Теорема Кюннета - Künneth theorem

В математика, особенно в гомологическая алгебра и алгебраическая топология, а Теорема Кюннета, также называемый Формула Кюннета, является заявлением, касающимся гомология двух объектов к гомологии их продукта. Классическая формулировка теоремы Кюннета связывает особые гомологии из двух топологические пространства Икс и Y и их пространство продукта ${\displaystyle X\times Y}$. В простейшем возможном случае это отношение тензорное произведение, но для приложений очень часто необходимо применять определенные инструменты гомологической алгебры, чтобы выразить ответ.

Теорема Кюннета или формула Кюннета верна во многих различных теориях гомологии и когомологии, и это название стало общим. Эти многие результаты названы в честь немецкого математика. Герман Кюннет.

Сингулярные гомологии с коэффициентами в поле

Позволять Икс и Y - два топологических пространства. Обычно используются особые гомологии; но если Икс и Y случается Комплексы CW, то это можно заменить на клеточная гомология, потому что он изоморфен сингулярным гомологиям. Самый простой случай - когда кольцо коэффициентов для гомологий является полем F. В этой ситуации теорема Кюннета (для сингулярных гомологий) утверждает, что для любого целого числа k,

${\displaystyle \bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X;F)\otimes H_{j}(Y;F)\cong H_{k}(X\times Y;F)}$.

Кроме того, изоморфизм является естественный изоморфизм. Отображение суммы в группу гомологий произведения называется перекрестное произведение. Точнее, существует операция перекрестного произведения, с помощью которой я-цикл на Икс и j-цикл на Y можно объединить, чтобы создать ${\displaystyle (i+j)}$-цикл на ${\displaystyle X\times Y}$; так что существует явное линейное отображение, определенное из прямой суммы в ${\displaystyle H_{k}(X\times Y)}$.

Следствием этого результата является то, что Бетти числа, размерности гомологий с ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ коэффициенты, из ${\displaystyle X\times Y}$ можно определить из Икс и Y. Если ${\displaystyle p_{Z}(t)}$ это производящая функция последовательности чисел Бетти ${\displaystyle b_{k}(Z)}$ пространства Z, тогда

${\displaystyle p_{X\times Y}(t)=p_{X}(t)p_{Y}(t).}$

Здесь, когда имеется конечное число чисел Бетти Икс и Y, каждый из которых является натуральное число скорее, чем ${\displaystyle \infty }$, это читается как личность на Полиномы Пуанкаре. В общем случае это формальный степенной ряд с возможно бесконечными коэффициентами и должны интерпретироваться соответствующим образом. Кроме того, это утверждение верно не только для чисел Бетти, но и для производящих функций размерностей гомологий над любым полем. (Если целочисленные гомологии не без кручения, то эти числа могут отличаться от стандартных чисел Бетти.)

Сингулярные гомологии с коэффициентами в области главных идеалов

Приведенная выше формула проста, потому что векторные пространства над полем имеют очень ограниченное поведение. По мере того, как кольцо коэффициентов становится более общим, взаимосвязь усложняется. Следующим простейшим случаем является случай, когда кольцо коэффициентов представляет собой главная идеальная область. Этот случай особенно важен, потому что целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ являются PID.

В этом случае приведенное выше уравнение больше не всегда верно. Поправочный коэффициент, по-видимому, учитывает возможность торсионных явлений. Этот поправочный коэффициент выражается через Функтор Tor, первый производный функтор тензорного произведения.

Когда р является PID, то правильная формулировка теоремы Кюннета такова, что для любых топологических пространств Икс и Y есть естественные короткие точные последовательности

${\displaystyle 0\to \bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X;R)\otimes _{R}H_{j}(Y;R)\to H_{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus _{i+j=k-1}\mathrm {Tor} _{1}^{R}(H_{i}(X;R),H_{j}(Y;R))\to 0.}$

Кроме того, эти последовательности расколоть, но нет канонически.

Пример

Только что описанные короткие точные последовательности могут быть легко использованы для вычисления групп гомологии с целыми коэффициентами произведения ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2}}$ из двух реальные проективные плоскости, другими словами, ${\displaystyle H_{k}(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} )}$. Эти пространства Комплексы CW. Обозначая группу гомологий ${\displaystyle H_{i}(\mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} )}$ к ${\displaystyle h_{i}}$ для краткости из простого расчета с клеточная гомология который

${\displaystyle h_{0}\cong \mathbb {Z} }$,

${\displaystyle h_{1}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$,

${\displaystyle h_{i}=0}$ для всех остальных значений я.

