Плоский морфизм - Flat morphism

В математика, в частности в теории схемы в алгебраическая геометрия, а плоский морфизм ж из схемы Икс к схеме Y - морфизм такой, что индуцированное отображение на каждом стебель - плоское отображение колец, т. е.

${\displaystyle f_{P}:{\mathcal {O}}_{Y,f(P)}\to {\mathcal {O}}_{X,P}}$

это плоская карта для всех п в Икс.^[1] Карта колец А → B называется плоский если это гомоморфизм, который делает B а плоский А-модуль. Морфизм схем называется точно плоский если он одновременно сюръективный и плоский.^[2]

Две основные интуиции относительно плоских морфизмов:

• плоскостность - это родовое свойство; и
• нарушение плоскостности происходит на прыгающей установке морфизма.

Первый из них исходит от коммутативная алгебра: при условии некоторых условия конечности на ж, можно показать, что существует непустая открытая подсхема Y' из Y, так что ж ограниченный Y′ - плоский морфизм (общая плоскостность ). Здесь «ограничение» интерпретируется с помощью волокнистое изделие схем, применительно к ж и карта включения из Y' в Y.

Во-вторых, идея состоит в том, что морфизмы в алгебраической геометрии могут демонстрировать разрывы такого рода, которые обнаруживаются по плоскостности. Например, операция дует в бирациональная геометрия из алгебраическая поверхность, может дать сингл волокно то есть размерности 1, когда все остальные имеют размерность 0. Оказывается (ретроспективно), что плоскостность морфизмов напрямую связана с контролем этого вида полунепрерывность, или односторонний прыжок.

Плоские морфизмы используются для определения (более одной версии) плоские топы, и плоские когомологии связок из него. Это глубокая теория, с которой нелегко справиться. Концепция чего-либо этальный морфизм (и так этальные когомологии ) зависит от концепции плоского морфизма: этальный морфизм является плоским, конечным типом и неразветвленный.

Примеры / не примеры

Рассмотрим аффинную схему

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

индуцированный очевидным морфизмом алгебр

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} [t]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\\t\mapsto t\\\end{cases}}}$

Поскольку доказательство плоскостности этого морфизма сводится к вычислению^[3]

${\displaystyle {\text{Tor}}_{1}^{\mathbb {C} [t]}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}},\mathbb {C} \right),}$

мы разрешаем комплексные числа

${\displaystyle {\begin{array}{lcccc}0&\to &\mathbb {C} [t]&{\xrightarrow {\cdot t}}&\mathbb {C} [t]&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &\mathbb {C} &\to &0\\\end{array}}}$

а тензор - модулем, представляющим нашу схему, дающую последовательность ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$-модули

${\displaystyle 0\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}{\xrightarrow {\cdot t}}{\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\to 0}$

Потому что т это не делитель нуля у нас есть тривиальное ядро, поэтому группа гомологий равна нулю.

Другие примеры плоских морфизмов можно найти с помощью «чудо-плоскостности».^[4] в котором говорится, что если у вас есть морфизм ${\displaystyle f:X\to Y}$ между схемой когена-маколея и регулярной схемой с равноразмерными волокнами, то она плоская. Простые примеры этого: эллиптические расслоения, гладкие морфизмы и морфизмы в стратифицированные сорта которые удовлетворяют чудо-плоскостности на каждом из слоев.

Простой не пример плоского морфизма: ${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[x]/(x^{2})\to k.}$ Это потому, что если мы вычислим ${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k,}$ мы должны принять плоское разрешение k,

${\displaystyle \cdots ~{\xrightarrow {{\overset {}{\cdot }}\varepsilon }}~k[\varepsilon ]~{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}~k[\varepsilon ]{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}k[\varepsilon ]\to k}$

и тензорное разрешение с k, мы находим, что

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k\simeq \bigoplus _{i=0}^{\infty }k[+i]}$

показывая, что морфизм не может быть плоским. Другой не пример плоского морфизма - это Взрывать поскольку плоский морфизм обязательно имеет равномерные слои.

