Теория рациональной гомотопии - Rational homotopy theory

В математика и особенно в топология, теория рациональной гомотопии это упрощенная версия теория гомотопии за топологические пространства, в котором все кручение в гомотопические группы игнорируется. Он был основан Деннис Салливан  (1977 ) и Дэниел Квиллен  (1969 ). Такое упрощение теории гомотопий значительно упрощает вычисления.

Рациональные гомотопические типы односвязные пространства можно отождествить с (классами изоморфизма) некоторых алгебраических объектов, называемых минимальными моделями Салливана, которые являются коммутативными дифференциальные градуированные алгебры над рациональное число удовлетворяющие определенным условиям.

Геометрическим приложением была теорема Салливана и Мишлен Виге-Пуарье (1976): каждая односвязная закрыто Риманово многообразие Икс кольцо рациональных когомологий которого не порождается одним элементом, имеет бесконечно много геометрически различных закрытые геодезические.^[1] Доказательство использовало теорию рациональной гомотопии, чтобы показать, что Бетти числа из свободное пространство петли из Икс безграничны. Тогда теорема следует из результата 1969 г. Детлеф Громоль и Вольфганг Майер.

Рациональные пространства

А непрерывная карта ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ из односвязный топологические пространства называется рациональная гомотопическая эквивалентность если это вызывает изоморфизм на гомотопические группы натянутый с рациональными числами ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Эквивалентно: ж является рациональной гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда она индуцирует изоморфизм на особые гомологии группы с рациональными коэффициентами.^[2] В рациональная гомотопическая категория (односвязных пространств) определяется как локализация из категория односвязных пространств относительно рациональных гомотопических эквивалентностей. Цель теории рациональной гомотопии - понять эту категорию. То есть, если объявить все рациональные гомотопические эквивалентности изоморфизмами, сколько информации останется?

Один из основных результатов состоит в том, что рациональная гомотопическая категория эквивалент к полная подкатегория из гомотопическая категория топологических пространств, подкатегория рациональных пространств. По определению рациональное пространство односвязный CW комплекс все гомотопические группы которых векторные пространства над рациональными числами. Для любого односвязного комплекса CW ${\displaystyle X}$, есть рациональное пространство ${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$, уникальный до гомотопическая эквивалентность, с картой ${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$ который индуцирует изоморфизм на гомотопических группах, тензорных с рациональными числами.^[3] Космос ${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$ называется рационализация из ${\displaystyle X}$. Это частный случай конструкции Салливана локализация пространства в заданном наборе простые числа.

Можно получить эквивалентные определения с использованием гомологии, а не гомотопических групп. А именно, односвязный комплекс CW ${\displaystyle X}$ является рациональным пространством тогда и только тогда, когда его группы гомологий ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$ рациональные векторные пространства для всех ${\displaystyle i>0}$.^[4] Рационализация односвязного комплекса CW ${\displaystyle X}$ это уникальное рациональное пространство ${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$ (с точностью до гомотопической эквивалентности) с отображением ${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$ что индуцирует изоморфизм на рациональных гомологиях. Таким образом, есть

${\displaystyle \pi _{i}(X_{\mathbb {Q} })\cong \pi _{i}(X)\otimes {\mathbb {Q} }}$

и

${\displaystyle H_{i}(X_{\mathbb {Q} },{\mathbb {Z} })\cong H_{i}(X,{\mathbb {Z} })\otimes {\mathbb {Q} }\cong H_{i}(X,{\mathbb {Q} })}$

для всех ${\displaystyle i>0}$.

Эти результаты для односвязных пространств с небольшими изменениями распространяются на нильпотентные пространства (пространства, чьи фундаментальная группа является нильпотентный и действует нильпотентно на высших гомотопических группах).

Вычисление гомотопические группы сфер является центральной открытой проблемой в теории гомотопий. Тем не менее рациональный гомотопические группы сфер вычислялись Жан-Пьер Серр в 1951 г .:

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2a-1})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{if }}i=2a-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

и

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2a})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{if }}i=2a{\text{ or }}i=4a-1\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Это предполагает возможность описания всей рациональной гомотопической категории практически вычислимым способом. Теория рациональной гомотопии во многом достигла этой цели.

