Функтор Tor - Tor functor

В математика, то Функторы Tor являются производные функторы из тензорное произведение модулей через звенеть. Вместе с Ext функтор, Tor - одно из центральных понятий гомологическая алгебра, в котором идеи из алгебраическая топология используются для построения инвариантов алгебраических структур. В гомологии групп, Алгебры Ли, и ассоциативные алгебры все можно определить в терминах Tor. Название происходит от отношения между первой группой Tor Tor₁ и торсионная подгруппа из абелева группа.

В частном случае абелевых групп Tor был введен Эдуард Чех (1935) и назван Сэмюэл Эйленберг около 1950 г.^[1] Впервые он был применен к Теорема Кюннета и теорема об универсальном коэффициенте в топологии. Для модулей над любым кольцом Tor был определен формулой Анри Картан и Эйленберг в своей книге 1956 г. Гомологическая алгебра.^[2]

Определение

Позволять р быть звенеть. Написать р-Мод для категория из оставили р-модули и Mod-р по категории права р-модули. (Если р является коммутативный можно выделить две категории.) Для фиксированного левого р-модуль B, позволять Т(А) = А ⊗_р B за А в мод-р. Это правильный точный функтор из Mod-р к категория абелевых групп Ab, и так оно и осталось производные функторы L_яТ. Группы Tor - это абелевы группы, определенные формулой

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=(L_{i}T)(A),}$

для целое число я. По определению это означает: взять любой проективное разрешение

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

удалить термин А, и сформировать цепной комплекс:

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0}$

Для каждого целого числа я, Tor^р
_я(А, B) это гомология этого комплекса на позиции я. Это ноль для я отрицательный. Например, Tor^р
₀(А, B) это коядро карты п₁ ⊗_р B → п₀ ⊗_р B, который изоморфный к А ⊗_р B.

В качестве альтернативы можно определить Tor, установив А и взяв левые производные функторы правого точного функтора грамм(B) = А ⊗_р B. То есть тензор А с проективным разрешением B и возьмем гомологию. Картан и Эйленберг показали, что эти конструкции не зависят от выбора проективной резольвенты и что обе конструкции дают одни и те же группы Tor.^[3] Кроме того, для фиксированного кольца р, Tor - функтор в каждой переменной (из р-модули к абелевым группам).

Для коммутативного кольца р и р-модули А и B, Tor^р
_я(А, B) является р-модуль (используя этот А ⊗_р B является р-модуль в данном случае). Для некоммутативного кольца р, Tor^р
_я(А, B) является, вообще говоря, только абелевой группой. Если р является алгебра над кольцом S (что означает, в частности, что S коммутативна), то Tor^р
_я(А, B) по крайней мере S-модуль.

Характеристики

Вот некоторые из основных свойств и вычислений групп Tor.^[4]

• Тор^р
  ₀(А, B) ≅ А ⊗_р B по любому праву р-модуль А и влево р-модуль B.

• Тор^р
  _я(А, B) = 0 для всех я > 0, если либо А или же B является плоский (Например, свободный ) как р-модуль. Фактически, можно вычислить Tor, используя плоское разрешение либо А или же B; это более общее, чем проективное (или свободное) разрешение.^[5]

• Есть обратное к предыдущему утверждению:
  • Если Tor^р
    ₁(А, B) = 0 для всех B, тогда А плоский (следовательно, Tor^р
    _я(А, B) = 0 для всех я > 0).
  • Если Tor^р
    ₁(А, B) = 0 для всех А, тогда B плоский (следовательно, Tor^р
    _я(А, B) = 0 для всех я > 0).

• По общим свойствам производных функторов каждые короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 справа р-модули индуцирует длинная точная последовательность формы^[6]

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,}$

для любого левого р-модуль B. Аналогичная точная последовательность верна и для Tor относительно второй переменной.

• Симметрия: для коммутативного кольца р, Существует естественный изоморфизм Тор^р
  _я(А, B) ≅ Tor^р
  _я(B, А).^[7] (За р коммутативен, нет необходимости различать левое и правое р-модули.)

• Если р коммутативное кольцо и ты в р это не делитель нуля, то для любого р-модуль B,

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B/uB&i=0\\B[u]&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

куда

${\displaystyle B[u]=\{x\in B:ux=0\}}$

это ты-кручение подгруппы B. Это объяснение названия Tor. Принимая р быть кольцом ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел, это вычисление можно использовать для вычисления ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)}$ для любого конечно порожденная абелева группа А.

• Обобщая предыдущий пример, можно вычислить группы Tor, которые включают фактор коммутативного кольца по любому регулярная последовательность, с использованием Кошульский комплекс.^[8] Например, если р это кольцо многочленов k[Икс₁, ..., Икс_п] над полем k, тогда ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$ это внешняя алгебра над k на п генераторы в Tor₁.

• ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} }(A,B)=0}$ для всех я ≥ 2. Причина: каждый абелева группа А имеет свободное разрешение длины 1, так как каждая подгруппа свободная абелева группа это свободный абелев.

• Для любого кольца р, Tor сохраняет прямые суммы (возможно бесконечное) и отфильтрованные копределы в каждой переменной.^[9] Например, в первой переменной это говорит, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}}$

• Замена плоского основания: для коммутативной квартиры р-алгебра Т, р-модули А и B, и целое число я,^[10]

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\otimes _{R}T\cong \mathrm {Tor} _{i}^{T}(A\otimes _{R}T,B\otimes _{R}T).}$

Отсюда следует, что Tor коммутирует с локализация. То есть для мультипликативно замкнутое множество S в р,

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

• Для коммутативного кольца р и коммутативный р-алгебры А и B, Tor^р
  _*(А,B) имеет структуру градуированный коммутативный алгебра над р. Более того, элементы нечетной степени в алгебре Tor имеют нулевой квадрат, и есть разделенная власть операции над элементами положительной четной степени.^[11]

Важные особые случаи

• Групповая гомология определяется ${\displaystyle H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$ куда грамм это группа, M это представление из грамм над целыми числами и ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ это групповое кольцо из грамм.

• Для алгебра А над полем k и А-бимодуль M, Гомологии Хохшильда определяется

${\displaystyle HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}(A,M).}$

• Гомологии алгебр Ли определяется ${\displaystyle H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$, куда ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ это Алгебра Ли над коммутативным кольцом р, M это ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль и ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ это универсальная обертывающая алгебра.

• Для коммутативного кольца р с гомоморфизмом на поле k, ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$ является градуированно-коммутативным Алгебра Хопфа над k.^[12] (Если р это Местное кольцо Нётериана с полем вычетов k, то двойственная алгебра Хопфа к ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$ является Ext^*
  _р(k,k).) Как алгебра, ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$ - свободная градуированно-коммутативная алгебра разделенных степеней на градуированном векторном пространстве π_*(р).^[13] Когда k имеет характеристика ноль, π_*(р) можно отождествить с Гомологии Андре-Квиллена D_*(k/р,k).^[14]

Смотрите также

• Плоский морфизм
• Формула пересечения Серра
• Производное тензорное произведение
• Спектральная последовательность Эйленберга – Мура

Примечания

1. Вейбель (1999).
2. Картан и Эйленберг (1956), раздел VI.1.
3. Weibel (1994), раздел 2.4 и теорема 2.7.2.
4. Weibel (1994), главы 2 и 3.
5. Вейбель (1994), лемма 3.2.8.
6. Вейбель (1994), определение 2.1.1.
7. Weibel (1994), замечание в разделе 3.1.
8. Weibel (1994), раздел 4.5.
9. Вейбель (1994), следствие 2.6.17.
10. Вейбель (1994), следствие 3.2.10.
11. Аврамов и Гальперин (1986), раздел 2.16; Stacks Project, тег 09PQ.
12. Аврамов и Гальперин (1986), раздел 4.7.
13. Гулликсен и Левин (1969), теорема 2.3.5; Шёдин (1980), теорема 1.
14. Quillen (1970), раздел 7.

Рекомендации

• Аврамов, Лучезар; Гальперин, Стивен (1986), «В зеркало: словарь между теорией рациональной гомотопии и локальной алгеброй», в J.-E. Роос (ред.), Алгебра, алгебраическая топология и их взаимодействия (Стокгольм, 1983), Конспект лекций по математике, 1183, Springer Nature, стр. 1–27, Дои:10.1007 / BFb0075446, ISBN  978-3-540-16453-1, МИСТЕР  0846435
• Картан, Анри; Эйленберг, Самуэль (1999) [1956], Гомологическая алгебра, Принстон: Princeton University Press, ISBN  0-691-04991-2, МИСТЕР  0077480
• Чех, Эдуард (1935), "Les groupes de Betti d'un complexe infini" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 25: 33–44, Дои:10.4064 / fm-25-1-33-44, JFM  61.0609.02
• Гулликсен, Тор; Левин, Герсон (1969), Гомологии локальных колец, Статьи Королевы по чистой и прикладной математике, 20, Королевский университет, МИСТЕР  0262227
• Квиллен, Дэниел (1970), «О (ко) гомологиях коммутативных колец», Приложения категориальной алгебры, Proc. Symp. Чистый мат., 17, Американское математическое общество, стр. 65–87, МИСТЕР  0257068
• Sjödin, Gunnar (1980), "Алгебры Хопфа и дифференцирования", Журнал алгебры, 64: 218–229, Дои:10.1016 / 0021-8693 (80) 90143-Х, МИСТЕР  0575792
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4. МИСТЕР  1269324. OCLC  36131259.
• Вейбель, Чарльз (1999), "История гомологической алгебры", История топологии (PDF), Амстердам: Северная Голландия, стр. 797–836, МИСТЕР  1721123

внешняя ссылка

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project