Уравнение Янга – Бакстера - Yang–Baxter equation

В физика, то Уравнение Янга – Бакстера (или же связь звезда – треугольник) это уравнение согласованности который был впервые представлен в области статистическая механика. Это зависит от идеи, что в некоторых ситуациях рассеяния частицы могут сохранять свой импульс при изменении своих квантовых внутренних состояний. В нем говорится, что матрица ${displaystyle R}$ , действуя на два объекта из трех, удовлетворяет

{displaystyle ({check {R}} otimes mathbf {1}) (mathbf {1} otimes {check {R}}) ({check {R}} otimes mathbf {1}) = (mathbf {1} otimes {check) {R}}) ({проверьте {R}} otimes mathbf {1}) (mathbf {1} otimes {проверьте {R}})}

В одномерных квантовых системах ${displaystyle R}$ - матрица рассеяния, и если она удовлетворяет уравнению Янга – Бакстера, то система имеет вид интегрируемый. Уравнение Янга – Бакстера также появляется при обсуждении теория узлов и группы кос куда ${displaystyle R}$ соответствует замене двух нитей. Поскольку можно поменять местами три нити двумя разными способами, уравнение Янга – Бакстера требует, чтобы оба пути были одинаковыми.

Иллюстрация уравнения Янга – Бакстера

Он получил свое название от самостоятельной работы К. Н. Ян с 1968 г. и Р. Дж. Бакстер с 1971 г.

Общий вид уравнения Янга – Бакстера, зависящего от параметров

Позволять ${displaystyle A}$ быть единый ассоциативный алгебра. В самом общем виде зависящее от параметров уравнение Янга – Бакстера представляет собой уравнение для ${displaystyle R (u, u ')}$ , зависящий от параметра элемент тензорное произведение ${displaystyle Aotimes A}$ (здесь, ${displaystyle u}$ и ${displaystyle u '}$ параметры, которые обычно находятся в диапазоне действительные числа ℝ в случае аддитивного параметра или более положительные действительные числа ℝ⁺ в случае мультипликативного параметра).

Позволять ${displaystyle R_ {ij} (u, u ') = phi _ {ij} (R (u, u'))}$ за ${displaystyle i, j = 1, ..., 3}$ , с гомоморфизмами алгебр ${displaystyle phi _ {ij}: Aotimes A o Aotimes Aotimes A}$ определяется по

{displaystyle phi _ {12} (aotimes b) = aotimes botimes 1,}

{displaystyle phi _ {13} (aotimes b) = aotimes 1otimes b,}

{displaystyle phi _ {23} (aotimes b) = 1otimes aotimes b.}

Общий вид уравнения Янга – Бакстера имеет вид

{displaystyle R_ {12} (u_ {1}, u_ {2}) R_ {13} (u_ {1}, u_ {3}) R_ {23} (u_ {2}, u_ {3}) = R_ { 23} (u_ {2}, u_ {3}) R_ {13} (u_ {1}, u_ {3}) R_ {12} (u_ {1}, u_ {2}),}

для всех значений ${displaystyle u_ {1}}$ , ${displaystyle u_ {2}}$ и ${displaystyle u_ {3}}$ .

Независимая от параметров форма

Позволять ${displaystyle A}$ - ассоциативная алгебра с единицей. Не зависящее от параметров уравнение Янга – Бакстера представляет собой уравнение для ${displaystyle R}$ , обратимый элемент тензорного произведения ${displaystyle Aotimes A}$ . Уравнение Янга – Бакстера имеет вид

{displaystyle R_ {12} R_ {13} R_ {23} = R_ {23} R_ {13} R_ {12},}

куда ${displaystyle R_ {12} = phi _ {12} (R)}$ , ${displaystyle R_ {13} = phi _ {13} (R)}$ , и ${displaystyle R_ {23} = phi _ {23} (R)}$ .

Альтернативная форма и представления группы кос

Позволять ${displaystyle V}$ быть модуль из ${displaystyle A}$ , и ${displaystyle P_ {ij} = phi _ {ij} (P)}$ . Позволять ${displaystyle P: Votimes V o Votimes V}$ линейное отображение, удовлетворяющее ${displaystyle P (xotimes y) = yotimes x}$ для всех ${displaystyle x, yin V}$ . Тогда уравнение Янга – Бакстера имеет следующую альтернативную форму в терминах ${displaystyle {check {R}} (u, u ') = Pcirc R (u, u')}$ на ${displaystyle Votimes V}$ .