В теории гомотопии сферы и Пространства Эйленберга – Маклейна это два очень разных типа основных пространств, из которых могут быть построены все пространства. В теории рациональной гомотопии эти два типа пространств становятся намного ближе. В частности, из расчета Серра следует, что ${\displaystyle S_{\mathbb {Q} }^{2a-1}}$ - пространство Эйленберга – Маклейна ${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,2a-1)}$. В общем, пусть Икс - любое пространство, кольцо рациональных когомологий которого является свободным градуированный коммутативный алгебра (а тензорное произведение из кольцо многочленов на генераторах четной степени и внешняя алгебра на образующих нечетной степени). Тогда рационализация ${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$ это товар пространств Эйленберга – Маклейна. Гипотеза о кольце когомологий применима к любому компактная группа Ли (или вообще любой пространство петли ).^[5] Например, для унитарной группы SU (п),

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)_{\mathbb {Q} }\simeq S_{\mathbb {Q} }^{3}\times S_{\mathbb {Q} }^{5}\times \cdots \times S_{\mathbb {Q} }^{2n-1}.}$

Кольцо когомологий и гомотопическая алгебра Ли

Есть два основных инварианта пространства Икс в категории рациональных гомотопий: рациональные когомология звенеть ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Q} )}$ и гомотопическая алгебра Ли ${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} }$. Рациональные когомологии - это градуированная коммутативная алгебра над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, а гомотопические группы образуют градуированная алгебра Ли через Продукт от белых угрей. (Точнее, написание ${\displaystyle \Omega X}$ для петлевого пространства Иксу нас есть это ${\displaystyle \pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} }$ является градуированной алгеброй Ли над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Ввиду изоморфизма ${\displaystyle \pi _{i}(X)\cong \pi _{i-1}(\Omega X)}$, это просто сдвигает градуировку на 1.) Например, приведенная выше теорема Серра гласит, что ${\displaystyle \pi _{*}(\Omega S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$ это свободный градуированная алгебра Ли на одной образующей степени ${\displaystyle n-1}$.

Другой способ думать о гомотопической алгебре Ли состоит в том, что гомологии пространства петель Икс это универсальная обертывающая алгебра гомотопической алгебры Ли:^[6]

${\displaystyle H_{*}(\Omega X,{\mathbb {Q} })\cong U(\pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} ).}$

Наоборот, можно восстановить рациональную гомотопическую алгебру Ли по гомологиям пространства петель как подпространства примитивные элементы в Алгебра Хопфа ${\displaystyle H_{*}(\Omega S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$.^[7]

Центральный результат теории состоит в том, что рациональная гомотопическая категория может быть описана чисто алгебраическим способом; фактически, двумя разными алгебраическими способами. Во-первых, Квиллен показал, что рациональная гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории связных дифференциальные градуированные алгебры Ли. (Ассоциированная градуированная алгебра Ли ${\displaystyle \ker(d)/\operatorname {im} (d)}$ является гомотопической алгеброй Ли.) Во-вторых, Квиллен показал, что рациональная гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории односвязных дифференциальных градуированных кокоммутативных коалгебры.^[8] (Ассоциированная коалгебра - это рациональные гомологии Икс как коалгебра; то двойное векторное пространство - кольцо рациональных когомологий.) Эти эквивалентности были одними из первых приложений теории Квиллена категории моделей.

В частности, из второго описания следует, что для любой градуированно-коммутативной ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-алгебра А формы

${\displaystyle A=\mathbb {Q} \oplus A^{2}\oplus A^{3}\oplus \cdots ,}$

с каждым векторным пространством ${\displaystyle A^{i}}$ конечной размерности существует односвязное пространство Икс кольцо рациональных когомологий изоморфно А. (Напротив, существует много не полностью понятых ограничений на интеграл или мод п кольца когомологий топологических пространств для простых чисел п.) В том же духе Салливан показал, что любая градуированно-коммутативная ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-алгебра с ${\displaystyle A^{1}=0}$ это удовлетворяет Двойственность Пуанкаре кольцо когомологий односвязного гладкий закрытый коллектор, за исключением размера 4а; в этом случае также необходимо предположить, что спаривание пересечений на ${\displaystyle A^{2a}}$ имеет форму ${\displaystyle \sum \pm x_{i}^{2}}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[9]

Может возникнуть вопрос, как пройти между двумя алгебраическими описаниями рациональной гомотопической категории. Короче говоря, алгебра Ли определяет градуированно-коммутативную алгебру с помощью Когомологии алгебры Ли, и дополненный коммутативная алгебра определяет градуированную алгебру Ли редуцированной Когомологии Андре – Квиллена. В более общем плане существуют варианты этих конструкций для дифференциальных градуированных алгебр. Эта двойственность между коммутативными алгебрами и алгебрами Ли является версией Кошульская двойственность.