Свойства плоских морфизмов

Позволять ж : Икс → Y быть морфизмом схем. Для морфизма грамм : Y′ → Y, позволять Икс′ = Икс ×_Y Y′ и ж′ = (ж, 1_Y′) : Икс′ → Y′. ж плоский тогда и только тогда, когда для каждого грамм, откат ${\displaystyle f'^{*}}$ является точным функтором из категории квазикогерентных ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y'}}$-модули в категорию квазикогерентных ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X'}}$-модули.^[5]

Предполагать ж : Икс → Y и грамм : Y → Z морфизмы схем и ж квартира на Икс в Икс. потом грамм квартира на ж(Икс) если и только если gf квартира на Икс.^[6] В частности, если ж точно плоский, то грамм плоский или точно плоский тогда и только тогда, когда gf плоский или точно плоский соответственно.^[7]

Основные свойства

• Композиция двух плоских морфизмов плоская.^[8]
• Послойное произведение двух плоских или строго плоских морфизмов является соответственно плоским или строго плоским морфизмом.^[9]
• Плоскостность и точная плоскостность сохраняются за счет изменения базы: если ж плоский или точно плоский и грамм : Y′ → Y, то волокнистый продукт ж × грамм : Икс ×_Y Y′ → Y′ плоский или точно плоский соответственно.^[10]
• Множество точек, где морфизм (локально конечного представления) плоский, открыто.^[11]
• Если ж точно плоский и конечного представления, и если gf конечного типа или конечного представления, то грамм имеет конечный тип или конечное представление соответственно.^[12]

Предполагать ж: Икс → Y плоский морфизм схем.

• Если F является квазикогерентным пучком конечного представления на Y (в частности, если F когерентно), а если J является аннигилятором F на Y, тогда ${\displaystyle f^{*}J\to {\mathcal {O}}_{X}}$, откат карты включения, является инъекцией, а изображение ${\displaystyle f^{*}J}$ в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ является аннигилятором ${\displaystyle f^{*}F}$ на Икс.^[13]
• Если ж точно плоский и если грамм является квазикогерентным ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-module, затем карта отката в глобальных разделах ${\displaystyle \Gamma (Y,G)\to \Gamma (X,f^{*}G)}$ инъективно.^[14]

Предполагать час : S′ → S плоский. Позволять Икс и Y быть S-схемы, и пусть Икс' и Y′ Быть их базовым изменением на час.

• Если ж : Икс → Y квазикомпактен и доминантен, то его замена базы ж′ : Икс′ → Y′ квазикомпактный и доминирующий.^[15]
• Если час точно плоский, то карта отката Hom_S(Икс, Y) → Hom_S′(Икс′, Y′) инъективно.^[16]
• Предполагать ж : Икс → Y квазикомпактен и квази разделен. Позволять Z быть закрытым образом Икс, и разреши j : Z → Y быть канонической инъекцией. Тогда замкнутая подсхема, определяемая заменой базы j′ : Z′ → Y′ это закрытый образ Икс′.^[17]

Топологические свойства

Если ж : Икс → Y плоский, то он обладает всеми следующими свойствами:

• За каждую точку Икс из Икс и каждое обобщение у' из у = ж(Икс), есть обобщение Икс' из Икс такой, что у′ = ж(Икс′).^[18]
• За каждую точку Икс из Икс, ${\displaystyle f(\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{X,x})=\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}$.^[19]
• Для каждого неприводимого замкнутого подмножества Y' из Y, каждая неприводимая компонента ж⁻¹(Y′) Доминирует Y′.^[20]
• Если Z и Z′ - два неприводимых замкнутых подмножества Y с Z содержалась в Z′, То для любой неприводимой компоненты Т из ж⁻¹(Z) существует неприводимая компонента Т' из ж⁻¹(Z′) Содержащий Т.^[21]
• Для каждого неприводимого компонента Т из Икс, закрытие ж(Т) - неприводимая компонента Y.^[22]
• Если Y неприводимо с общей точкой у, и если ж⁻¹(у) неприводимо, то Икс неприводимо.^[23]
• Если ж также замкнут, образ каждой связной компоненты Икс компонент связности Y.^[24]
• Для каждого про-конструктивного подмножества Z из Y, ${\displaystyle f^{-1}({\bar {Z}})={\overline {f^{-1}(Z)}}}$.^[25]

Если ж плоская и локально конечного представления, то ж открыта повсеместно.^[26] Однако если ж точно плоский и квазикомпактный, в общем случае неверно, что ж открыто, даже если Икс и Y нётерские.^[27] Более того, обратное к этому утверждению не имеет места: если ж - каноническое отображение из приведенной схемы Икс_{красный} к Икс, тогда ж является универсальным гомеоморфизмом, но для Икс несокращенный и нётерский, ж никогда не бывает плоским.^[28]

Если ж : Икс → Y точно плоский, то:

• Топология на Y фактор-топология относительно ж.^[29]
• Если ж также квазикомпактен, и если Z это подмножество Y, тогда Z является локально замкнутым про-конструктивным подмножеством Y если и только если ж⁻¹(Z) является локально замкнутым про-конструктивным подмножеством Икс.^[30]

Если ж плоский и локально конечного представления, то для каждого из следующих свойств п, множество точек, где ж имеет п открыт:^[31]

• Состояние Серра S_k (для любых фиксированных k).
• Геометрически правильная.
• Геометрически нормально.

