Модель Гейзенберга (квантовая) - Heisenberg model (quantum)

В Модель Гейзенберга, разработан Вернер Гейзенберг, это статистический механический модель используется при изучении критические точки и фазовые переходы магнитных систем, в которых спины магнитных систем рассматриваются квантово-механически. Это связано с прототипом Модель Изинга, где на каждом узле решетки спин ${displaystyle sigma _{i}in {pm 1}}$ представляет собой микроскопический магнитный диполь, у которого магнитный момент либо вверх, либо вниз. Помимо связи между магнитными дипольными моментами, существует также мультиполярная версия модели Гейзенберга, называемая многополярное обменное взаимодействие.

Обзор

По квантово-механическим причинам (см. обменное взаимодействие или же Магнетизм § Квантово-механическое происхождение магнетизма ), доминирующая связь между двумя диполями может привести к тому, что ближайшие соседи будут иметь самую низкую энергию, когда они выровнен. При этом предположении (так что магнитные взаимодействия происходят только между соседними диполями) и на одномерной периодической решетке Гамильтониан можно записать в виде

${displaystyle {hat {H}}=-Jsum _{j=1}^{N}sigma _{j}sigma _{j+1}-hsum _{j=1}^{N}sigma _{j}}$

куда ${displaystyle J}$ это константа связи а диполи представлены классическими векторами (или «спинами») σ_jпри периодическом граничном условии ${displaystyle sigma _{N+1}=sigma _{1}}$. Модель Гейзенберга - более реалистичная модель, поскольку она рассматривает спины квантово-механически, заменяя спин на квантовый оператор действуя на тензорное произведение ${displaystyle (mathbb {C} ^{2})^{otimes N}}$, размерности ${displaystyle 2^{N}}$. Чтобы определить это, вспомните Матрицы Pauli spin-1/2

${displaystyle sigma ^{x}={egin{pmatrix}0&11&0end{pmatrix}}}$

${displaystyle sigma ^{y}={egin{pmatrix}0&-ii&0end{pmatrix}}}$

${displaystyle sigma ^{z}={egin{pmatrix}1&0�&-1end{pmatrix}}}$

и для ${displaystyle 1leq jleq N}$ и ${displaystyle ain {x,y,z}}$ обозначать ${displaystyle sigma _{j}^{a}=I^{otimes j-1}otimes sigma ^{a}otimes I^{otimes N-j}}$, куда ${displaystyle I}$ это ${displaystyle 2 imes 2}$ единичная матрица с возможностью выбора действительных констант связи ${displaystyle J_{x},J_{y},}$ и ${displaystyle J_{z}}$, гамильтониан задается формулой

${displaystyle {hat {H}}=-{frac {1}{2}}sum _{j=1}^{N}(J_{x}sigma _{j}^{x}sigma _{j+1}^{x}+J_{y}sigma _{j}^{y}sigma _{j+1}^{y}+J_{z}sigma _{j}^{z}sigma _{j+1}^{z}+hsigma _{j}^{z})}$

где ${displaystyle h}$ справа указывает внешний магнитное поле, с периодическим граничные условия Задача состоит в том, чтобы определить спектр гамильтониана, из которого функция распределения можно рассчитать и термодинамика системы можно изучить.

Обычно модель называют в зависимости от значений ${displaystyle J_{x}}$, ${displaystyle J_{y}}$ и ${displaystyle J_{z}}$: если ${displaystyle J_{x}eq J_{y}eq J_{z}}$модель называется XYZ-моделью Гейзенберга; в случае ${displaystyle J=J_{x}=J_{y}eq J_{z}=Delta }$, это Гейзенберг XXZ модель; если ${displaystyle J_{x}=J_{y}=J_{z}=J}$, это модель Гейзенберга ХХХ. Модель Гейзенберга со спином 1/2 в одном измерении может быть точно решена с помощью Анзац Бете.^[1] В алгебраической формулировке они связаны с определенными Квантовые аффинные алгебры и Эллиптическая квантовая группа в случаях XXZ и XYZ соответственно.^[2] Другие подходы делают это без анзаца Бете.^[3]

Физика модели Гейзенберга XXX сильно зависит от знака константы связи${displaystyle J}$ и размер пространства. Для положительного ${displaystyle J}$ основное состояние всегда ферромагнитный. При отрицательном ${displaystyle J}$ основное состояние антиферромагнитный в двух и трех измерениях.^[4] В одном измерении характер корреляций в антиферромагнитной модели Гейзенберга зависит от спина магнитных диполей. Если спин целочисленный, то только ближний порядок В системе полуцелых спинов квазидальний порядок.