Алгебры Салливана

Для пространств, рациональные гомологии которых в каждой степени имеют конечную размерность, Салливан классифицировал все рациональные гомотопические типы в терминах более простых алгебраических объектов, алгебр Салливана. По определению Салливана алгебра коммутативная дифференциальная градуированная алгебра над рациональными числами ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, основной алгеброй которой является свободная коммутативная градуированная алгебра ${\displaystyle \bigwedge (V)}$ в градуированном векторном пространстве

${\displaystyle V=\bigoplus _{n>0}V^{n},}$

удовлетворяющее следующему «условию нильпотентности» на своем дифференциале d: космос V представляет собой объединение возрастающей серии градуированных подпространств, ${\displaystyle V(0)\subseteq V(1)\subseteq \cdots }$, куда ${\displaystyle d=0}$ на ${\displaystyle V(0)}$ и ${\displaystyle d(V(k))}$ содержится в ${\displaystyle \bigwedge (V(k-1))}$. В контексте дифференциальных градуированных алгебр А, «коммутативный» означает градуированно-коммутативный; то есть,

${\displaystyle ab=(-1)^{ij}ba}$

за а в ${\displaystyle A^{i}}$ и б в ${\displaystyle A^{j}}$.

Алгебра Салливана называется минимальный если изображение d содержится в ${\displaystyle \bigwedge ^{+}(V)^{2}}$, куда ${\displaystyle \bigwedge ^{+}(V)}$ является прямой суммой подпространств положительной степени в ${\displaystyle \bigwedge (V)}$.

А Салливан модель для коммутативной дифференциальной градуированной алгебры А является алгеброй Салливана ${\displaystyle \bigwedge (V)}$ с гомоморфизмом ${\displaystyle \bigwedge (V)\to A}$ что индуцирует изоморфизм на когомологиях. Если ${\displaystyle A^{0}=\mathbb {Q} }$, тогда А имеет минимальную модель Салливана, единственную с точностью до изоморфизма. (Предупреждение: минимальная алгебра Салливана с той же алгеброй когомологий, что и А не обязательно должна быть минимальной моделью Салливана для А: также необходимо, чтобы изоморфизм когомологий индуцировался гомоморфизмом дифференциальных градуированных алгебр. Существуют примеры неизоморфных минимальных моделей Салливана с изоморфными алгебрами когомологий.)

Минимальная модель Салливана топологического пространства

Для любого топологического пространства Икс, Салливан определил коммутативную дифференциальную градуированную алгебру ${\displaystyle A_{PL}(X)}$, называемая алгеброй полиномиальные дифференциальные формы на Икс с рациональными коэффициентами. Элемент этой алгебры состоит (примерно) из полиномиальной формы на каждом особом симплексе Икс, совместимый с картами граней и вырождением. Эта алгебра обычно очень большая (неисчислимая размерность), но ее можно заменить алгеброй гораздо меньшего размера. Точнее, любая дифференциальная градуированная алгебра с той же минимальной моделью Салливана, что и ${\displaystyle A_{PL}(X)}$ называется модель для космоса Икс. Когда Икс односвязна, такая модель определяет рациональный гомотопический тип Икс.

К любому односвязному комплексу CW Икс со всеми рациональными группами гомологий конечной размерности существует минимальная модель Салливана ${\displaystyle \bigwedge V}$ за ${\displaystyle A_{PL}(X)}$, обладающий свойством ${\displaystyle V^{1}=0}$ и все ${\displaystyle V^{k}}$ имеют конечную размерность. Это называется Салливан. минимальная модель из Икс; он единственен с точностью до изоморфизма.^[10] Это дает эквивалентность между рациональными гомотопическими типами таких пространств и таких алгебр со свойствами:

• Рациональные когомологии пространства - это когомологии его минимальной модели Салливана.
• Пространства неразложимых в V являются двойниками рациональных гомотопических групп пространства Икс.
• Произведение Уайтхеда на рациональной гомотопии является двойственным к «квадратичной части» дифференциала d.
• Два пространства имеют один и тот же рациональный гомотопический тип тогда и только тогда, когда их минимальные алгебры Салливана изоморфны.
• Есть односвязное пространство Икс соответствующей каждой возможной алгебре Салливана с ${\displaystyle V^{1}=0}$ и все ${\displaystyle V^{k}}$ конечной размерности.

