Коалгебра - Coalgebra

В математика, коалгебры или же когебры структуры, которые двойной (в теоретико-категориальный чувство поворота вспять стрелки ) к единый ассоциативные алгебры. В аксиомы ассоциативных алгебр с единицей можно сформулировать в терминах коммутативные диаграммы. Оборачивая все стрелки, получаем аксиомы коалгебр.векторное пространство ) двойственность, порождает алгебру, но не наоборот. В конечные размеры, эта двойственность идет в обоих направлениях (Смотри ниже ).

Коалгебры естественным образом встречаются в различных контекстах (например, теория представлений, универсальные обертывающие алгебры и групповые схемы ).

Это также F-коалгебры, с важными приложениями в Информатика.

Неформальное обсуждение

Один часто повторяющийся пример коалгебр встречается в теория представлений, и, в частности, в теории представлений группа ротации. Первоочередная задача, имеющая практическое применение в физике, - получение комбинаций систем с различными состояниями угловой момент и вращение. Для этого используется Коэффициенты Клебша – Гордана. Учитывая две системы ${\displaystyle A,B}$ с угловыми моментами ${\displaystyle j_{A}}$ и ${\displaystyle j_{B}}$, особенно важная задача - найти полный угловой момент ${\displaystyle j_{A}+j_{B}}$ учитывая комбинированное состояние ${\displaystyle |A\rangle \otimes |B\rangle }$. Это обеспечивается оператор полного углового момента, который извлекает необходимое количество с каждой стороны тензорного произведения. Его можно записать как «внешнее» тензорное произведение

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

Здесь появляется слово «внешний», в отличие от «внутреннего» тензорного произведения тензорная алгебра. Тензорная алгебра имеет тензорное произведение (внутреннее); он также может быть снабжен вторым тензорным произведением, «внешним» или сопродукт, имеющий форму выше. То, что это два разных произведения, подчеркивается напоминанием о том, что внутреннее тензорное произведение вектора и скаляра представляет собой простое скалярное умножение. Внешний продукт разделяет их. В этой настройке сопродуктом является карта

${\displaystyle \Delta :J\to J\otimes J}$

это требует

${\displaystyle \Delta :\mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

В этом примере ${\displaystyle J}$ можно рассматривать как одно из спиновых представлений группы вращений с фундаментальное представление выбор здравого смысла. Этот побочный продукт может быть поднял ко всей тензорной алгебре по простой лемме, которая применяется к бесплатные объекты: тензорная алгебра является свободная алгебра, следовательно, любой гомоморфизм, определенный на подмножестве, можно продолжить на всю алгебру. Подробно исследуя подъем, можно заметить, что сопродукт ведет себя как перемешать продукт, по сути, потому что два фактора выше, левый и правый ${\displaystyle \mathbf {j} }$ должны сохраняться в последовательном порядке во время произведения нескольких угловых моментов (вращения не коммутативны).

Своеобразная форма обладания ${\displaystyle \mathbf {j} }$ появляется только один раз в копродукте, а не (например) определяет ${\displaystyle \mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes \mathbf {j} }$ для поддержания линейности: для этого примера (и для теории представлений в целом) копроизведение должен быть линейным. Как правило, копроизведение в теории представлений приводимо; коэффициенты даны Правило Литтлвуда – Ричардсона. (Правило Литтлвуда – Ричардсона передает ту же идею, что и коэффициенты Клебша – Гордана, но в более общем контексте).

Формальное определение коалгебры, приведенное ниже, абстрагирует этот частный частный случай и его необходимые свойства в общем контексте.

Формальное определение

Формально коалгебра над поле K это векторное пространство C над K вместе с K-линейные карты Δ: C → C ⊗ C и ε: C → K такой, что

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$.

(Здесь ⊗ означает тензорное произведение над K а id - это функция идентичности.)

