Кошульский комплекс - Koszul complex

В математика, то Кошульский комплекс был впервые введен для определения теория когомологий за Алгебры Ли, к Жан-Луи Кошул (видеть Когомологии алгебры Ли ). Это оказалось полезной общей конструкцией в гомологическая алгебра. В качестве инструмента его гомологии можно использовать, чтобы определить, когда набор элементов (локального) кольца является M-регулярная последовательность, и, следовательно, его можно использовать для доказательства основных фактов о глубина модуля или идеала, который представляет собой алгебраическое понятие размерности, связанное с геометрическим понятием Измерение Крулля. Более того, при определенных обстоятельствах комплекс представляет собой комплекс сизигии, то есть он сообщает вам отношения между генераторами модуля, отношения между этими отношениями и так далее.

Определение

Позволять р коммутативное кольцо и E свободный модуль конечного ранга р над р. Мы пишем ${\displaystyle \bigwedge ^{i}E}$ для я-й внешняя сила из E. Тогда, учитывая р-линейная карта ${\displaystyle s\colon E\to R}$, то Кошульский комплекс, связанный с s это цепной комплекс из р-модули:

${\displaystyle K_{\bullet }(s)\colon 0\to \bigwedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}E\to \cdots \to \bigwedge ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\to 0}$,

где дифференциал ${\displaystyle d_{k}}$ дается: для любого ${\displaystyle e_{i}}$ в E,

${\displaystyle d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i}}}\wedge \cdots \wedge e_{k}}$.

Верхний индекс ${\displaystyle {\widehat {\cdot }}}$ означает, что термин опущен. (Отображение ${\displaystyle d_{k}\circ d_{k+1}=0}$ прямолинейно; в качестве альтернативы, это тождество также следует с использованием # Самодвойственность комплекса Кошуля.)

Обратите внимание, что ${\displaystyle \bigwedge ^{1}E=E}$ и ${\displaystyle d_{1}=s}$. Отметим также, что ${\displaystyle \bigwedge ^{r}E\simeq R}$; этот изоморфизм не каноничен (например, выбор объемная форма в дифференциальной геометрии дает пример такого изоморфизма.)

Если ${\displaystyle E=R^{r}}$ (т.е. выбирается упорядоченный базис), то, задавая р-линейная карта ${\displaystyle s\colon R^{r}\to R}$ сводится к получению конечной последовательности ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{r}}$ элементов в р (а именно вектор-строку), а затем задается ${\displaystyle K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet }(s).}$

Если M является конечно порожденным р-модуль, затем устанавливаются:

${\displaystyle K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M}$,

который снова является цепным комплексом с индуцированным дифференциалом ${\displaystyle (d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m}$.

В я-я гомология комплекса Кошуля

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operatorname {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operatorname {im} (d_{i+1}\otimes 1_{M})}$

называется я-я гомология Кошуля. Например, если ${\displaystyle E=R^{r}}$ и ${\displaystyle s=[s_{1}\cdots s_{r}]}$ вектор-строка с элементами в р, тогда ${\displaystyle d_{1}\otimes 1_{M}}$ является

${\displaystyle s\colon M^{r}\to M,\,(m_{1},\dots ,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{r}}$

и так

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\dots ,s_{r})M=R/(s_{1},\dots ,s_{r})\otimes _{R}M.}$

По аналогии,

${\displaystyle \operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r}m=0\}=\operatorname {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M).}$

Кошульские комплексы в малых габаритах

Учитывая коммутативное кольцо р, элемент Икс в р, и р-модуль M, умножение на Икс дает гомоморфизм из р-модули,

${\displaystyle M\to M.}$

Считая это цепной комплекс (поместив их в степени 1 и 0 и добавив нули в другом месте), это обозначается ${\displaystyle K(x,M)}$. По построению гомологии

${\displaystyle H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=\operatorname {Ann} _{M}(x)=\{m\in M,xm=0\},}$

в аннигилятор из Икс в MТаким образом, комплекс Кошуля и его гомологии кодируют фундаментальные свойства умножения на Икс.

