к ${displaystyle X}$, и попробуйте сделать на нем операцию, чтобы сделать из него гомотопическую эквивалентность. Обратите внимание на следующее: поскольку наше начальное отображение было выбрано произвольно, а операция всегда дает кобордантные отображения, эта процедура должна выполняться (в худшем случае) для всех классов кобордизмов отображений. ${displaystyle M o X}$. Этот вид теории кобордизмов представляет собой теорию гомологий, коэффициенты которой были вычислены Том: поэтому классы кобордизмов таких отображений вычислимы по крайней мере теоретически для всех пространств ${displaystyle X}$.

Однако оказывается, что очень трудно решить, можно ли сделать гомотопическую эквивалентность из карты с помощью хирургии, тогда как тот же вопрос намного проще, когда карта поставляется с дополнительной структурой карты нормалей. Следовательно, в классическом хирургическом подходе к нашему вопросу мы начинаем с нормального отображения ${displaystyle fcolon M o X}$ (предположим, что он существует) и проводит на нем операцию. Это дает несколько преимуществ:

• Из отображения первой степени следует, что гомологии ${displaystyle M}$ распадается как прямая сумма гомологий ${displaystyle X}$ и так называемый ядро хирургии ${displaystyle K_{*}(M)=ker(f_{*}colon H_{*}(M) o H_{*}(X))}$, то есть ${displaystyle H_{*}(M)=K_{*}(M)oplus H_{*}(X)}$. (Здесь мы предполагаем, что ${displaystyle f}$ индуцирует изоморфизм фундаментальных групп и использует гомологии с локальными коэффициентами в ${displaystyle Z[pi _{1}(X)]}$.)

К Теорема Уайтхеда, карта ${displaystyle f}$ является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда ядро ​​перестройки равно нулю.

• Данные пакета подразумевают следующее: Предположим, что элемент ${displaystyle alpha in pi _{p+1}(f)}$ (относительная гомотопическая группа ${displaystyle f}$) может быть представлена встраивание ${displaystyle phi :S^{p} o M}$ (или в более общем смысле погружение ) с нулевой гомотопией ${displaystyle fcirc phi :S^{p} o X}$. Тогда его можно представить вложением (или погружением), нормальное расслоение которого стабильно тривиально. Это наблюдение важно, так как операция возможна только на вложениях с тривиальным нормальным расслоением. Например, если ${displaystyle p}$ меньше половины размера ${displaystyle X}$, каждая карта ${displaystyle S^{p} o X}$ гомотопно вложению по теореме Уитни. С другой стороны, любое стабильно тривиальное нормальное расслоение такого вложения автоматически тривиально, поскольку ${displaystyle pi _{p}(BO,BO_{k})=0}$ за ${displaystyle k>p}$. Следовательно, операция на картах нормалей всегда может быть сделана ниже среднего измерения. Это не верно для произвольных карт.

Обратите внимание, что этот новый подход требует классификации классов бордизмов нормальных отображений, которые являются нормальными инвариантами. В отличие от классов кобордизма отображений, нормальные инварианты являются теория когомологий. Его коэффициенты известны в случае топологических многообразий. Для случая гладких многообразий коэффициенты теории намного сложнее.

Нормальные инварианты против набора структур

Есть две причины, по которым важно изучать набор. ${displaystyle {mathcal {N}}(X)}$. Напомним, что основная цель теории хирургии - ответить на вопросы:

1. Для конечного комплекса Пуанкаре ${displaystyle X}$ есть ${displaystyle n}$-многообразия гомотопия, эквивалентная ${displaystyle X}$?

2. Для двух гомотопических эквивалентностей ${displaystyle f_{i}colon M_{i}ightarrow X}$, куда ${displaystyle i=0,1}$ есть ли диффеоморфизм ${displaystyle hcolon M_{0}ightarrow M_{1}}$ такой, что ${displaystyle f_{1}circ hsimeq f_{0}}$?

Обратите внимание: если ответ на эти вопросы должен быть положительным, то необходимо, чтобы ответ на следующие два вопроса был положительным.

1. ' Для конечного комплекса Пуанкаре ${displaystyle X}$ есть ли карта нормалей степени один? ${displaystyle (f,b)colon Mightarrow X}$?

2. ' Учитывая две гомотопические эквивалентности ${displaystyle f_{i}colon M_{i}ightarrow X}$, куда ${displaystyle i=0,1}$ есть нормальный кобордизм ${displaystyle (F,B)colon (W,M,M') o (M imes I,M imes 0,M imes 1)}$ такой, что ${displaystyle partial F_{0}=f_{0}}$ и ${displaystyle partial F_{1}=f_{1}}$?

Это, конечно, почти тривиальное наблюдение, но оно важно, поскольку оказывается, что существует эффективная теория, отвечающая на вопрос 1. ' а также эффективная теория, которая отвечает на вопрос 1. дала ответ на вопрос 1. » Да. Аналогично для вопросов 2 и 2 ». Также обратите внимание, что мы можем сформулировать вопросы следующим образом:

1. ' Является ${displaystyle {mathcal {N}}(X)eq emptyset }$?

2. ' Является ${displaystyle f_{0}=f_{1}}$ в ${displaystyle {mathcal {N}}(X)}$?

Следовательно, изучение ${displaystyle {mathcal {N}}(X)}$ действительно первый шаг в попытке понять набор хирургической структуры ${displaystyle {mathcal {S}}(X)}$ что является основной целью теории хирургии. Дело в том, что ${displaystyle {mathcal {N}}(X)}$ гораздо более доступен с точки зрения алгебраической топологии, как будет объяснено ниже.