Если вдобавок ж правильно, то то же самое верно для каждого из следующих свойств:^[32]

• Геометрически уменьшено.
• Геометрически уменьшенная и имеющая k геометрические компоненты связности (для любых фиксированных k).
• Геометрически цельный.

Плоскостность и размер

Предполагать Икс и Y являются локально нётерскими, и пусть ж : Икс → Y.

• Позволять Икс быть точкой Икс и у = ж(Икс). Если ж плоский, то тусклый_Икс Икс = тусклый_у Y + тусклый_Икс ж⁻¹(у).^[33] Наоборот, если это равенство выполняется для всех Икс, Икс является Коэн – Маколей, и Y является обычный, и, кроме того, f переводит замкнутые точки в замкнутые, то ж плоский.^[34]
• Если ж строго плоский, то для каждого замкнутого подмножества Z из Y, codim_Y(Z) = codim_Икс(ж⁻¹(Z)).^[35]
• Предполагать ж плоский и F является квазикогерентным модулем над Y. Если F имеет проективную размерность не более п, тогда ${\displaystyle f^{*}F}$ имеет проективную размерность не более п.^[36]

Свойства спуска

• Предполагать ж квартира на Икс в Икс. Если Икс снижается или нормализуется при Икс, тогда Y снижается или нормальна соответственно при ж(Икс).^[37] Наоборот, если ж также имеет конечное представление и ж⁻¹(у) редуцирована или нормальна соответственно при Икс, тогда Икс снижается или нормальна соответственно при Икс.^[38]
• В частности, если ж точно плоский, то Икс уменьшенный или нормальный означает, что Y снижена или нормальна соответственно. Если ж точно плоский и конечного представления, то все слои ж уменьшенный или нормальный означает, что Икс понижен или нормален соответственно.
• Если ж квартира на Икс в Икс, и если Икс целое или целозамкнутое в Икс, тогда Y целочисленно или целозамкнуто соответственно при ж(Икс).^[39]
• Если ж точно плоский, Икс является локально целым, а топологическое пространство Y локально нетерово, то Y является локально целым.^[40]
• Если ж точно плоский и квазикомпактный, и если Икс локально нетерово, то Y также локально нётерский.^[41]
• Предполагать ж плоский и Икс и Y являются местно нётерскими. Если Икс регулярно в Икс, тогда Y регулярно в ж(Икс). Наоборот, если Y регулярно в ж(Икс) и ж⁻¹(ж(Икс)) регулярна при Икс, тогда Икс регулярно в Икс.^[42]
• Предполагать ж плоский и Икс и Y являются местно нётерскими. Если Икс нормально в Икс, тогда Y нормально в ж(Икс). Наоборот, если Y нормально в ж(Икс) и ж⁻¹(ж(Икс)) нормально при Икс, тогда Икс нормально в Икс.^[43]

Позволять грамм : Y′ → Y быть абсолютно плоским. Позволять F быть квазикогерентным пучком на Y, и разреши F'Быть откатом F к Y′. потом F плоский Y если и только если F'Плоский над Y′.^[44]

Предполагать ж абсолютно плоский и квазикомпактный. Позволять грамм быть квазикогерентным пучком на Y, и разреши F обозначить его откат к Икс. потом F конечного типа, конечного представления или локально не имеющего ранга п если и только если грамм обладает соответствующим свойством.^[45]

Предполагать ж : Икс → Y является S-морфизм S-схемы. Позволять грамм : S′ → S быть абсолютно плоским и квазикомпактным, и пусть Икс′, Y', и ж′ Обозначим замену базы через грамм. Затем для каждого из следующих свойств п, если ж' имеет п, тогда ж имеет п.^[46]

• Открыть.
• Закрыто.
• Квазикомпактный и гомеоморфизм на его образ.
• Гомеоморфизм.

Кроме того, для каждого из следующих свойств п, ж имеет п если и только если ж' имеет п.^[47]

• Универсально открытый.
• Универсально закрытый.
• Универсальный гомеоморфизм.
• Квазикомпактный.
• Квазикомпактный и доминирующий.
• Квазикомпактный и универсально бинепрерывный.
• Отдельно.
• Квази-разделенные.
• Локально конечного типа.
• Локально конечного представления.
• Конечный тип.
• Конечное представление.
• Правильный.
• Изоморфизм.
• Мономорфизм.
• Открытое погружение.
• Квазикомпактное погружение.
• Закрытое погружение.
• Аффинный.
• Квазиаффинный.
• Конечное.
• Квазиконечный.
• Интеграл.