Этот цепной комплекс ${\displaystyle K_{\bullet }(x)}$ называется Кошульский комплекс из р относительно Икс, как в #Определение. Комплекс Кошуля для пары ${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$ является

${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,}$

с матрицами ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ данный

${\displaystyle d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}}$ и

${\displaystyle d_{2}={\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle d_{i}}$ наносится слева. В циклы степени 1 - это в точности линейные отношения на элементах Икс и у, а границы - тривиальные отношения. Первые гомологии Кошуля H₁(K_•(Икс, у)) поэтому точно измеряет отношения, модифицирующие тривиальные отношения. С большим количеством элементов многомерные гомологии Кошуля измеряют более высокоуровневые версии этого.

В случае, если элементы ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ сформировать регулярная последовательность все модули высших гомологий комплекса Кошуля равны нулю.

Пример

Если k это поле и ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}}$ являются неопределенными и р кольцо многочленов ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}]}$, комплекс Кошул ${\displaystyle K_{\bullet }(X_{i})}$ на ${\displaystyle X_{i}}$образует бетон без р-разрешение k.

Свойства гомологии Кошуля

Позволять E - свободный модуль конечного ранга над р, позволять ${\displaystyle s\colon E\to R}$ быть р-линейная карта, и пусть т быть элементом р. Позволять ${\displaystyle K(s,t)}$ быть кошульским комплексом ${\displaystyle (s,t)\colon E\oplus R\to R}$.

С помощью ${\displaystyle \wedge ^{k}(E\oplus R)=\oplus _{i=0}^{k}\bigwedge ^{k-i}E\otimes \bigwedge ^{i}R=\bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E}$, есть точная последовательность комплексов:

${\displaystyle 0\to K(s)\to K(s,t)\to K(s)[-1]\to 0}$

где [-1] означает сдвиг градуса на -1 и ${\displaystyle d_{K(s)[-1]}=-d_{K(s)}}$. Одно примечания:^[1] за ${\displaystyle (x,y)}$ в ${\displaystyle \wedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E}$,

${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(d_{K(s)}x+ty,d_{K(s)[-1]}y).}$

На языке гомологическая алгебра, это означает, что ${\displaystyle K(s,t)}$ это картографический конус из ${\displaystyle t\colon K(s)\to K(s)}$.

Взяв длинную точную последовательность гомологий, получим:

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{i}(K(s)){\overset {t}{\to }}\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s,t))\to \operatorname {H} _{i-1}(K(s)){\overset {t}{\to }}\cdots .}$

Здесь соединительный гомоморфизм

${\displaystyle \delta :\operatorname {H} _{i+1}(K(s)[-1])=\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s))}$

вычисляется следующим образом. По определению, ${\displaystyle \delta ([x])=[d_{K(s,t)}(y)]}$ куда у является элементом ${\displaystyle K(s,t)}$ что соответствует Икс. С ${\displaystyle K(s,t)}$ прямая сумма, мы можем просто взять у быть (0, Икс). Тогда ранняя формула для ${\displaystyle d_{K(s,t)}}$ дает ${\displaystyle \delta ([x])=t[x]}$.

Приведенная выше точная последовательность может быть использована для доказательства следующего.

Теорема — ^[2] Позволять р быть кольцом и M модуль над ним. Если последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}}$ элементов р это регулярная последовательность на M, тогда

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$

для всех ${\displaystyle i\geq 1}$. В частности, когда M = р, это сказать

${\displaystyle 0\to \wedge ^{r}R^{r}{\overset {d_{r}}{\to }}\wedge ^{r-1}R^{r}\to \cdots \to \wedge ^{2}R^{r}{\overset {d_{2}}{\to }}R^{r}{\overset {[x_{1}\cdots x_{r}]}{\to }}R\to R/(x_{1},\cdots ,x_{r})\to 0}$

точно; т.е. ${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{r})}$ является р-бесплатное разрешение из ${\displaystyle R/(x_{1},\dots ,x_{r})}$.