Эквивалентно следующие две диаграммы ездить:

На первой диаграмме C ⊗ (C ⊗ C) отождествляется с (C ⊗ C) ⊗ C; эти двое естественно изоморфный.^[1] Аналогично на второй диаграмме естественно изоморфные пространства C, C ⊗ K и K ⊗ C определены.^[2]

Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность умножения алгебры (называемого коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна той, которая выражает существование мультипликативной личность. Соответственно, отображение ∆ называется коумножение (или же сопродукт) из C а ε - графство из C.

Примеры

Возьмите произвольный набор S и сформировать K-векторное пространство C = K^(S) с основа S, следующее. Элементы этого векторного пространства C эти функции из S к K которые отображают все элементы, кроме конечного S до нуля; идентифицировать элемент s из S с функцией, которая отображает s к 1 и всем остальным элементам S до 0. Определите

Δ (s) = s ⊗ s и ε (s) = 1 для всех s в S.

Тогда по линейности и Δ, и ε можно однозначно продолжить на все C. Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением ∆ и коэлементом ε.

В качестве второго примера рассмотрим кольцо многочленов K[Икс] в одной неопределенный Икс. Это становится коалгеброй ( разделенная власть коалгебра^[3][4]) если для всех п ≥ 0 определяет:

${\displaystyle \Delta (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{k}\otimes X^{n-k},}$

${\displaystyle \epsilon (X^{n})={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\0&{\mbox{if }}n>0\end{cases}}}$

Опять же, из-за линейности этого достаточно, чтобы определить Δ и ε однозначно на всех K[Икс]. Сейчас же K[Икс] является ассоциативной алгеброй с единицей и коалгеброй, и эти две структуры совместимы. Такие объекты называются биалгебры, и фактически большинство важных коалгебр, рассматриваемых на практике, являются биалгебрами.

Примеры коалгебр включают тензорная алгебра, то внешняя алгебра, Алгебры Хопфа и Биалгебры Ли. В отличие от полиномиального случая выше, ни один из них не коммутативен. Следовательно, побочный продукт становится перемешать продукт, а не разделенная структура власти приведено выше. Произведение в случайном порядке подходит, потому что оно сохраняет порядок членов, появляющихся в произведении, как того требуют некоммутативные алгебры.

В особые гомологии из топологическое пространство образует градуированную коалгебру всякий раз, когда Изоморфизм Кюннета имеет, например, если коэффициенты взяты за поле.^[5]

Если C это K-векторное пространство с основа {s, c}, рассмотрим Δ: C → C ⊗ C дан кем-то

Δ (s) = s ⊗ c + c ⊗ s

Δ (c) = c ⊗ c − s ⊗ s

и ε: C → K дан кем-то

ε (s) = 0

ε (c) = 1

В этой ситуации, (C, Δ, ε) - коалгебра, известная как тригонометрическая коалгебра.^[6][7]

Для локально конечный чум п с набором интервалов Jопределить коалгебра заболеваемости C с J в качестве основы и коумножения для Икс < z

${\displaystyle \Delta [x,z]=\sum _{x<y<z}[x,y]\otimes [y,z]\ .}$

Интервалы нулевой длины соответствуют точкам п и являются групповыми элементами.^[8]

Конечные размеры

В конечных измерениях двойственность между алгебрами и коалгебрами более близка: двойственный элемент конечномерной (унитальной ассоциативной) алгебры является коалгеброй, а двойственный элемент конечномерной коалгебры является (унитальной ассоциативной) алгеброй. Вообще говоря, двойственное к алгебре не может быть коалгеброй.

Ключевым моментом является то, что в конечных размерах (А ⊗ А)^∗ и А^∗ ⊗ А^∗ изоморфны.

Чтобы различать их: в общем, алгебра и коалгебра двойственны. понятия (это означает, что их аксиомы двойственны: переверните стрелки), а для конечных размеров они двойственны объекты (это означает, что коалгебра является двойственным объектом алгебры и наоборот).

Если А это конечный-размерный единый ассоциативный K-алгебра, то ее K-двойной А^∗ состоящий из всех K-линейные карты из А к K коалгебра. Умножение А можно рассматривать как линейную карту А ⊗ А → А, которая при дуализации дает линейное отображение А^∗ → (А ⊗ А)^∗. В конечномерном случае (А ⊗ А)^∗ естественно изоморфен А^∗ ⊗ А^∗, так что это определяет коумножение на А^∗. Графство А^∗ дается путем оценки линейные функционалы на 1.

