В алгебраическая топология то крышка продукта метод присоединения цепь степени п с коцепь степени q, так что q ≤ п, чтобы образовать составную цепочку степеней п − q. Он был представлен Эдуард Чех в 1936 г. и независимо Хасслер Уитни в 1938 г.
Определение
Позволять Икс быть топологическое пространство и р кольцо коэффициентов. Колпачок - это билинейная карта на особые гомологии и когомология
![нахмуриться;: H_ {p} (X; R) imes H ^ {q} (X; R) ightarrow H _ {{p-q}} (X; R).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae05f962b47151860a22b5adfcb3d62b21120631)
определяется путем заключения договора особая цепочка
с единственным коцепь
по формуле:
![сигма нахмуриться psi = psi (sigma | _ {{[v_ {0}, ldots, v_ {q}]}}) sigma | _ {{[v_ {q}, ldots, v_ {p}]}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6882b875de7b66d6b3cf4bbb8de999fe132c21f)
Здесь обозначение
указывает на ограничение симплициального отображения
к его грани, натянутой на векторы основания, см. Симплекс.
Интерпретация
По аналогии с интерпретацией чашка продукта с точки зрения Формула Кюннета, мы можем объяснить существование продукта cap следующим образом. С помощью CW приближение мы можем предположить, что
является CW-комплексом и
(и
) - это комплекс его клеточных цепей (или коцепей соответственно). Рассмотрим тогда композицию
![C_ {ullet} (X) иногда C ^ {ullet} (X) {overset {Delta _ {*} otimes {mathrm {Id}}} {longrightarrow}} C_ {ullet} (X) иногда C_ {ullet} (X ) иногда C ^ {ullet} (X) {overset {{mathrm {Id}} otimes varepsilon} {longrightarrow}} C_ {ullet} (X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0daa3235e5cfe011fc2c3f8b478bb60b11153f5)
куда мы берем тензорные произведения цепных комплексов,
это диагональная карта что индуцирует отображение
на цепном комплексе, и
это оценочная карта (всегда 0, кроме
).
Затем эта композиция переходит к частному для определения конечного продукта.
, и если внимательно посмотреть на композицию выше, можно увидеть, что она действительно принимает форму карт
, который всегда равен нулю для
.
Наклонный продукт
Если в приведенном выше обсуждении заменить
к
, конструкция может быть (частично) воспроизведена, начиная с отображений
и![{displaystyle C ^ {ullet} (X imes Y) иногда C_ {ullet} (Y) cong C ^ {ullet} (X) иногда C ^ {ullet} (Y) иногда C_ {ullet} (Y) {overset {mathrm {Id} otimes varepsilon} {longrightarrow}} C ^ {ullet} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca50526dcd688a32978b90956c7ec6e07f4da143)
получить соответственно наклонные изделия
:
и![{displaystyle H ^ {p} (X имеет Y; R) иногда H_ {q} (Y; R) ightarrow H ^ {p-q} (X; R).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe43eb771a95c9c493d110ce5962b097f7217bf6)
В случае X = Y, первая связана с произведением крышки диагональной картой:
.
Эти «продукты» в некотором смысле больше похожи на деление, чем на умножение, что отражено в их обозначениях.
Уравнения
Граница конечного продукта определяется следующим образом:
![частичное (сигма нахмуриться в фунтах на квадратный дюйм) = (- 1) ^ {q} (частичное сигма нахмуриться в фунтах на квадратный дюйм - сигма нахмурить дельта в фунтах на квадратный дюйм).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0feecf0d951a1d1dbbc77b76f7349ef1526032)
Учитывая карту ж индуцированные отображения удовлетворяют:
![f _ {*} (сигма) нахмуриться psi = f _ {*} (сигма нахмуриться f ^ {*} (psi)).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac43892fb9e49906a54931f36067d82b83e900b0)
Шапка и чашка продукта связаны между собой:
![psi (sigma frown varphi) = (varphi smile psi) (сигма)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2d6db65c89a7323bb15a4084848661ca8cdae9)
куда
,
и ![varphi в C ^ {p} (X; R).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae261bff88d951ef9f54b912a46e311ba437275)
Интересным следствием последнего уравнения является то, что оно дает
в право
модуль.
Смотрите также
Рекомендации