Доказательство индукцией по р. Если ${\displaystyle r=1}$, тогда ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(K(x_{1};M))=\operatorname {Ann} _{M}(x_{1})=0}$. Далее предположим, что утверждение верно для р - 1. Затем, используя указанную выше точную последовательность, можно увидеть ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0}$ для любого ${\displaystyle i\geq 2}$. Исчезновение также справедливо для ${\displaystyle i=1}$, поскольку ${\displaystyle x_{r}}$ненулевой делитель на ${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K(x_{1},\dots ,x_{r-1};M))=M/(x_{1},\dots ,x_{r-1})M.}$ ${\displaystyle \square }$

Следствие — ^[3] Позволять р, M быть как указано выше и ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ последовательность элементов р. Предположим, есть кольцо S, S-регулярная последовательность ${\displaystyle y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}}$ в S и гомоморфизм колец S → р что отображает ${\displaystyle y_{i}}$ к ${\displaystyle x_{i}}$. (Например, можно взять ${\displaystyle S=\mathbb {Z} [y_{1},\cdots ,y_{n}]}$.) Потом

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(S/(y_{1},\dots ,y_{n}),M).}$

где Tor обозначает Функтор Tor и M является S-модуль через S → р.

Доказательство. По теореме, примененной к S и S как S-модуль, мы видим K(у₁, ..., у_п) является S-свободное разрешение S/(у₁, ..., у_п). Итак, по определению я-я гомология ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M}$ - правая часть сказанного выше. С другой стороны, ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M=K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M}$ по определению S-модульная структура на M. ${\displaystyle \square }$

Следствие — ^[4] Позволять р, M быть как указано выше и ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ последовательность элементов р. Тогда оба идеальных ${\displaystyle I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$ и аннигилятор M уничтожать

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)}$

для всех я.

Доказательство: Пусть S = р[у₁, ..., у_п]. Повернуть M в S-модуль через гомоморфизм колец S → р, у_я → Икс_я и р ан S-модуль через у_я → 0. По предыдущему следствию ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)}$ а потом

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{S}(\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M))\supset \operatorname {Ann} _{S}(R)+\operatorname {Ann} _{S}(M)\supset (y_{1},\dots ,y_{n})+\operatorname {Ann} _{R}(M)+(y_{1}-x_{1},...,y_{n}-x_{n}).}$ ${\displaystyle \square }$

Для местное кольцо, верно обратное утверждение теоремы. В более общем смысле,

Теорема — ^[5] Позволять р быть кольцом и M ненулевой конечно порожденный модуль над р . Если Икс₁, Икс₂, ..., Икс_р являются элементами Радикал Якобсона из р, то эквивалентны следующие:

1. Последовательность ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$ это регулярная последовательность на M,
2. ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$,
3. ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$ для всех я ≥ 1.

Доказательство: нам нужно показать только 2. из 1., остальное ясно. Рассуждаем индукцией по р. Дело р = 1 уже известно. Позволять Икс' обозначать Икс₁, ..., Икс_р-1. Учитывать

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{1}(K(x';M)){\overset {x_{r}}{\to }}\operatorname {H} _{1}(K(x';M))\to \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0\to M/x'M{\overset {x_{r}}{\to }}\cdots .}$

С первого ${\displaystyle x_{r}}$ сюръективно, ${\displaystyle N=x_{r}N}$ с ${\displaystyle N=\operatorname {H} _{1}(K(x';M))}$. К Лемма Накаямы, ${\displaystyle N=0}$ и так Икс' - регулярная последовательность по предположению индукции. Со второго ${\displaystyle x_{r}}$ инъективен (т. е. является ненулевым делителем), ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$ является регулярной последовательностью. (Примечание: по лемме Накаямы требование ${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0}$ автоматический.) ${\displaystyle \square }$

Тензорные продукты комплексов Кошуля

В общем, если C, D являются цепными комплексами, то их тензорное произведение ${\displaystyle C\otimes D}$ это цепной комплекс, задаваемый формулой

${\displaystyle (C\otimes D)_{n}=\sum _{i+j=n}C_{i}\otimes D_{j}}$

с дифференциалом: для любых однородных элементов Икс, у,

${\displaystyle d_{C\otimes D}(x\otimes y)=d_{C}(x)\otimes y+(-1)^{|x|}x\otimes d_{D}(y)}$

где |Икс| степень Икс.

