Идеал увеличения - Augmentation ideal

В алгебра, идеальное увеличение является идеальный что может быть определено в любом групповое кольцо.

Если грамм это группа и р а коммутативное кольцо, Существует гомоморфизм колец ${\displaystyle \varepsilon }$, называется карта аугментации, из группового кольца ${\displaystyle R[G]}$ к ${\displaystyle R}$, определяемый взятием (конечного^{[Примечание 1]}) сумма ${\displaystyle \sum r_{i}g_{i}}$ к ${\displaystyle \sum r_{i}.}$ (Здесь ${\displaystyle r_{i}\in R}$ и ${\displaystyle g_{i}\in G}$.) Говоря менее формально, ${\displaystyle \varepsilon (g)=1_{R}}$ для любого элемента ${\displaystyle g\in G}$, ${\displaystyle \varepsilon (r)=r}$ для любого элемента ${\displaystyle r\in R}$, и ${\displaystyle \varepsilon }$ затем продолжается до гомоморфизма р-модули очевидным образом.

В идеальное увеличение А это ядро из ${\displaystyle \varepsilon }$ и поэтому двусторонний идеал в р[грамм].

А порождено различиями ${\displaystyle g-g'}$ элементов группы. Эквивалентно, он также генерируется ${\displaystyle \{g-1:g\in G\}}$, что является основой в качестве бесплатного р-модуль.

За р и грамм как и выше, групповое кольцо р[грамм] является примером дополненный р-алгебра. Такая алгебра снабжена гомоморфизмом колец в р. Ядро этого гомоморфизма - идеал дополнения алгебры.

Идеал увеличения играет основную роль в групповые когомологии, среди других приложений.

Примеры коэффициентов идеала увеличения

• Позволять грамм группа и ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ групповое кольцо над целыми числами. Позволять я обозначают идеал увеличения ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$. Тогда частное я/я² изоморфна абелианизации грамм, определяемый как частное грамм своей коммутаторной подгруппой.
• Сложное представление V группы грамм это ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ - модуль. Коинварианты V затем можно описать как частное от V к IV, куда я идеал аугментации в ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$.
• Еще одним классом примеров идеального увеличения может быть ядро из графство ${\displaystyle \varepsilon }$ любой Алгебра Хопфа.

Примечания

1. При строительстве р[грамм], мы ограничиваем р[грамм] только к конечным (формальным) суммам

Рекомендации

• Д. Л. Джонсон (1990). Презентации групп. Тексты студентов Лондонского математического общества. 15. Издательство Кембриджского университета. С. 149–150. ISBN  0-521-37203-8.
• Даммит и Фут, Абстрактная алгебра