AKLT модель - AKLT model

В AKLT модель является расширением одномерного квант Модель спина Гейзенберга. Предложение и точное решение этой модели Аффлек, Либ, Кеннеди и Тасаки^[1] предоставил решающее понимание физики цепочки Гейзенберга со спином 1.^[2][3][4][5] Он также послужил полезным примером таких понятий, как твердый порядок валентных связей, топологический порядок с защитой от симметрии^[6][7][8][9] и волновые функции состояния произведения матрицы.

Фон

Основным мотивом для модели AKLT было Цепь Маджумдар – Гош. Поскольку два из каждого набора из трех соседних спинов в основном состоянии Маджумдара-Гхоша спарены в синглетную или валентную связь, эти три спина вместе никогда не могут быть обнаружены в состоянии спина 3/2. Фактически, гамильтониан Маджумдара – Гоша есть не что иное, как сумма всех проекторов трех соседних спинов на состояние 3/2.

Основная идея статьи AKLT заключалась в том, что эту конструкцию можно обобщить для получения точно решаемых моделей для размеров спина, отличных от 1/2. Так же, как один конец валентной связи имеет спин 1/2, концы двух валентных связей могут быть объединены в спин 1, три - в спин 3/2 и т. Д.

Определение

Affleck et al. были заинтересованы в построении одномерного состояния с валентной связью между каждой парой узлов. Поскольку это приводит к двум спинам 1/2 для каждого узла, результатом должна быть волновая функция системы со спином 1.

Для каждой смежной пары спинов 1 два из четырех составляющих спинов 1/2 застревают в состоянии полного нуля спина. Следовательно, каждой паре спинов 1 запрещено находиться в состоянии комбинированного спина 2. Записав это условие в виде суммы проекторов, AKLT пришла к следующему гамильтониану

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{j}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+{\frac {1}{3}}({\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1})^{2}}$

где ${\textstyle {\vec {S_{i}}}}$ являются операторами спина 1.

Этот гамильтониан аналогичен спину 1, одномерному квант Модель спина Гейзенберга но имеет дополнительный член "биквадратичного" спинового взаимодействия.

Основное состояние

По построению, основное состояние гамильтониана AKLT - это твердое тело валентной связи с одной валентной связью, соединяющей каждую соседнюю пару узлов. Графически это можно представить как

Здесь сплошные точки обозначают спин 1/2, которые переведены в синглетные состояния. Линии, соединяющие спин 1/2, представляют собой валентные связи, указывающие на структуру синглетов. Овалы - это операторы проекции, которые «связывают» вместе два спина 1/2 в один спин 1, проецируя спин 0 или синглетное подпространство и сохраняя только спин 1 или триплетное подпространство. Символы «+», «0» и «-» обозначают стандартные базисные состояния спина 1 (собственные состояния ${\displaystyle S^{z}}$ оператор).^[10]

Спин 1/2 краевых состояний

Для случая кольцевых спинов (периодические граничные условия) конструкция AKLT дает единственное основное состояние. Но в случае открытой цепочки первый и последний спин 1 имеют только одного соседа, в результате чего один из составляющих их спинов 1/2 остается непарным. В результате концы цепочки ведут себя как моменты свободного спина 1/2, даже если система состоит только из спинов 1.

Краевые состояния со спином 1/2 цепи AKLT можно наблюдать несколькими различными способами. Для коротких цепочек краевые состояния смешиваются в синглет или триплет, давая либо уникальное основное состояние, либо трехкратный мультиплет основных состояний. Для более длинных цепочек краевые состояния распадаются экспоненциально быстро в зависимости от длины цепи, что приводит к четырехкратно вырожденному многообразию основного состояния.^[11] Используя численный метод, такой как DMRG Чтобы измерить локальную намагниченность вдоль цепочки, также можно непосредственно увидеть краевые состояния и показать, что их можно удалить, поместив фактические 1/2 спина на концах.^[12] Оказалось даже возможным обнаружение краевых состояний со спином 1/2 при измерениях квазиодномерного магнитного соединения, содержащего небольшое количество примесей, роль которых заключается в разбиении цепочек на конечные сегменты.^[13]

Матричное представление состояния продукта

Простота основного состояния AKLT позволяет компактно представить его в виде состояние матричного продукта Это волновая функция вида

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} [A^{s_{1}}A^{s_{2}}\ldots A^{s_{N}}]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .}$

Здесь As представляют собой набор из трех матриц, помеченных ${\displaystyle s_{j}}$ и след происходит от предположения периодических граничных условий.