Эта конструкция относится, в частности, к комплексам Кошуля. Позволять E, F - свободные модули конечного ранга, и пусть ${\displaystyle s\colon E\to R}$ и ${\displaystyle t\colon F\to R}$ быть двумя р-линейные карты. Позволять ${\displaystyle K(s,t)}$ - комплекс Кошуля линейного отображения ${\displaystyle (s,t)\colon E\oplus F\to R}$. Тогда как комплексы

${\displaystyle K(s,t)\simeq K(s)\otimes K(t).}$

Чтобы убедиться в этом, удобнее работать с внешней алгеброй (в отличие от внешних степеней). Определите градуированный вывод степени ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle d_{s}:\wedge E\to \wedge E}$

требуя: для любых однородных элементов Икс, у в ΛE,

• ${\displaystyle d_{s}(x)=s(x)}$ когда ${\displaystyle |x|=1}$
• ${\displaystyle d_{s}(x\wedge y)=d_{s}(x)\wedge y+(-1)^{|x|}x\wedge d_{s}(y)}$

Легко увидеть, что ${\displaystyle d_{s}\circ d_{s}=0}$ (индукция по степени) и что действие ${\displaystyle d_{s}}$ на однородных элементах согласуется с дифференциалами в #Определение.

Теперь у нас есть ${\displaystyle \wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F}$ как оценено р-модули. Кроме того, по определению тензорного произведения, упомянутому в начале,

${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}(e\otimes 1+1\otimes f)=d_{K(s)}(e)\otimes 1+1\otimes d_{K(t)}(f)=s(e)+t(f)=d_{K(s,t)}(e+f).}$

С ${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}}$ и ${\displaystyle d_{K(s,t)}}$ являются выводами одного типа, отсюда следует ${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}=d_{K(s,t)}.}$

Отметим, в частности,

${\displaystyle K(x_{1},x_{2},\dots ,x_{r})\simeq K(x_{1})\otimes K(x_{2})\otimes \cdots \otimes K(x_{r})}$.

Следующее предложение показывает, как комплекс элементов Кошуля кодирует некоторую информацию о последовательностях в идеале, порожденном ими.

Предложение — Позволять р быть кольцом и я = (Икс₁, ..., Икс_п) идеал, порожденный некоторыми п-элементы. Тогда для любого р-модуль M и любые элементы у₁, ..., у_р в я,

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{r};M))\simeq \bigoplus _{i=j+k}\operatorname {H} _{j}(K(x_{1},\dots ,x_{n};M))\otimes \wedge ^{k}R^{r}.}$

куда ${\displaystyle \wedge ^{k}R^{r}}$ рассматривается как комплекс с нулевым дифференциалом. (На самом деле разложение выполняется на цепном уровне).

Доказательство: (легко, но пока опущено)

В качестве приложения мы можем показать глубинную чувствительность гомологии Кошуля. Для конечно порожденного модуля M над кольцом р, по (одному) определению глубина из M относительно идеала я является супремумом длин всех регулярных последовательностей элементов я на M. Обозначается он ${\displaystyle \operatorname {depth} (I,M)}$. Напомним, что M-регулярная последовательность Икс₁, ..., Икс_п в идеале я является максимальным, если я не содержит ненулевого делителя на ${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{n})M}$.

Гомология Кошуля дает очень полезную характеристику глубины.

Теорема (чувствительность к глубине) — Позволять р быть нётеровым кольцом, Икс₁, ..., Икс_п элементы р и я = (Икс₁, ..., Икс_п) порожденный ими идеал. Для конечно порожденного модуля M над р, если для некоторого целого м,

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0}$ для всех я > м,

пока

${\displaystyle \operatorname {H} _{m}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)\neq 0,}$

то каждый максимальный M-регулярная последовательность в я имеет длину п - м (в частности, все они имеют одинаковую длину). Как следствие,

${\displaystyle \operatorname {depth} (I,M)=n-m}$.

Доказательство: чтобы облегчить обозначения, мы пишем H (-) вместо H (K(-)). Позволять у₁, ..., у_s быть максимальным M-регулярная последовательность в идеале я; обозначим эту последовательность через ${\displaystyle {\underline {y}}}$. Сначала покажем индукцией по ${\displaystyle l}$, утверждение, что ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M)}$ является ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})}$ если ${\displaystyle i=l}$ и равен нулю, если ${\displaystyle i>l}$. Базовый случай ${\displaystyle l=0}$ ясно из # Свойства гомологии Кошуля. Из длинной точной последовательности гомологий Кошуля и индуктивной гипотезы

${\displaystyle \operatorname {H} _{l}\left({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M\right)=\operatorname {ker} \left(x_{l}:\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\to \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\right)}$,

который${\displaystyle \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).}$ Кроме того, по тому же аргументу обращение в нуль выполняется для ${\displaystyle i>l}$. Это завершает доказательство утверждения.