Обозначение Sweedler

При работе с коалгебрами некоторые обозначения коумножения значительно упрощают формулы и стали довольно популярными. Учитывая элемент c коалгебры (C, Δ, ε) существуют элементы c₍₁₎^(я) и c₍₂₎^(я) в C такой, что

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}$

В Обозначение Свидлера,^[9] (назван так в честь Моховой свидлер ), это сокращенно

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.}$

Тот факт, что ε является счетчиком, может быть выражен следующей формулой

${\displaystyle c=\sum _{(c)}\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

Коассоциативность Δ может быть выражена как

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}$

В обозначениях Свидлера оба этих выражения записываются как

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.}$

Некоторые авторы также опускают символы суммирования; в этой бессистемной нотации Свидлера пишут

${\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}}$

и

${\displaystyle c=\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

Когда в выражении такого типа встречается переменная с пониженным индексом в скобках, подразумевается символ суммирования для этой переменной.

Дополнительные концепции и факты

Коалгебра (C, Δ, ε) называется ко-коммутативный если ${\displaystyle \sigma \circ \Delta =\Delta }$, куда σ: C ⊗ C → C ⊗ C это K-линейная карта, определяемая σ(c ⊗ d) = d ⊗ c для всех c, d в C. В бессумной записи Свидлера C ко-коммутативна тогда и только тогда, когда

${\displaystyle c_{(1)}\otimes c_{(2)}=c_{(2)}\otimes c_{(1)}}$

для всех c в C. (Важно понимать, что подразумеваемое суммирование здесь имеет значение: не требуется, чтобы все слагаемые были попарно равны, а только чтобы суммы равны, что гораздо более слабое требование.)

А групповой элемент (или же установленный элемент) является элементом Икс такой, что Δ (Икс) = Икс ⊗ Икс и ε(Икс) = 1. Вопреки тому, что это соглашение об именах предполагает, групповые элементы не всегда образуют группу, и в целом они образуют только набор. Групповые элементы Алгебра Хопфа действительно образуют группу. А примитивный элемент это элемент Икс это удовлетворяет Δ (Икс) = Икс ⊗ 1 + 1 ⊗ Икс. Примитивные элементы алгебры Хопфа образуют Алгебра Ли. ^[10][11]

Если (C₁, Δ₁, ε₁) и (C₂, Δ₂, ε₂) две коалгебры над одним полем K, затем морфизм коалгебры из C₁ к C₂ это K-линейная карта ж : C₁ → C₂ такой, что ${\displaystyle (f\otimes f)\circ \Delta _{1}=\Delta _{2}\circ f}$ и ${\displaystyle \epsilon _{2}\circ f=\epsilon _{1}}$В бессумной нотации Свидлера первое из этих свойств может быть записано как:

${\displaystyle f(c_{(1)})\otimes f(c_{(2)})=f(c)_{(1)}\otimes f(c)_{(2)}.}$

В сочинение двух морфизмов коалгебр снова является морфизмом коалгебр, и коалгебры над K вместе с этим понятием морфизма образуют категория.

А линейное подпространство я в C называется совмещенный если я ⊆ ker (ε) и Δ (я) ⊆ я ⊗ C + C ⊗ я. В этом случае факторное пространство C/я становится коалгеброй естественным образом.

Подпространство D из C называется субкоалгебра если Δ (D) ⊆ D ⊗ D; в таком случае, D сама является коалгеброй, с ограничением ε на D как countit.

В ядро каждого морфизма коалгебры ж : C₁ → C₂ идеал в C₁, а изображение является подкоалгеброй C₂. Общее теоремы об изоморфизме действительны для коалгебр, так, например, C₁/ кер (ж) изоморфна im (ж).

