Вырождение (алгебраическая геометрия) - Degeneration (algebraic geometry)

В алгебраической геометрии a вырождение (или специализация) является актом взятия предела семейства разновидностей. Точно, учитывая морфизм

${\displaystyle \pi :{\mathcal {X}}\to C,}$

разновидности (или схемы) в кривую C с началом 0 (например, аффинная или проективная прямая), слои

${\displaystyle \pi ^{-1}(t)}$

сформировать семейство разновидностей более C. Тогда волокно ${\displaystyle \pi ^{-1}(0)}$ можно рассматривать как предел ${\displaystyle \pi ^{-1}(t)}$ так как ${\displaystyle t\to 0}$. Затем говорят, что семья ${\displaystyle \pi ^{-1}(t),t\neq 0}$ вырождается к особый волокно ${\displaystyle \pi ^{-1}(0)}$. Процесс ограничения хорошо себя ведет, когда ${\displaystyle \pi }$ это плоский морфизм и в этом случае вырождение называется плоская дегенерация. Многие авторы считают вырождения плоскими.

Когда семья ${\displaystyle \pi ^{-1}(t)}$ тривиален вдали от специального волокна; т.е. ${\displaystyle \pi ^{-1}(t)}$ не зависит от ${\displaystyle t\neq 0}$ с точностью до (когерентных) изоморфизмов, ${\displaystyle \pi ^{-1}(t),t\neq 0}$ называется общим слоем.

Вырождения кривых

При изучении модули кривых, важным моментом является понимание границ модулей, что составляет понимание вырождения кривых.

Устойчивость инвариантов

Управляемость специализируется. Точно, теорема Мацусака говорит

Позволять Икс быть нормальный несводимый проективная схема над дискретным оценочным кольцом. Если общий слой является линейчатым, то каждая неприводимая компонента специального слоя также является линейчатой.

Бесконечно малые деформации

Позволять D = k[ε] быть кольцо двойных чисел над полем k и Y схема конечного типа над k. Учитывая закрытую подсхему Икс из Yпо определению вложенная инфинитезимальная деформация первого порядка из Икс закрытая подсхема Икс' из Y ×_{Спецификация (k)} Спецификация (D) такая, что проекция Икс' → СпецификацияD плоский и имеет Икс как специальное волокно.

Если Y = Спецификация А и Икс = Спецификация (А/я) являются аффинными, то вложенная бесконечно малая деформация составляет идеал я' из А[ε] такой, что А[ε]/ я' плоский D и образ я' в А = А[ε]/ε является я.

В общем, учитывая точечную схему (S, 0) и схему Икс, морфизм схем π: Икс' → S называется деформация схемы Икс если он плоский и его слой над отмеченной точкой 0 S является Икс. Таким образом, данное понятие является частным случаем, когда S = Спецификация D и есть некоторый выбор встраивания.

Смотрите также

• теория деформации
• дифференциальная градуированная алгебра Ли
• Карта Кодаира – Спенсер
• Расщепление Фробениуса
• Относительный эффективный делитель Картье

использованная литература

• М. Артин, Лекции о деформациях особенностей - Институт фундаментальных исследований Тата, 1976 г.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, Г-Н  0463157
• Э. Сернези: Деформации алгебраических схем
• М. Гросс, М. Зиберт, Приглашение к торическим дегенерациям
• М. Концевич, Ю. Сойбельман: Аффинные структуры и неархимедовы аналитические пространства, в: Единство математики (П. Этингоф, В. Ретах, И. М. Зингер, ред.), 321–385, Прогр. Математика. 244, Birkh auser 2006.
• Карен Е. Смит, Исчезновение, особенности и эффективные границы с помощью простой характеристической локальной алгебры.
• В. Алексеев, гл. Биркенхак, К. Хьюлек, Вырождение разновидностей Прима, J. ​​Reine Angew. Математика. 553 (2002), 73–116.

внешние ссылки

• http://mathoverflow.net/questions/88552/when-do-infinitesimal-deformations-lift-to-global-deformations