Крышка продукта - Cap product

В алгебраическая топология то крышка продукта метод присоединения цепь степени п с коцепь степени q, так что q ≤ п, чтобы образовать составную цепочку степеней п − q. Он был представлен Эдуард Чех в 1936 г. и независимо Хасслер Уитни в 1938 г.

Определение

Позволять Икс быть топологическое пространство и р кольцо коэффициентов. Колпачок - это билинейная карта на особые гомологии и когомология

${displaystyle frown ;:H_{p}(X;R) imes H^{q}(X;R)ightarrow H_{p-q}(X;R).}$

определяется путем заключения договора особая цепочка ${displaystyle sigma :Delta ^{p}ightarrow X}$ с единственным коцепь ${displaystyle psi in C^{q}(X;R),}$ по формуле:

${displaystyle sigma frown psi =psi (sigma |_{[v_{0},ldots ,v_{q}]})sigma |_{[v_{q},ldots ,v_{p}]}.}$

Здесь обозначение ${displaystyle sigma |_{[v_{0},ldots ,v_{q}]}}$ указывает на ограничение симплициального отображения ${displaystyle sigma }$ к его грани, натянутой на векторы основания, см. Симплекс.

Интерпретация

По аналогии с интерпретацией чашка продукта с точки зрения Формула Кюннета, мы можем объяснить существование продукта cap следующим образом. С помощью CW приближение мы можем предположить, что ${displaystyle X}$ является CW-комплексом и ${displaystyle C_{ullet }(X)}$ (и ${displaystyle C^{ullet }(X)}$) - это комплекс его клеточных цепей (или коцепей соответственно). Рассмотрим тогда композицию

${displaystyle C_{ullet }(X)otimes C^{ullet }(X){overset {Delta _{*}otimes mathrm {Id} }{longrightarrow }}C_{ullet }(X)otimes C_{ullet }(X)otimes C^{ullet }(X){overset {mathrm {Id} otimes varepsilon }{longrightarrow }}C_{ullet }(X)}$

куда мы берем тензорные произведения цепных комплексов, ${displaystyle Delta colon X o X imes X}$ это диагональная карта что индуцирует отображение ${displaystyle Delta _{*}colon C_{ullet }(X) o C_{ullet }(X imes X)cong C_{ullet }(X)otimes C_{ullet }(X)}$ на цепном комплексе, и ${displaystyle varepsilon colon C_{p}(X)otimes C^{q}(X) o mathbb {Z} }$ это оценочная карта (всегда 0, кроме ${displaystyle p=q}$).

Затем эта композиция переходит к частному для определения конечного продукта. ${displaystyle frown colon H_{ullet }(X) imes H^{ullet }(X) o H_{ullet }(X)}$, и если внимательно посмотреть на композицию выше, можно увидеть, что она действительно принимает форму карт ${displaystyle frown colon H_{p}(X) imes H^{q}(X) o H_{p-q}(X)}$, который всегда равен нулю для ${displaystyle p<q}$.

Наклонный продукт

Если в приведенном выше обсуждении заменить ${displaystyle X imes X}$ к ${displaystyle X imes Y}$, конструкция может быть (частично) воспроизведена, начиная с отображений

${displaystyle C_{ullet }(X imes Y)otimes C^{ullet }(Y)cong C_{ullet }(X)otimes C_{ullet }(Y)otimes C^{ullet }(Y){overset {mathrm {Id} otimes varepsilon }{longrightarrow }}C_{ullet }(X)}$ и

${displaystyle C^{ullet }(X imes Y)otimes C_{ullet }(Y)cong C^{ullet }(X)otimes C^{ullet }(Y)otimes C_{ullet }(Y){overset {mathrm {Id} otimes varepsilon }{longrightarrow }}C^{ullet }(X)}$

получить соответственно наклонные изделия ${displaystyle /}$:

${displaystyle H_{p}(X imes Y;R)otimes H^{q}(Y;R)ightarrow H_{p-q}(X;R)}$ и

${displaystyle H^{p}(X imes Y;R)otimes H_{q}(Y;R)ightarrow H^{p-q}(X;R).}$

В случае X = Y, первая связана с произведением крышки диагональной картой: ${displaystyle Delta _{*}(a)/phi =afrown phi }$.

Эти «продукты» в некотором смысле больше похожи на деление, чем на умножение, что отражено в их обозначениях.

Уравнения

Граница конечного продукта определяется следующим образом:

${displaystyle partial (sigma frown psi )=(-1)^{q}(partial sigma frown psi -sigma frown delta psi ).}$

Учитывая карту ж индуцированные отображения удовлетворяют:

${displaystyle f_{*}(sigma )frown psi =f_{*}(sigma frown f^{*}(psi )).}$

Шапка и чашка продукта связаны между собой:

${displaystyle psi (sigma frown varphi )=(varphi smile psi )(sigma )}$

куда

${displaystyle sigma :Delta ^{p+q}ightarrow X}$ , ${displaystyle psi in C^{q}(X;R)}$ и ${displaystyle varphi in C^{p}(X;R).}$

Интересным следствием последнего уравнения является то, что оно дает ${displaystyle H_{ast }(X;R)}$ в право ${displaystyle H^{ast }(X;R)-}$ модуль.

Смотрите также

• Продукт чашки
• Двойственность Пуанкаре
• Особые гомологии
• Теория гомологии

Рекомендации

• Хэтчер, А., Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета (2002) ISBN  0-521-79540-0. Подробное обсуждение теорий гомологий для симплициальных комплексов и многообразий, особых гомологий и т. Д.
• наклонный продукт в nLab