Когда Икс является гладким многообразием, дифференциальная алгебра гладких дифференциальные формы на Икс (в комплекс де Рама ) почти модель для Икс; точнее, это тензорное произведение модели для Икс с реалами и, следовательно, определяет настоящий гомотопический тип. Можно пойти дальше и определить п-полный гомотопический тип из Икс для простого числа п. «Арифметический квадрат» Салливана сводит многие проблемы теории гомотопий к комбинации рационального и п-полная теория гомотопий для всех простых чисел п.^[11]

Построение минимальных моделей Салливана для односвязных пространств распространяется на нильпотентные пространства. Для более общих фундаментальных групп все становится сложнее; например, рациональные гомотопические группы конечного CW-комплекса (такого как клин ${\displaystyle S^{1}\vee S^{2}}$) могут быть бесконечномерными векторными пространствами.

Формальные пространства

Коммутативная дифференциальная градуированная алгебра А, снова с ${\displaystyle A^{0}=\mathbb {Q} }$, называется формальный если А есть модель с исчезающим дифференциалом. Это равносильно требованию, чтобы алгебра когомологий А (рассматриваемая как дифференциальная алгебра с тривиальным дифференциалом) является моделью для А (хотя это не обязательно минимальный модель). Таким образом, рациональный гомотопический тип формального пространства полностью определяется его кольцом когомологий.

Примеры формальных пространств включают сферы, H-пространства, симметричные пространства, и компактный Кэлеровы многообразия.^[12] Формальность сохраняется под изделиями и клин суммы. Для многообразий формальность сохраняется связанные суммы.

С другой стороны, закрытые нильмногообразия почти никогда не бывают формальными: если M - формальное нильмногообразие, то M должен быть тор некоторого измерения.^[13] Простейшим примером неформального нильмногообразия является Многообразие Гейзенберга, частное Группа Гейзенберга вещественных верхнетреугольных матриц 3 × 3 с единицами на диагонали по своей подгруппе матриц с целыми коэффициентами. Закрыто симплектические многообразия не обязательно быть формальным: простейшим примером является многообразие Кодаиры – Терстона (произведение многообразия Гейзенберга на окружность). Существуют также примеры неформальных односвязных симплектических замкнутых многообразий.^[14]

Неформальность часто можно обнаружить по Продукция Massey. Действительно, если дифференциальная градуированная алгебра А формально, то все произведения Масси (более высокого порядка) должны исчезнуть. Обратное неверно: формальность означает, грубо говоря, «равномерное» исчезновение всех продуктов Мэсси. Дополнение Кольца Борромео является неформальным пространством: оно поддерживает нетривиальное тройное произведение Масси.

Примеры

• Если Икс сфера нечетной размерности ${\displaystyle 2n+1>1}$, его минимальная модель Салливана имеет один генератор а степени ${\displaystyle 2n+1}$ с ${\displaystyle da=0}$, и основу из элементов 1, а.
• Если Икс это сфера четного измерения ${\displaystyle 2n>0}$, ее минимальная модель Салливана имеет два генератора а и б степеней ${\displaystyle 2n}$ и ${\displaystyle 4n+1}$, с ${\displaystyle db=a^{2}}$, ${\displaystyle da=0}$, а основа элементов ${\displaystyle 1,a,b\to a^{2}}$, ${\displaystyle ab\to a^{3}}$, ${\displaystyle a^{2}b\to a^{4},\ldots }$, где стрелка указывает действие d.
• Если Икс это сложное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ с ${\displaystyle n>0}$, ее минимальная модель Салливана имеет два генератора ты и Икс степени 2 и ${\displaystyle 2n+1}$, с ${\displaystyle du=0}$ и ${\displaystyle dx=u^{n+1}}$. Имеет основу из элементов ${\displaystyle 1,u,u^{2},\ldots ,u^{n}}$, ${\displaystyle x\to u^{n+1}}$, ${\displaystyle xu\to u^{n+2},\ldots }$.
• Предположим, что V имеет 4 элемента а, б, Икс, у степеней 2, 3, 3 и 4 с дифференциалами ${\displaystyle da=0}$, ${\displaystyle db=0}$, ${\displaystyle dx=a^{2}}$, ${\displaystyle dy=ab}$. Тогда эта алгебра является минимальной алгеброй Салливана, которая не является формальной. Алгебра когомологий имеет нетривиальные компоненты только в размерностях 2, 3, 6, порожденные соответственно а, б, и ${\displaystyle xb-ay}$. Любой гомоморфизм из V в свою алгебру когомологий отобразит у до 0 и Икс в несколько б; так что это будет карта ${\displaystyle xb-ay}$ до 0. Итак V не может быть моделью для своей алгебры когомологий. Соответствующие топологические пространства - это два пространства с изоморфными кольцами рациональных когомологий, но разными рациональными гомотопическими типами. Заметь ${\displaystyle xb-ay}$ находится в продукте Massey ${\displaystyle \langle [a],[a],[b]\rangle }$.