Единственный ненулевой Группа Tor (произведение кручения), которое может быть образовано из этих значений ${\displaystyle h_{i}}$ является

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(h_{1},h_{1})\cong \mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Следовательно, короткая точная последовательность Кюннета сводится во всех степенях к изоморфизму, потому что в каждом случае есть нулевая группа либо слева, либо справа в последовательности. Результат

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{0}\otimes h_{0}\;\cong \;\mathbb {Z} \\H_{1}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{0}\otimes h_{1}\;\oplus \;h_{1}\otimes h_{0}\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\H_{2}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{1}\otimes h_{1}\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\H_{3}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;\mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(h_{1},h_{1})\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\\end{aligned}}}$

а все остальные группы гомологий равны нулю.

Спектральная последовательность Кюннета

Для общего коммутативного кольца р, гомологии Икс и Y связана с гомологией их произведения с помощью Кюннет спектральная последовательность

${\displaystyle E_{pq}^{2}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\mathrm {Tor} _{p}^{R}(H_{q_{1}}(X;R),H_{q_{2}}(Y;R))\Rightarrow H_{p+q}(X\times Y;R).}$

В случаях, описанных выше, эта спектральная последовательность схлопывается, давая изоморфизм или короткую точную последовательность.

Связь с гомологической алгеброй и идея доказательства

Цепной комплекс пространства Икс × Y относится к цепным комплексам Икс и Y естественным квазиизоморфизм

${\displaystyle C_{*}(X\times Y)\cong C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y).}$

Для особых цепей это Теорема Эйленберга и Зильбера. Для клеточных цепей на комплексах CW это прямой изоморфизм. Тогда гомологии тензорного произведения справа задаются спектральной формулой Кюннета гомологической алгебры.^[1]

Свобода цепных модулей означает, что в этом геометрическом случае нет необходимости использовать какие-либо гипергомологии или полное производное тензорное произведение.

Имеются аналоги приведенных выше утверждений для особые когомологии и когомологии пучков. Для когомологий пучков на алгебраическом многообразии Александр Гротендик нашли шесть спектральных последовательностей, связывающих возможные гипергомология группы двух цепных комплексов пучков и группы гипергомологий их тензорного произведения.^[2]

Теоремы Кюннета в обобщенных теориях гомологий и когомологий

Есть много обобщенных (или «необычных») теории гомологий и когомологий для топологических пространств. K-теория и кобордизм самые известные. В отличие от обычных гомологий и когомологий, они обычно не могут быть определены с помощью цепных комплексов. Таким образом, теоремы Кюннета нельзя получить указанными выше методами гомологической алгебры. Тем не менее теоремы Кюннета в одной и той же форме во многих случаях доказывались различными другими методами. Первые были Майкл Атья теорема Кюннета для комплексной K-теории и Пьер Коннер и Эдвин Э. Флойд В результате кобордизм.^[3][4] Возник общий метод доказательства, основанный на гомотопической теории модулей над высокоструктурированные кольцевые спектры.^[5][6] Гомотопическая категория таких модулей очень похожа на производная категория в гомологической алгебре.

Рекомендации

1. См. Последнюю главу Мак-Лейн, Сондерс (1963), Гомология, Берлин: Springer, ISBN  0-387-03823-X
2. Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1963), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la сотрудничества де Жана Дьедонне): III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 17: 5–91 (EGA III₂, Теорема 6.7.3.).
3. Атья, Майкл Ф. (1967), K-теория, Нью-Йорк: В. А. Бенджамин
4. Коннер, Пьер Э.; Флойд, Эдвин Э. (1964), Дифференцируемые периодические отображения, Берлин: Springer
5. Робинсон, Алан (1983), "Производные тензорные произведения в стабильной теории гомотопий", Топология, 22 (1): 1–18, Дои:10.1016/0040-9383(83)90042-3, МИСТЕР  0682056
6. Элмендорф, Энтони Д .; Кржиж, Игорь; Манделл, Майкл А. и Мэй, Дж. Питер (1997), Кольца, модули и алгебры в стабильной теории гомотопий, Математические обзоры и монографии, 47, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0638-6, МИСТЕР  1417719

внешняя ссылка

• «Формула Кюннета», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]