Теперь из утверждения и раннего предложения следует, что ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0}$ для всех я > п - s. Заключить п - s = м, осталось показать, что он ненулевой, если я = п - s. С ${\displaystyle {\underline {y}}}$ это максимальный M-регулярная последовательность в я, идеал я содержится в множестве всех нулевых делителей на ${\displaystyle M/{\underline {y}}M}$, конечное объединение ассоциированных простых чисел модуля. Таким образом, по простому избеганию существует ненулевое v в ${\displaystyle M/{\underline {y}}M}$ такой, что ${\displaystyle I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)}$, то есть

${\displaystyle 0\neq v\in \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(I)\simeq \operatorname {H} _{n}\left(x_{1},\dots ,x_{n},{\underline {y}};M\right)=\operatorname {H} _{n-s}(x_{1},\dots ,x_{n};M)\otimes \wedge ^{s}R^{s}.}$ ${\displaystyle \square }$

Самодуальность

Существует подход к комплексу Кошуля, который использует коцепьевой комплекс вместо цепного комплекса. Как выясняется, это приводит, по сути, к одному и тому же комплексу (факт, известный как самодуальность комплекса Кошуля).

Позволять E свободный модуль конечного ранга р над кольцом р. Тогда каждый элемент е из E дает начало внешнему умножению слева на е:

${\displaystyle l_{e}:\wedge ^{k}E\to \wedge ^{k+1}E,\,x\mapsto e\wedge x.}$

С ${\displaystyle e\wedge e=0}$, у нас есть: ${\displaystyle l_{e}\circ l_{e}=0}$; то есть,

${\displaystyle 0\to R{\overset {1\mapsto e}{\to }}\wedge ^{1}E{\overset {l_{e}}{\to }}\wedge ^{2}E\to \cdots \to \wedge ^{r}E\to 0}$

является коцепным комплексом свободных модулей. Этот комплекс, также называемый комплексом Кошуля, представляет собой комплекс, используемый в (Эйзенбуд 1995 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFEisenbud1995 (помощь). Взяв дуал, возникает комплекс:

${\displaystyle 0\to (\wedge ^{r}E)^{*}\to (\wedge ^{r-1}E)^{*}\to \cdots \to (\wedge ^{2}E)^{*}\to (\wedge ^{1}E)^{*}\to R\to 0}$.

Использование изоморфизма ${\displaystyle \wedge ^{k}E\simeq (\wedge ^{r-k}E)^{*}\simeq \wedge ^{r-k}(E^{*})}$, комплекс ${\displaystyle (\wedge E,l_{e})}$ совпадает с комплексом Кошуля в #Определение.

Использовать

Комплекс Кошуля важен для определения совместного спектра набора коммутирующих ограниченные линейные операторы в Банахово пространство.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

• Комплекс Кошуля – Тейт
• Сизигий (математика)

Примечания

1. Действительно, в силу линейности можно считать ${\displaystyle (x,y)=(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}\in \wedge ^{k}(E\oplus R)}$ куда ${\displaystyle R\simeq R\epsilon \subset E\oplus R}$. потом

   ${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(s(e_{1})+t)e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}+\sum _{i=2}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots {\widehat {e_{i}}}\cdots \wedge e_{k}}$,

   который ${\displaystyle (d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)}$.
2. Мацумура, Теорема 16.5. (я) ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMatsumura (помощь)
3. Эйзенбуд, Упражнение 17.10. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEisenbud (помощь)
4. Серр, Глава IV, A § 2, предложение 4. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFSerre (помощь)
5. Мацумура, Теорема 16.5. (ii) ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMatsumura (помощь)

Рекомендации

• Дэвид Эйзенбуд, Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, том 150, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1995. ISBN  0-387-94268-8
• Уильям Фултон (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, МИСТЕР  1644323
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец, Кембриджские исследования в области высшей математики (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-36764-6
• Серр, Жан-Пьер (1975), Язык Algèbre, Multiplicités, Cours au Collège de France, 1957–1958, rédigé par Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Конспект лекций по математике (на французском языке), 11, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag

внешняя ссылка

• Мелвин Хохстер, Math 711: Лекция 3 октября 2007 г. (особенно в самой последней части).