Дифференциальная градуированная алгебра Ли - Differential graded Lie algebra

В математика, особенно абстрактная алгебра и топология, а дифференциальная градуированная алгебра Ли (или же dg алгебра Ли, или же dgla) это градуированное векторное пространство с добавленным Алгебра Ли и цепной комплекс структуры, которые совместимы. Такие объекты находят применение в теория деформации^[1] и теория рациональной гомотопии.

Определение

А дифференциальная градуированная алгебра Ли это градуированное векторное пространство ${ Displaystyle L = bigoplus L_ {i}}$ над полем нулевой характеристики вместе с билинейным отображением ${ displaystyle [ cdot, cdot] двоеточие L_ {i} otimes L_ {j} to L_ {i + j}}$ и дифференциал ${ displaystyle d: L_ {i} to L_ {i-1}}$ удовлетворение

{ Displaystyle [х, у] = (- 1) ^ {| х || у | +1} [у, х],}

оцененный Личность Якоби:

{ displaystyle (-1) ^ {| x || z |} [x, [y, z]] + (- 1) ^ {| y || x |} [y, [z, x]] + ( -1) ^ {| z || y |} [z, [x, y]] = 0,}

и градуированное правило Лейбница:

{ displaystyle d [x, y] = [dx, y] + (- 1) ^ {| x |} [x, dy]}

для любых однородных элементов Икс, у и z в L. Обратите внимание, что дифференциал понижает степень, и поэтому эта дифференциальная градуированная алгебра Ли считается гомологически градуированной. Если вместо дифференциальной повышенной степени дифференциальная градуированная алгебра Ли называется когомологически градуированной (обычно, чтобы усилить этот момент, градуировка записывается в верхнем индексе: ${ displaystyle L ^ {i}}$ ). Выбор когомологической классификации обычно зависит от личных предпочтений или ситуации, поскольку они эквивалентны: гомологически градуированное пространство можно превратить в когомологическое через установку ${ Displaystyle L ^ {я} = L _ {- я}}$ .

Альтернативные эквивалентные определения дифференциальной градуированной алгебры Ли включают:

объект алгебры Ли, внутренний по отношению к категории цепных комплексов;
строгий ${ displaystyle L _ { infty}}$ -алгебра.

Морфизм дифференциальных градуированных алгебр Ли - это линейное градуированное отображение ${ displaystyle f: L to L ^ { prime}}$ который коммутирует со скобкой и дифференциалом, т. е. ${ displaystyle f [x, y] _ {L} = [f (x), f (y)] _ {L ^ { prime}}}$ и ${ displaystyle f (d_ {L} x) = d_ {L ^ { prime}} f (x)}$ . Дифференциальные градуированные алгебры Ли и их морфизмы определяют категория.

Продукты и сопутствующие товары

В товар двух дифференциальных градуированных алгебр Ли, ${ Displaystyle L раз L ^ { prime}}$ , определяется следующим образом: возьмите прямую сумму двух градуированных векторных пространств ${ Displaystyle L oplus L ^ { prime}}$ , теперь оснастите его кронштейном ${ Displaystyle [(х, х ^ { простое}), (у, у ^ { простое})] = ([х, у], [х ^ { простое}, у ^ { простое}]) }$ и дифференциал ${ Displaystyle D (х, х ^ { простое}) = (dx, d ^ { простое} х ^ { простое})}$ .

В сопродукт двух дифференциальных градуированных алгебр Ли, ${ Displaystyle L * L ^ { prime}}$ , часто называют бесплатным продуктом. Она определяется как свободная градуированная алгебра Ли на двух основных векторных пространствах с единственным дифференциалом, расширяющим два исходных.

Связь с теорией деформации

Основное приложение для теория деформации над поля нулевой характеристики (в частности, над комплексными числами). Идея восходит к Дэниел Квиллен работает над теория рациональной гомотопии. Один из способов сформулировать этот тезис (в связи с Владимир Дринфельд, Борис Фейгин, Пьер Делинь, Максим Концевич, и другие) могут быть:^[1]

Любая разумная формальная задача деформации в нулевой характеристике может быть описана элементами Маурера – Картана соответствующей дифференциальной градуированной алгебры Ли.

Элемент Маурера-Картана - это степень ${ displaystyle -1}$ элемент, ${ Displaystyle х в L _ {- 1}}$ , это решение Уравнение Маурера – Картана:

{ displaystyle dx + { frac {1} {2}} [x, x] = 0.}

Смотрите также

дальнейшее чтение

Джейкоб Лурье, Формальные проблемы модулей, раздел 2.1

внешняя ссылка

[Hinich1998-1] а ^б Хинич, Владимир (2001). «Коалгебры DG как формальные стеки». Журнал чистой и прикладной алгебры. 162 (2–3): 209–250. arXiv:математика / 9812034. Дои:10.1016 / S0022-4049 (00) 00121-3. МИСТЕР 1843805. S2CID 15720862.

[1]