{displaystyle (mathbf {1} otimes {check {R}} (u_ {1}, u_ {2})) ({check {R}} (u_ {1}, u_ {3}) otimes mathbf {1}) (mathbf {1} otimes {check {R}} (u_ {2}, u_ {3})) = ({check {R}} (u_ {2}, u_ {3}) otimes mathbf {1}) ( mathbf {1} otimes {check {R}} (u_ {1}, u_ {3})) ({check {R}} (u_ {1}, u_ {2}) otimes mathbf {1})}

.

В качестве альтернативы мы можем выразить это в тех же обозначениях, что и выше, определяя ${displaystyle {check {R}} _ {ij} (u, u ') = phi _ {ij} ({check {R}} (u, u'))}$ , в этом случае альтернативная форма

{displaystyle {check {R}} _ {23} (u_ {1}, u_ {2}) {check {R}} _ {12} (u_ {1}, u_ {3}) {check {R}} _ {23} (u_ {2}, u_ {3}) = {проверьте {R}} _ {12} (u_ {2}, u_ {3}) {проверьте {R}} _ {23} (u_ { 1}, u_ {3}) {проверьте {R}} _ {12} (u_ {1}, u_ {2}).}

В частном случае, не зависящем от параметров, когда ${displaystyle {check {R}}}$ не зависит от параметров, уравнение сводится к

{displaystyle (mathbf {1} otimes {check {R}}) ({check {R}} otimes mathbf {1}) (mathbf {1} otimes {check {R}}) = ({check {R}} раз mathbf {1}) (mathbf {1} otimes {check {R}}) ({check {R}} otimes mathbf {1})}

,

и представление из группа кос, ${displaystyle B_ {n}}$ , можно построить на ${displaystyle V ^ {иногда n}}$ к ${displaystyle sigma _ {i} = 1 ^ {otimes i-1} otimes {check {R}} otimes 1 ^ {otimes n-i-1}}$ за ${displaystyle i = 1, dots, n-1}$ . Это представление можно использовать для определения квазиинвариантов косы, узлы и ссылки.

Параметризации и примеры решений

Общий анзац для вычислительных решений - свойство разности, ${displaystyle R (u, u ') = R (u-u')}$ , где R зависит только от одного (аддитивного) параметра. Аналогичным образом, логарифмируя, мы можем выбрать параметризацию ${displaystyle R (u, u ') = R (u / u')}$ , и в этом случае говорят, что R зависит от мультипликативного параметра. В этих случаях мы можем сократить YBE до двух свободных параметров в форме, упрощающей вычисления:

{Displaystyle R_ {12} (u) R_ {13} (u + v) R_ {23} (v) = R_ {23} (v) R_ {13} (u + v) R_ {12} (u), }

для всех значений ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ . Для мультипликативного параметра уравнение Янга – Бакстера имеет вид

{displaystyle R_ {12} (u) R_ {13} (uv) R_ {23} (v) = R_ {23} (v) R_ {13} (uv) R_ {12} (u),}

для всех значений ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ .

Плетеные формы читаются как:

{displaystyle (mathbf {1} otimes {check {R}} (u)) ({check {R}} (u + v) otimes mathbf {1}) (mathbf {1} otimes {check {R}} (v )) = ({проверьте {R}} (v) otimes mathbf {1}) (mathbf {1} otimes {проверьте {R}} (u + v)) ({проверьте {R}} (u) otimes mathbf { 1})}

{displaystyle (mathbf {1} otimes {check {R}} (u)) ({check {R}} (uv) otimes mathbf {1}) (mathbf {1} otimes {check {R}} (v)) = ({проверьте {R}} (v) otimes mathbf {1}) (mathbf {1} otimes {проверьте {R}} (uv)) ({проверьте {R}} (u) otimes mathbf {1})}

В некоторых случаях определитель ${displaystyle R (u)}$ может исчезнуть при определенных значениях спектрального параметра ${displaystyle u = u_ {0}}$ . Немного ${displaystyle R}$ матрицы превращаются в одномерный проектор при ${displaystyle u = u_ {0}}$ . В этом случае можно определить квантовый детерминант^{[требуется разъяснение ]}.

Примеры решений зависимого от параметров YBE

Особенно простой класс решений, зависящих от параметров, может быть получен из решений не зависящего от параметров YBE, удовлетворяющих ${displaystyle {check {R}} ^ {2} = mathbf {1}}$ , где соответствующее представление группы кос является представлением группы перестановок. В этом случае, ${displaystyle {check {R}} (u) = mathbf {1} + u {check {R}}}$ (эквивалентно, ${displaystyle R (u) = P + uPcirc {проверьте {R}}}$ ) является решением (аддитивного) зависящего от параметра YBE. В случае, когда ${displaystyle {check {R}} = P}$ и ${displaystyle R (u) = P + umathbf {1}}$ , это дает матрицу рассеяния Спиновая цепочка Heisenberg XXX.