Это возможно для ж′ Быть локальным изоморфизмом без ж даже местное погружение.^[48]

Если ж квазикомпактен и L является обратимым пучком на Икс, тогда L является ж-пример или ж-очень обильно, если и только если его откат L' является ж′ -Пример или ж′ -Очень обильные соответственно.^[49] Однако неверно, что ж проективен тогда и только тогда, когда ж′ Проективен. Неправда даже, что если ж правильно и ж′ Проективен, то ж квазипроективно, потому что возможно ж′ -Выборочный пучок на Икс'Который не спускается к Икс.^[50]

Смотрите также

• морфизм fpqc
• Относительный эффективный делитель Картье, пример плоского морфизма
• Вырождение (алгебраическая геометрия)

Примечания

1. EGA IV₂, 2.1.1.
2. EGA 0_я, 6.7.8.
3. Сернези, Э. (2010). Деформации алгебраических схем. Springer. стр.269 –279.
4. «Плоские морфизмы и плоскостность».
5. EGA IV₂, Предложение 2.1.3.
6. EGA IV₂, Венчик 2.2.11 (iv).
7. EGA IV₂, Венчик 2.2.13 (iii).
8. EGA IV₂, Corollaire 2.1.6.
9. EGA IV₂, Corollaire 2.1.7 и EGA IV₂, Венчик 2.2.13 (ii).
10. EGA IV₂, Предложение 2.1.4 и EGA IV₂, Венчик 2.2.13 (i).
11. EGA IV₃, Теорема 11.3.1.
12. EGA IV₃, Предложение 11.3.16.
13. EGA IV₂, Предложение 2.1.11.
14. EGA IV₂, Corollaire 2.2.8.
15. EGA IV₂, Предложение 2.3.7 (i).
16. EGA IV₂, Corollaire 2.2.16.
17. EGA IV₂, Предложение 2.3.2.
18. EGA IV₂, Предложение 2.3.4 (i).
19. EGA IV₂, Предложение 2.3.4 (ii).
20. EGA IV₂, Предложение 2.3.4 (iii).
21. EGA IV₂, Венчик 2.3.5 (i).
22. EGA IV₂, Венчик 2.3.5 (ii).
23. EGA IV₂, Венчик 2.3.5 (iii).
24. EGA IV₂, Предложение 2.3.6 (ii).
25. EGA IV₂, Теорема 2.3.10.
26. EGA IV₂, Теорема 2.4.6.
27. EGA IV₂, Замечания 2.4.8 (i).
28. EGA IV₂, Замечания 2.4.8 (ii).
29. EGA IV₂, Corollaire 2.3.12.
30. EGA IV₂, Corollaire 2.3.14.
31. EGA IV₃, Теорема 12.1.6.
32. EGA IV₃, Теорема 12.2.4.
33. EGA IV₂, Corollaire 6.1.2.
34. EGA IV₂, Предложение 6.1.5. Отметим, что предположение регулярности Y здесь важно. Расширение ${\displaystyle \mathbb {C} [x^{2},y^{2},xy]\subset \mathbb {C} [x,y]}$ дает контрпример с Икс обычный, Y нормальный, ж конечный сюръективный, но не плоский.
35. EGA IV₂, Corollaire 6.1.4.
36. EGA IV₂, Corollaire 6.2.2.
37. EGA IV₂, Предложение 2.1.13.
38. EGA IV₃, Предложение 11.3.13.
39. EGA IV₂, Предложение 2.1.13.
40. EGA IV₂, Предложение 2.1.14.
41. EGA IV₂, Предложение 2.2.14.
42. EGA IV₂, Corollaire 6.5.2.
43. EGA IV₂, Corollaire 6.5.4.
44. EGA IV₂, Предложение 2.5.1.
45. EGA IV₂, Предложение 2.5.2.
46. EGA IV₂, Предложение 2.6.2.
47. EGA IV₂, Corollaire 2.6.4 и предложение 2.7.1.
48. EGA IV₂, Замечания 2.7.3 (iii).
49. EGA IV₂, Corollaire 2.7.2.
50. EGA IV₂, Замечания 2.7.3 (ii).

Рекомендации

• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94268-1, МИСТЕР  1322960, ISBN  978-0-387-94269-8, раздел 6.
• Серр, Жан-Пьер (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique", Annales de l'Institut Fourier, 6: 1–42, Дои:10.5802 / aif.59, ISSN  0373-0956, МИСТЕР  0082175
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 4. Дои:10.1007 / bf02684778. МИСТЕР  0217083.
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 24. Дои:10.1007 / bf02684322. МИСТЕР  0199181.
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 28. Дои:10.1007 / bf02684343. МИСТЕР  0217086.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157