Комплекс Пуанкаре - Poincaré complex - Wikipedia

В математике и особенно топология, а Комплекс Пуанкаре (назван в честь математика Анри Пуанкаре ) является абстракцией особый цепной комплекс из закрыто, ориентируемый многообразие.

Группы особых гомологий и когомологий замкнутого ориентируемого многообразия связаны соотношением Двойственность Пуанкаре. Двойственность Пуанкаре - это изоморфизм между гомологиями и группы когомологий. Цепной комплекс называется комплексом Пуанкаре, если его группы гомологии а группы когомологий обладают абстрактными свойствами двойственности Пуанкаре.^[1]

А Пространство Пуанкаре - топологическое пространство, особый цепной комплекс которого является комплексом Пуанкаре. Они используются в теория хирургии анализировать многообразие алгебраически.

Определение

Позволять ${\displaystyle C=\{C_{i}\}}$ быть цепной комплекс из абелевы группы, и предположим, что группы гомологий ${\displaystyle C}$ находятся конечно порожденный. Предположим, что существует карта ${\displaystyle \Delta \colon C\to C\otimes C}$, называемый цепно-диагональным, со свойством ${\displaystyle (\varepsilon \otimes 1)\Delta =(1\otimes \varepsilon )\Delta }$. Вот карта ${\displaystyle \varepsilon \colon C_{0}\to \mathbb {Z} }$ обозначает кольцевой гомоморфизм известный как карта аугментации, который определяется следующим образом: если ${\displaystyle n_{1}\sigma _{1}+\cdots +n_{k}\sigma _{k}\in C_{0}}$, тогда ${\displaystyle \varepsilon (n_{1}\sigma _{1}+\cdots +n_{k}\sigma _{k})=n_{1}+\cdots +n_{k}\in \mathbb {Z} }$.^[2]

Используя диагональ, как определено выше, мы можем формировать пары, а именно:

${\displaystyle \rho \colon H^{k}(C)\otimes H_{n}(C)\to H_{n-k}(C),\ {\text{where}}\ \ \rho (x\otimes y)=x\frown y}$,

куда ${\displaystyle \scriptstyle \frown }$ обозначает крышка продукта.^[3]

Цепной комплекс C называется геометрический если цепь-гомотопия существует между ${\displaystyle \Delta }$ и ${\displaystyle \tau \Delta }$, куда ${\displaystyle \tau \colon C\otimes C\to C\otimes C}$ это транспозиция / переворот, задаваемая ${\displaystyle \tau (a\otimes b)=b\otimes a}$.

Геометрический цепной комплекс называется алгебраическим. Комплекс Пуанкаре, размерности п, если существует бесконечноеупорядоченный элемент п-мерная группа гомологий, скажем ${\displaystyle \mu \in H_{n}(C)}$, такие что отображения, заданные

${\displaystyle (\frown \mu )\colon H^{k}(C)\to H_{n-k}(C)}$

группа изоморфизмы для всех ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$. Эти изоморфизмы являются изоморфизмами двойственности Пуанкаре.^[4][5]

Пример

• В единственное число цепной комплекс ориентируемой, закрытой п-мерное многообразие ${\displaystyle M}$ является примером комплекса Пуанкаре, где изоморфизмы двойственности задаются заглушкой фундаментальным классом ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$.^[1]

Смотрите также

• Пространство Пуанкаре

Рекомендации

1. Рудяк, Юлий Б. "Комплекс Пуанкаре". Получено 6 августа, 2010.
2. Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета, п. 110, ISBN  978-0-521-79540-1
3. Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология, Cambridge University Press, стр. 239–241, ISBN  978-0-521-79540-1
4. Уолл, К. Т. С. (1966). «Хирургия неодносвязных многообразий». Анналы математики. 84 (2): 217–276. Дои:10.2307/1970519.
5. Уолл, К.Т.С. (1970). Хирургия компактных многообразий. Академическая пресса.

• Уолл, К. Т. С. (1999) [1970], Эндрю Раники (ред.), Хирургия компактных многообразий (PDF), Математические обзоры и монографии, 69 (2-е изд.), Providence, R.I .: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0942-6, МИСТЕР  1687388 - особенно Глава 2

внешняя ссылка

• Классификация комплексов Пуанкаре через фундаментальные тройки на атласе многообразия