Волновая функция основного состояния AKLT соответствует выбору:^[10]

${\displaystyle A^{+}=+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}}$

${\displaystyle A^{0}=-{\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\ \sigma ^{z}}$

${\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}}$

куда ${\displaystyle \sigma }$ это Матрица Паули.

Обобщения и расширения

Модель AKLT была решена на решетках более высокой размерности,^[1][14] даже в квазикристаллы .^{[нужна цитата ]} Модель построена также для высших алгебр Ли, включая SU (п),^[15][16] ТАК(п),^[17] Sp (п) ^[18] и распространен на квантовые группы SUq (п).^[19]

Рекомендации

1. Аффлек, Ян; Кеннеди, Том; Lieb, Elliott H .; Тасаки, Хэл (1987). «Строгие результаты по основным состояниям валентных связей в антиферромагнетиках». Письма с физическими проверками. 59 (7): 799–802. Bibcode:1987ПхРвЛ..59..799А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.59.799. PMID  10035874.
2. Холдейн, Ф. Д. М. (1983). "Нелинейная теория поля гейзенберговских антиферромагнетиков с большим спином: полуклассически квантованные солитоны одномерного легкоосевого состояния Нееля". Phys. Rev. Lett. 50 (15): 1153. Bibcode:1983ПхРвЛ..50.1153Х. Дои:10.1103 / Physrevlett.50.1153.
3. Холдейн, Ф. Д. М. (1983). «Континуальная динамика одномерного антиферромагнетика Гейзенберга: отождествление с нелинейной сигма-моделью O (3)». Phys. Lett. А. 93 (9): 464. Bibcode:1983ФЛА ... 93..464Н. Дои:10.1016 / 0375-9601 (83) 90631-х.
4. Аффлек, I .; Холдейн, Ф. Д. М. (1987). «Критическая теория квантовых спиновых цепочек». Phys. Ред. B. 36 (10): 5291. Bibcode:1987ПхРвБ..36.5291А. Дои:10.1103 / Physrevb.36.5291. PMID  9942166.
5. Аффлек, И. (1989). «Квантовые спиновые цепочки и разрыв Холдейна». J. Phys .: Condens. Иметь значение. 1 (19): 3047. Bibcode:1989JPCM .... 1.3047A. Дои:10.1088/0953-8984/1/19/001.
6. Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (2009). "Подход перенормировки тензорной запутанности-фильтрации и топологический порядок, защищенный симметрией". Phys. Ред. B. 80 (15): 155131. arXiv:0903.1069. Bibcode:2009PhRvB..80o5131G. Дои:10.1103 / Physrevb.80.155131. S2CID  15114579.
7. Pollmann, F .; Berg, E .; Тернер, Ари М .; Осикава, Масаки (2012). «Защита симметрии топологических фаз в одномерных квантовых спиновых системах» (PDF). Phys. Ред. B. 85 (7): 075125. arXiv:0909.4059. Bibcode:2012ПхРвБ..85г5125П. Дои:10.1103 / PhysRevB.85.075125. S2CID  53135907.
8. Чен, Се; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (2011). «Классификация симметричных фаз с промежутками в одномерных спиновых системах». Phys. Ред. B. 83 (3): 035107. arXiv:1008.3745. Bibcode:2011PhRvB..83c5107C. Дои:10.1103 / Physrevb.83.035107. S2CID  9139955.
9. Чен, Се; Лю, Чжэн-Синь; Вэнь, Сяо-Ган (2011). «2D-симметричные топологические порядки и их защищенные бесщелевые краевые возбуждения». Phys. Ред. B. 84 (23): 235141. arXiv:1106.4752. Bibcode:2011PhRvB..84w5141C. Дои:10.1103 / Physrevb.84.235141. S2CID  55330505.