Упрощенная версия модели Гейзенберга - одномерная модель Изинга, в которой поперечное магнитное поле направлено в x-направлении, а взаимодействие - только в z-направлении:

${displaystyle {hat {H}}=-J_{z}sum _{j=1}^{N}sigma _{j}^{z}sigma _{j+1}^{z}-gJ_{z}sum _{j=1}^{N}sigma _{j}^{x}}$

При малых g и больших g вырождение основного состояния различно, что означает, что между ними должен быть квантовый фазовый переход. Ее можно решить точно для критической точки с помощью анализа двойственности.^[5] Переход двойственности матриц Паули равен ${displaystyle sigma _{i}^{z}=prod _{jleq i}S_{j}^{x}}$ и ${displaystyle sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}}$, куда ${displaystyle S^{x}}$ и ${displaystyle S^{z}}$ также являются матрицами Паули, которые подчиняются матричной алгебре Паули. При периодических граничных условиях можно показать, что преобразованный гамильтониан имеет очень похожий вид:

${displaystyle {hat {H}}=-gJ_{z}sum _{j=1}^{N}S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}-J_{z}sum _{j=1}^{N}S_{j}^{x}}$

но для ${displaystyle g}$ присоединенный к члену спинового взаимодействия. Предполагая, что существует только одна критическая точка, можно сделать вывод, что фазовый переход происходит в ${displaystyle g=1}$.

Приложения

• Другой важный объект - это энтропия запутанности. Один из способов описать это - разделить уникальное основное состояние на блок (несколько последовательных спинов) и окружение (остальное основное состояние). Энтропию блока можно рассматривать как энтропию запутанности. При нулевой температуре в критической области (термодинамический предел) она логарифмически масштабируется с размером блока. С ростом температуры логарифмическая зависимость переходит в линейную функцию.^[6] Для больших температур линейная зависимость следует из второй закон термодинамики.

• Модель Гейзенберга представляет собой важный и понятный теоретический пример применения Перенормировка матрицы плотности.

• В шестивершинная модель может быть решена с помощью алгебраического анзаца Бете для спиновой цепи Гейзенберга (см. Бакстер, «Точно решаемые модели в статистической механике»).

• Наполовину заполненный Модель Хаббарда в пределе сильных отталкивающих взаимодействий можно отобразить на модель Гейзенберга с ${displaystyle J<0}$ представляя силу суперобмен взаимодействие.

Смотрите также

• Классическая модель Гейзенберга
• ДМРГ модели Гейзенберга
• Квантовая модель ротора
• t-J модель
• J1 J2 модель
• Модель Маджумдара – Гоша
• AKLT модель
• Многополярное обменное взаимодействие

Рекомендации

• Р.Дж. Бакстер, Точно решаемые модели в статистической механике, Лондон, Academic Press, 1982.
• Гейзенберг, В. (1 сентября 1928 г.). "Zur Theorie des Ferromagnetismus" [К теории ферромагнетизма]. Zeitschrift für Physik (на немецком). 49 (9): 619–636. Bibcode:1928ZPhy ... 49..619H. Дои:10.1007 / BF01328601. S2CID  122524239.
• Бете, Х. (1 марта 1931 г.). "Zur Theorie der Metalle" [К теории металлов]. Zeitschrift für Physik (на немецком). 71 (3): 205–226. Bibcode:1931ZPhy ... 71..205B. Дои:10.1007 / BF01341708. S2CID  124225487.

Примечания

1. Бонечи, Ф; Celeghini, E; Giachetti, R; Sorace, E; Тарлини, М. (7 августа 1992 г.). «Модель Гейзенберга XXZ и квантовая группа Галилея». Журнал физики A: математические и общие. 25 (15): L939 – L943. arXiv:hep-th / 9204054. Bibcode:1992JPhA ... 25L.939B. Дои:10.1088/0305-4470/25/15/007. S2CID  119046025.
2. Фаддеев, Л. Д. (26 мая 1996 г.). «Как алгебраический анзац Бете работает для интегрируемой модели». arXiv:hep-th / 9605187v1.
3. Рохас, Онофре; Соуза, С. де; Corrêa Silva, E.V .; Томаз, М. (Декабрь 2001 г.). «Термодинамика предельных случаев модели XXZ без анзаца Бете». Бразильский журнал физики. 31 (4): 577–582. Bibcode:2001BrJPh..31..577R. Дои:10.1590 / s0103-97332001000400008.
4. Том Кеннеди; Бруно Нахтергаэле. "Модель Гейзенберга - библиография". Получено 6 июн 2019.
5. Фишер, Мэтью П. А. (2004). «Двойственность в низкоразмерных квантовых теориях поля». Сильные взаимодействия в малых измерениях. Физика и химия материалов с низкой размерностью. 25. С. 419–438. Дои:10.1007/978-1-4020-3463-3_13. ISBN  978-1-4020-1798-8.
6. Корепин, В. Е. (5 марта 2004 г.). «Универсальность масштабирования энтропии в одномерных беззазорных моделях». Письма с физическими проверками. 92 (9): 096402. arXiv:cond-mat / 0311056. Bibcode:2004PhRvL..92i6402K. Дои:10.1103 / PhysRevLett.92.096402. PMID  15089496. S2CID  20620724.