Нильпотентное пространство - Nilpotent space

В топология, филиал математика, а нильпотентное пространство, впервые определенную Э. Дрором (1969),^[1] это основан топологическое пространство Икс такой, что

• то фундаментальная группа ${\displaystyle \pi =\pi _{1}X}$ это нильпотентная группа;
• ${\displaystyle \pi }$ действует нильпотентно^[2] на высшие гомотопические группы ${\displaystyle \pi _{i}X,i\geq 2}$, т.е. существует центральная серия ${\displaystyle \pi _{i}X=G_{1}^{i}\triangleright G_{2}^{i}\triangleright \dots \triangleright G_{n_{i}}^{i}=1}$ такое, что индуцированное действие ${\displaystyle \pi }$ на частном ${\displaystyle G_{k}^{i}/G_{k+1}^{i}}$ тривиально для всех ${\displaystyle k}$.

Односвязные пространства и простые пространства являются (тривиальными) примерами нильпотентных пространств, другие примеры - связные пространства петель. Гомотопический слой любого отображения между нильпотентными пространствами - это несвязное объединение нильпотентных пространств, нулевая компонента пространства точечных отображений Map _ * (K,Икс) куда K - точечный конечномерный CW-комплекс и Икс любое точечное пространство, является нильпотентным пространством. Нечетномерные вещественные проективные пространства являются нильпотентными пространствами, а проективная плоскость - нет. Основная теорема о нильпотентных пространствах ^[2]утверждает, что любое отображение, которое индуцирует интегральный гомологический изоморфизм между двумя нильпотентными пространствами, является слабой гомотопической эквивалентностью. Нильпотентные пространства вызывают большой интерес в теория рациональной гомотопии, потому что большинство конструкций, применимых к односвязным пространствам, можно распространить на нильпотентные пространства. Нильпотентное пополнение Боусфилда Кана пространства ассоциируется с любым связным точечным пространством Икс универсальное пространство Икс^ через которую любая карта Икс в нильпотентное пространство N факторы уникальны, вплоть до сжимаемого пространства выбора, однако часто Икс^ сам по себе не является нильпотентным, а только обратным пределом башни нильпотентных пространств. Эта башня как про-пространство всегда моделирует тип гомологии данного точечного пространства. Икс. Нильпотентные пространства допускают хорошую арифметическую теорию локализации в смысле Боусфилда и Кана, упомянутых выше, и нестабильная спектральная последовательность Адамса сильно сходится для любого такого пространства.

Позволять Икс - нильпотентное пространство и пусть час быть сокращенной обобщенной теорией гомологий, такой как K-теория. час(Икс) = 0, то час исчезает на любом постниковском участке Икс. Это следует из теоремы, согласно которой любой такой участок Икс-сотовый.

Рекомендации

1. Bousfield, A.K .; Кан, Д. М. (1987). Пределы гомотопии, пополнения и локализации. Конспект лекций по математике. 304. Springer. п. 59. Дои:10.1007/978-3-540-38117-4. ISBN  9783540061052.
2. Дрор, Эммануэль (1971). «Обобщение теоремы Уайтхеда». Симпозиум по алгебраической топологии. Конспект лекций по математике. 249. Springer. С. 13–22. Дои:10.1007 / BFb0060891. ISBN  978-3-540-37082-6.