Биалгебра Ли - Lie bialgebra

В математике Биалгебра Ли является теоретико-лиевым случаем биалгебра: это набор с Алгебра Ли и Коалгебра Ли структура, которые совместимы.

Это биалгебра где коумножение является кососимметричный и удовлетворяет двойственному Личность Якоби, так что двойственное векторное пространство является Алгебра Ли, тогда как коумножение - это 1-коцикл, так что умножение и коумножение совместимы. Условие коцикла означает, что на практике изучаются только классы биалгебр, когомологичные биалгебре Ли на когранице.

Их еще называют Алгебры Пуассона-Хопфа, и являются Алгебра Ли из Группа Пуассона – Ли.

Биалгебры Ли естественным образом возникают при изучении Уравнения Янга – Бакстера.

Определение

Векторное пространство ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ является биалгеброй Ли, если это алгебра Ли, и существует структура алгебры Ли также на двойственном векторном пространстве ${displaystyle {mathfrak {g}}^{*}}$ которая совместима. Точнее, структура алгебры Ли на ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ задается скобкой Ли ${displaystyle [ , ]:{mathfrak {g}}otimes {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}}}$ и структура алгебры Ли на ${displaystyle {mathfrak {g}}^{*}}$ дается скобкой Лиева ${displaystyle delta ^{*}:{mathfrak {g}}^{*}otimes {mathfrak {g}}^{*} o {mathfrak {g}}^{*}}$.Тогда карта двойная к ${displaystyle delta ^{*}}$ называется кокоммутатором, ${displaystyle delta :{mathfrak {g}} o {mathfrak {g}}otimes {mathfrak {g}}}$а условием совместности является следующее коциклическое отношение:

${displaystyle delta ([X,Y])=left(operatorname {ad} _{X}otimes 1+1otimes operatorname {ad} _{X}ight)delta (Y)-left(operatorname {ad} _{Y}otimes 1+1otimes operatorname {ad} _{Y}ight)delta (X)}$

куда ${displaystyle operatorname {ad} _{X}Y=[X,Y]}$ является сопряженным. Заметим, что это определение симметрично и ${displaystyle {mathfrak {g}}^{*}}$ также является биалгеброй Ли, двойственной биалгеброй Ли.

Пример

Позволять ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ - произвольная полупростая алгебра Ли. Таким образом, чтобы задать структуру биалгебры Ли, нам необходимо указать совместимую структуру алгебры Ли на двойственном векторном пространстве. Выберите подалгебру Картана ${displaystyle {mathfrak {t}}subset {mathfrak {g}}}$ и выбор положительных корней. Позволять ${displaystyle {mathfrak {b}}_{pm }subset {mathfrak {g}}}$ - соответствующие противоположные борелевские подалгебры, так что ${displaystyle {mathfrak {t}}={mathfrak {b}}_{-}cap {mathfrak {b}}_{+}}$ и есть естественная проекция ${displaystyle pi :{mathfrak {b}}_{pm } o {mathfrak {t}}}$.Тогда определим алгебру Ли

${displaystyle {mathfrak {g'}}:={(X_{-},X_{+})in {mathfrak {b}}_{-} imes {mathfrak {b}}_{+} {igl vert } pi (X_{-})+pi (X_{+})=0}}$

которая является подалгеброй произведения ${displaystyle {mathfrak {b}}_{-} imes {mathfrak {b}}_{+}}$, и имеет ту же размерность, что и ${displaystyle {mathfrak {g}}}$.Теперь определите ${displaystyle {mathfrak {g'}}}$ с двойным ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ через сопряжение

${displaystyle langle (X_{-},X_{+}),Yangle :=K(X_{+}-X_{-},Y)}$

куда ${displaystyle Yin {mathfrak {g}}}$ и ${displaystyle K}$ форма Киллинга, определяющая структуру биалгебры Ли на ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, и является «стандартным» примером: он лежит в основе квантовой группы Дринфельда-Джимбо. Обратите внимание, что ${displaystyle {mathfrak {g'}}}$ разрешимо, тогда как ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ полупростой.

Связь с группами Пуассона-Ли

Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ группы Пуассона - Ли грамм имеет естественную структуру биалгебры Ли. Вкратце, структура группы Ли дает скобку Ли на ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ как обычно, и линеаризация пуассоновой структуры на грамм дает скобку Ли на ${displaystyle {mathfrak {g^{*}}}}$ (напомним, что линейная пуассонова структура на векторном пространстве - это то же самое, что скобка Ли на двойственном векторном пространстве). Более подробно пусть грамм - группа Пуассона-Ли с ${displaystyle f_{1},f_{2}in C^{infty }(G)}$ - две гладкие функции на групповом многообразии. Позволять ${displaystyle xi =(df)_{e}}$ - дифференциал в единице. Четко, ${displaystyle xi in {mathfrak {g}}^{*}}$. В Структура Пуассона на группе, то индуцирует скобку на ${displaystyle {mathfrak {g}}^{*}}$, так как

${displaystyle [xi _{1},xi _{2}]=(d{f_{1},f_{2}})_{e},}$

куда ${displaystyle {,}}$ это Скобка Пуассона. Данный ${displaystyle eta }$ быть Бивектор Пуассона на многообразии определим ${displaystyle eta ^{R}}$ быть правым переводом бивектора в тождественный элемент в грамм. Тогда есть что

${displaystyle eta ^{R}:G o {mathfrak {g}}otimes {mathfrak {g}}}$

Тогда кокоммутатор - это касательное отображение:

${displaystyle delta =T_{e}eta ^{R},}$

так что

${displaystyle [xi _{1},xi _{2}]=delta ^{*}(xi _{1}otimes xi _{2})}$

является двойственным к кокоммутатору.

Смотрите также

• Коалгебра Ли
• Манин тройной

Рекомендации

• Х.-Д. Добнер, Ж.-Д. Хенниг, ред. Квантовые группы, Труды 8-го Международного семинара по математической физике, Институт Арнольда Зоммерфельда, Клаусталь, ФРГ, 1989, Springer-Verlag Berlin, ISBN  3-540-53503-9.
• Виджаянти Чари и Эндрю Прессли, Руководство по квантовым группам(1994), Cambridge University Press, Кембридж ISBN  0-521-55884-0.
• Beisert, N .; Спил, Ф. (2009). «Классическая r-матрица AdS / CFT и ее структура биалгебры Ли». Коммуникации по математической физике. 285 (2): 537–565. arXiv:0708.1762. Bibcode:2009CMaPh.285..537B. Дои:10.1007 / s00220-008-0578-2.