Эллиптические и гиперболические пространства

Теория рациональной гомотопии выявила неожиданную дихотомию между конечными комплексами CW: либо рациональные гомотопические группы равны нулю в достаточно высоких степенях, либо они растут. экспоненциально. А именно пусть Икс - односвязное пространство такое, что ${\displaystyle H_{*}(X,\mathbb {Q} )}$ является конечномерным ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-векторное пространство (например, конечный комплекс CW обладает этим свойством). Определять Икс быть рационально эллиптический если ${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} }$ также является конечномерным ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-векторное пространство, иначе рационально гиперболический. Затем Феликс и Гальперин показали: если Икс рационально гиперболично, то существует действительное число ${\displaystyle C>1}$ и целое число N такой, что

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\dim _{\mathbb {Q} }\pi _{i}(X)\otimes {\mathbb {Q} }\geq C^{n}}$

для всех ${\displaystyle n\geq N}$.^[15]

Например, сферы, сложные проективные пространства и однородные пространства для компактных групп Ли эллиптические. С другой стороны, «большинство» конечных комплексов гиперболичны. Например:

• Кольцо рациональных когомологий эллиптического пространства удовлетворяет двойственности Пуанкаре.^[16]
• Если Икс - эллиптическое пространство, верхняя ненулевая группа рациональных когомологий которого находится в степени п, то каждое число Бетти ${\displaystyle b_{i}(X)}$ самое большее биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\binom {n}{i}}}$ (при равенстве п-мерный тор).^[17]
• В Эйлерова характеристика эллиптического пространства Икс неотрицательно. Если характеристика Эйлера положительна, то все нечетные числа Бетти ${\displaystyle b_{2i+1}(X)}$ равны нулю, а кольцо рациональных когомологий Икс это полное кольцо пересечения.^[18]

На кольцо рациональных когомологий эллиптического пространства существует множество других ограничений.^[19]

Ботт гипотеза предсказывает, что каждое односвязное замкнутое риманово многообразие с неотрицательной секционная кривизна должен быть рационально эллиптическим. О гипотезе известно очень мало, хотя она верна для всех известных примеров таких многообразий.^[20]

Гипотеза Гальперина утверждает, что рациональный Спектральная последовательность Серра расслоения односвязных пространств с рационально эллиптическим слоем ненулевой эйлеровой характеристики исчезает на второй странице.

Односвязный конечный комплекс Икс является рационально эллиптическим тогда и только тогда, когда рациональные гомологии пространства петель ${\displaystyle \Omega X}$ растет не более чем полиномиально. В более общем смысле, Икс называется интегрально эллиптический если мод п гомология ${\displaystyle \Omega X}$ растет не более чем полиномиально для каждого простого числа п. Все известные римановы многообразия с неотрицательной секционной кривизной фактически являются целочисленными эллиптическими.^[21]

Смотрите также

• Теорема Манделла - аналог теории рациональной гомотопии в p-адических постановках
• Теория хроматической гомотопии