10. Шольвёк, Ульрих (2011). «Ренормализационная группа матрицы плотности в возрасте состояний матричного произведения». Анналы физики. 326 (1): 96–192. arXiv:1008.3477. Bibcode:2011AnPhy.326 ... 96S. Дои:10.1016 / j.aop.2010.09.012. S2CID  118735367.
11. Кеннеди, Том (1990). «Точные диагонализации открытых цепочек спина 1». J. Phys. Конденс. Иметь значение. 2 (26): 5737–5745. Bibcode:1990JPCM .... 2,5737K. Дои:10.1088/0953-8984/2/26/010.
12. Уайт, Стивен; Хусе, Дэвид (1993). "Численное ренормгрупповое исследование низколежащих собственных состояний антиферромагнитной цепочки Гейзенберга S = 1". Phys. Ред. B. 48 (6): 3844–3852. Bibcode:1993PhRvB..48.3844W. Дои:10.1103 / PhysRevB.48.3844. PMID  10008834.
13. Hagiwara, M .; Katsumata, K .; Аффлек, Ян; Гальперин, Б.И.; Ренар, Дж. П. (1990). «Наблюдение S = 1/2 степеней свободы в S = 1 линейно-цепном антиферромагнетике Гейзенберга». Phys. Rev. Lett. 65 (25): 3181–3184. Bibcode:1990ПхРвЛ..65.3181Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.65.3181. PMID  10042802.
14. Wei, T.-C .; Аффлек, I .; Раусендорф Р. (2012). «Состояние Аффлека-Кеннеди-Либа-Тасаки на сотовой решетке - универсальный квантовый вычислительный ресурс». Phys. Rev. Lett. 106 (7): 070501. arXiv:1009.2840. Bibcode:2011PhRvL.106g0501W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.106.070501. PMID  21405505.
15. Грейтер, Мартин; Рэйчел, Стефан; Шурихт, Дирк (2007). «Точные результаты для спиновых цепочек SU (3): состояния тримеров, твердые тела с валентными связями и их родительские гамильтонианы». Phys. Ред. B. 75 (6): 060401 (R). arXiv:cond-mat / 0701354. Bibcode:2007PhRvB..75f0401G. Дои:10.1103 / PhysRevB.75.060401. S2CID  119373252.
16. Грейтер, Мартин; Рэйчел, Стефан (2007). «Твердые валентные связи для цепочек спина SU (n): точные модели, удержание спинонов и щель Холдейна». Phys. Ред. B. 75 (18): 184441. arXiv:cond-mat / 0702443. Bibcode:2007PhRvB..75r4441G. Дои:10.1103 / PhysRevB.75.184441. S2CID  55917580.
17. Ту, Хун-Хао; Чжан, Гуан-Мин; Сян, Тао (2008). «Класс точно решаемых SO (n) симметричных спиновых цепочек с основными состояниями матричного произведения». Phys. Ред. B. 78 (9): 094404. arXiv:0806.1839. Bibcode:2008PhRvB..78i4404T. Дои:10.1103 / PhysRevB.78.094404. S2CID  119200687.
18. Шурихт, Дирк; Рэйчел, Стефан (2008). «Твердые состояния валентных связей с симплектической симметрией». Phys. Ред. B. 78 (1): 014430. arXiv:0805.3918. Bibcode:2008PhRvB..78a4430S. Дои:10.1103 / PhysRevB.78.014430. S2CID  118429445.
19. Santos, R.A .; Paraan, F.N.C .; Корепин, В.Е .; Клюмпер, А. (2012). «Спектры запутанности q-деформированной модели Аффлека – Кеннеди – Либа – Тасаки и матричных состояний произведения». EPL. 98 (3): 37005. arXiv:1112.0517. Bibcode:2012EL ..... 9837005S. Дои:10.1209/0295-5075/98/37005. ISSN  0295-5075. S2CID  119733552.