Если А является конечномерной ассоциативной единицей K-алгебра, то А^∗ является конечномерной коалгеброй, и действительно, каждая конечномерная коалгебра возникает таким образом из некоторой конечномерной алгебры (а именно, из K-двойной). При этом соответствии коммутативные конечномерные алгебры соответствуют кокоммутативным конечномерным коалгебрам. Итак, в конечномерном случае теории алгебр и коалгебр двойственны; изучение одного равносильно изучению другого. Однако в бесконечномерном случае соотношения расходятся: в то время как K-двойной каждой коалгебры является алгебра, K-двойник бесконечномерной алгебры не обязательно является коалгеброй.

Каждая коалгебра является суммой своих конечномерных подкоалгебр, что неверно для алгебр. Абстрактно коалгебры являются обобщениями, или двойниками, конечномерных ассоциативных алгебр с единицей.

Соответствуя концепции представление для алгебр это основная презентация или же комодуль.

Смотрите также

• Коалгебра Cofree
• Измерение коалгебры

Рекомендации

1. Йоконума (1992). Предложение 1.7. п. 12.
2. Йоконума (1992). Предложение 1.4. п. 10.
3. См. Также Дэскэлеску, Нэстэсеску и Райану (2001). Алгебры Хопфа: введение. п. 3.
4. См. Также Райану, Сербан. Коалгебры из формул В архиве 2010-05-29 в Wayback Machine, п. 2.
5. «Конспект для справки» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-02-24. Получено 2008-10-31.
6. Смотрите также Дэскэлеску, Нэстэсеску и Райану (2001). Алгебры Хопфа: введение. п. 4., и Дэскэлеску, Нэстэсеску и Райану (2001). Алгебры Хопфа: введение. п. 55., Бывший. 1.1.5.
7. Райану, Сербан. Коалгебры из формул В архиве 2010-05-29 в Wayback Machine, п. 1.
8. Монтгомери (1993) стр.61.
9. Андервуд (2011) стр.35
10. Михалев Александр Васильевич; Pilz, Günter, ред. (2002). Краткий справочник по алгебре. Springer-Verlag. п. 307, С.42. ISBN  0792370724.
11. Абэ, Эйити (2004). Алгебры Хопфа. Кембриджские трактаты по математике. 74. Издательство Кембриджского университета. п. 59. ISBN  0-521-60489-3.

дальнейшее чтение

• Блок, Ричард Э .; Леру, Пьер (1985), "Обобщенные дуальные коалгебры алгебр с приложениями к кокосвободным коалгебрам", Журнал чистой и прикладной алгебры, 36 (1): 15–21, Дои:10.1016 / 0022-4049 (85) 90060-Х, ISSN  0022-4049, МИСТЕР  0782637, Zbl  0556.16005
• Дэскэлеску, Сорин; Нэстэсеску, Константин; Райану, Шербан (2001), Алгебры Хопфа: введение, Чистая и прикладная математика, 235 (1-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN  0-8247-0481-9, Zbl  0962.16026.
• Гомес-Торресильяс, Хосе (1998), "Коалгебры и комодули над коммутативным кольцом", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées, 43: 591–603
• Хазевинкель, Михиэль (2003), "Коалгебры Cofree и многомерная рекурсивность", Журнал чистой и прикладной алгебры, 183 (1): 61–103, Дои:10.1016 / S0022-4049 (03) 00013-6, ISSN  0022-4049, МИСТЕР  1992043, Zbl  1048.16022
• Монтгомери, Сьюзен (1993), Алгебры Хопфа и их действия на кольцах, Серия региональных конференций по математике, 82, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0738-2, Zbl  0793.16029
• Андервуд, Роберт Г. (2011), Введение в алгебры Хопфа, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-72765-3, Zbl  1234.16022
• Йоконума, Такео (1992), Тензорные пространства и внешняя алгебра, Переводы математических монографий, 108, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-4564-0, Zbl  0754.15028
• Глава III, раздел 11 в Бурбаки, Николас (1989). Алгебра. Springer-Verlag. ISBN  0-387-19373-1.

внешняя ссылка

• Уильям Чин: Краткое введение в теорию представлений коалгебр