Примечания

1. Феликс, Опреа и Танре (2008), теорема 5.13.
2. Феликс, Гальперин и Томас (2001), теорема 8.6.
3. Феликс, Гальперин и Томас (2001), теорема 9.7.
4. Феликс, Гальперин и Томас (2001), теорема 9.3.
5. Феликс, Гальперин и Томас (2001), следствие предложения 16.7.
6. Феликс, Гальперин и Томас (2001), теорема 21.5 (i).
7. Феликс, Гальперин и Томас (2001), теорема 21.5 (iii).
8. Quillen (1969), следствие II.6.2.
9. Салливан (1977), теорема 13.2.
10. Феликс, Гальперин и Томас (2001), Предложение 12.10.
11. May & Ponto (2012), раздел 13.1.
12. Феликс, Опреа и Танре (2008), теорема 4.43.
13. Феликс, Опреа и Танре (2008), замечание 3.21.
14. Феликс, Опреа и Танре (2008), теорема 8.29.
15. Феликс, Гальперин и Томас (2001), теорема 33.2.
16. Феликс, Гальперин и Томас (2001), Предложение 38.3.
17. Павлов (2002), теорема 1.
18. Феликс, Гальперин и Томас (2001), Предложение 32.10.
19. Феликс, Гальперин и Томас (2001), раздел 32.
20. Феликс, Опреа и Танре (2008), гипотеза 6.43.
21. Феликс, Гальперин и Томас (1993), раздел 3.

Рекомендации

• Феликс, Ив; Гальперин, Стивен; Томас, Жан-Клод (1993), "Эллиптические пространства II", L'Enseignement Mathématique, Дои:10.5169 / пломбы-60412, МИСТЕР  1225255
• Феликс, Ив; Гальперин, Стивен; Томас, Жан-Клод (2001), Теория рациональной гомотопии, Нью-Йорк: Springer Nature, Дои:10.1007/978-1-4613-0105-9, ISBN  0-387-95068-0, МИСТЕР  1802847
• Феликс, Ив; Гальперин, Стивен; Томас, Жан-Клод (2015), Теория рациональной гомотопии II, Сингапур: Всемирный научный, Дои:10.1142/9473, ISBN  978-981-4651-42-4, МИСТЕР  3379890
• Феликс, Ив; Опря, Джон; Танре, Даниэль (2008), Алгебраические модели в геометрии, Оксфорд: Oxford University Press, ISBN  978-0-19-920651-3, МИСТЕР  2403898
• Гриффитс, Филипп А.; Морган, Джон В. (1981), Рациональная теория гомотопий и дифференциальные формы, Бостон: Биркхойзер, ISBN  3-7643-3041-4, МИСТЕР  0641551
• Гесс, Кэтрин (1999), "История теории рациональной гомотопии", в Джеймс, Иоан М. (ред.), История топологии, Амстердам: Северная Голландия, стр. 757–796, Дои:10.1016 / B978-044482375-5 / 50028-6, ISBN  0-444-82375-1, МИСТЕР  1721122
• Гесс, Кэтрин (2007), «Рациональная теория гомотопий: краткое введение» (PDF), Взаимодействие между теорией гомотопий и алгеброй, Современная математика, 436, Американское математическое общество, стр. 175–202, arXiv:математика / 0604626, Дои:10.1090 / conm / 436/08409, ISBN  9780821838143, МИСТЕР  2355774
• Мэй, Дж. Питер; Понто, Кэтлин (2012), Более краткая алгебраическая топология. Категории локализации, завершения и модели (PDF), Издательство Чикагского университета, ISBN  978-0-226-51178-8, МИСТЕР  2884233
• Павлов, Александр В. (2002), "Оценки чисел Бетти рационально эллиптических пространств", Сибирский математический журнал, 43 (6): 1080–1085, Дои:10.1023 / А: 1021173418920, МИСТЕР  1946233
• Квиллен, Дэниел (1969), "Рациональная теория гомотопий", Анналы математики, 90 (2): 205–295, Дои:10.2307/1970725, JSTOR  1970725, МИСТЕР  0258031
• Салливан, Деннис (1977), «Бесконечно малые вычисления в топологии», Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 47: 269–331, Дои:10.1007 / bf02684341, HDL:10338.dmlcz / 128041, МИСТЕР  0646078
• Салливан, Деннис (2001) [1994], "Рациональная теория гомотопий", Энциклопедия математики, EMS Press
• Салливан, Деннис; Виге-Пуарье, Мишлен (1976), "Теория гомологий замкнутой геодезической задачи", Журнал дифференциальной геометрии, 11 (4): 633–644, Дои:10.4310 / jdg / 1214433729, МИСТЕР  0455028