Теория гомотопии

1. ' Позволять Икс быть конечным п-мерный комплекс Пуанкаре. Полезно использовать определение ${displaystyle {mathcal {N}}(X)}$ с обычными связками. Напомним, что (гладкое) многообразие имеет единственное касательное расслоение и единственное стабильное нормальное расслоение. Но конечный комплекс Пуанкаре не имеет такого единственного расслоения. Тем не менее у него есть заменитель - уникальное в некотором смысле сферическое расслоение - так называемое нормальное расслоение Спивака. Это имеет свойство, если ${displaystyle X}$ гомотопически эквивалентно многообразию, то сферическое расслоение, связанное с обратным движением нормального расслоения этого многообразия, изоморфно нормальному расслоению Спивака. Отсюда следует, что если ${displaystyle {mathcal {N}}(X)eq emptyset }$ то нормальное расслоение Спивака имеет расслоение. Посредством Строительство Понтрягина-Тома Обратное также верно.

Это можно сформулировать в терминах теории гомотопии. Отзывать ${displaystyle BG}$ классифицирующее пространство для стабильных сферических расслоений, ${displaystyle BO}$ классифицирующее пространство для стабильных векторных расслоений и отображение ${displaystyle Jcolon BOightarrow BG}$ индуцированное включением ${displaystyle Ohookrightarrow G}$ и что соответствует взятию ассоциированного сферического расслоения векторного расслоения. Фактически у нас есть последовательность расслоений ${displaystyle BOightarrow BGightarrow B(G/O)}$. Нормальное расслоение Спивака классифицируется картой ${displaystyle u _{X}colon Xightarrow BG}$. Он имеет редукцию векторного расслоения тогда и только тогда, когда ${displaystyle u _{X}}$ есть лифт ${displaystyle { ilde {u }}_{X}colon Xightarrow BO}$. Это эквивалентно требованию, чтобы композиция ${displaystyle Xightarrow BGightarrow B(G/O)}$ нуль-гомотопна.

Отметим, что гомотопические группы ${displaystyle B(G/O)}$ известны в некоторых малых размерностях и нетривиальны, что предполагает возможность того, что указанное выше условие может не выполняться для некоторых ${displaystyle X}$. На самом деле такие конечные комплексы Пуанкаре существуют, и первый пример был получен Гитлер и Сташева,^{[нужна цитата ]} давая, таким образом, пример комплекса Пуанкаре, не гомотопически эквивалентного многообразию.

2. ' Релятивизируя приведенные выше соображения, мы получаем (неестественную) биекцию

${displaystyle {mathcal {N}}(X)cong [X,G/O].}$

Разные категории

Вышеупомянутая биекция дает ${displaystyle {mathcal {N}}(X)}$ структура абелевой группы, поскольку пространство ${displaystyle G/O}$ является пространством петель и фактически бесконечным пространством петель, поэтому нормальные инварианты являются нулевой группой когомологий необычной теории когомологий, определяемой этим бесконечным пространством петель. Обратите внимание, что аналогичные идеи применимы и к другим категориям многообразий, и у одного есть биекции

${displaystyle {mathcal {N}}(X)cong [X,G/O]}$, и ${displaystyle {mathcal {N}}^{PL}(X)cong [X,G/PL]}$, и ${displaystyle {mathcal {N}}^{TOP}(X)cong [X,G/TOP].}$

Как известно, пространства

${displaystyle G/O}$, ${displaystyle G/PL}$ и ${displaystyle G/TOP}$

взаимно не гомотопически эквивалентны, и, следовательно, можно получить три различные теории когомологий.

Салливан проанализировал дела ${displaystyle G/PL}$ и ${displaystyle G/TOP}$. Он показал, что эти пространства обладают альтернативными структурами бесконечных пространств петель, которые на самом деле лучше со следующей точки зрения: Напомним, что существует отображение препятствий к перестройкам от нормальных инвариантов к L-группе. При описанной выше структуре групп на нормальных инвариантах это отображение НЕ является гомоморфизмом. Однако с групповой структурой из теоремы Салливана она становится гомоморфизмом в категориях ${displaystyle CAT=PL}$, и ${displaystyle TOP}$. Его теорема также связывает эти новые групповые структуры с хорошо известными теориями когомологий: сингулярными когомологиями и действительной K-теорией.

Рекомендации

• Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных многообразий, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, МИСТЕР  0358813
• Гитлер, Самуле; Сташев, Джеймс Д. (ноябрь 1965 г.), «Первый экзотический класс BF», Топология, 4 (3): 257–266, Дои:10.1016/0040-9383(65)90010-8
• Люк, Вольфганг (2002), Базовое введение в теорию хирургии (PDF), ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, школы "Теория многомерных многообразий" в Триесте, май / июнь 2001 г., Международный центр теоретической физики Абдуса Салама, Триест 1-224
• Раники, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, CiteSeerX  10.1.1.309.8886, Дои:10.1093 / acprof: oso / 9780198509240.001.0001, ISBN  978-0-19-850924-0, МИСТЕР  2061749
• Уолл, К. Т. С. (1999), Хирургия компактных многообразий, Математические обзоры и монографии, 69 (2-е изд.), Providence, R.I .: Американское математическое общество, CiteSeerX  10.1.1.309.8451, Дои:10.1090 / сур / 069, ISBN  978-0-8218-0942-6, МИСТЕР  1687388