Модель Хаббарда - Hubbard model

В Модель Хаббарда используется приблизительная модель, особенно в физика твердого тела, чтобы описать переход между проведение и изоляционные системы.^[1] Модель Хаббарда, названная в честь Джон Хаббард, является простейшей моделью взаимодействующих частиц в решетке, только с двумя членами в Гамильтониан (см. пример ниже): кинетический термин, учитывающий туннелирование («прыжки») частиц между узлами решетки и потенциальный член, состоящий из локального взаимодействия. Частицы могут быть либо фермионы, как в оригинальной работе Хаббарда, или бозоны, в этом случае модель упоминается как "Модель Бозе – Хаббарда ".

Модель Хаббарда - хорошее приближение для частиц в периодическом потенциале при достаточно низких температурах, когда можно предположить, что все частицы находятся в самом низком Группа Блоха, а дальнодействующие взаимодействия между частицами можно не учитывать. Если учесть взаимодействия между частицами в разных узлах решетки, модель часто называют «расширенной моделью Хаббарда».

Модель была первоначально предложена в 1963 году для описания электронов в твердых телах, и с тех пор вызывает особый интерес как модель для высокотемпературная сверхпроводимость. Для электронов в твердом теле модель Хаббарда можно рассматривать как усовершенствование тесный переплет модель, которая включает только прыжковый член. Для сильных взаимодействий он может давать качественно отличное от модели сильной связи поведение и правильно предсказывает существование так называемых Изоляторы Mott, которые не могут стать проводящими из-за сильного отталкивания между частицами.

Теория узких энергетических зон

Модель Хаббарда основана на тесный переплет приближение из физики твердого тела, которое описывает частицы, движущиеся в периодическом потенциале, иногда называемом решеткой. Для реальных материалов каждый участок этой решетки может соответствовать ионному остову, а частицы будут валентными электронами этих ионов. В приближении сильной связи гамильтониан записывается в терминах Ванье заявляет, которые представляют собой локализованные состояния с центром в каждом узле решетки. Состояния Ванье на соседних узлах решетки связаны, что позволяет частицам на одном узле "перескакивать" на другой. Математически сила этой связи определяется «интегралом перескока» или «интегралом переноса» между соседними узлами. Говорят, что система находится в пределе сильной связи, когда сила интегралов перескока быстро падает с расстоянием. Эта связь позволяет состояниям, связанным с каждым узлом решетки, гибридизоваться, а собственные состояния такого узла кристаллический система Функции Блоха, с разделением уровней энергии на отдельные энергетические полосы. Ширина полос зависит от значения интеграла перескока.

Модель Хаббарда вводит контактное взаимодействие между частицами противоположного спина на каждом узле решетки. Когда модель Хаббарда используется для описания электронных систем, ожидается, что эти взаимодействия будут отталкивающими, что связано с экранированное кулоновское взаимодействие. Тем не менее, привлекательные взаимодействия также часто рассматриваются. Физика модели Хаббарда определяется конкуренцией между силой интеграла перескока, который характеризует кинетическая энергия, и сила члена взаимодействия. Таким образом, модель Хаббарда может объяснить переход от металла к изолятору в некоторых взаимодействующих системах. Например, он использовался для описания металл оксидов по мере их нагрева, где соответствующее увеличение расстояния между ближайшими соседями уменьшает интеграл перескока до точки, где потенциал на месте является доминирующим. Аналогичным образом модель Хаббарда может объяснить переход от проводника к изолятору в таких системах, как редкоземельный пирохлор как атомный номер редкоземельного металла увеличивается, потому что параметр решетки увеличивается (или угол между атомами тоже может измениться - см. Кристальная структура ) по мере увеличения атомного номера редкоземельного элемента, тем самым изменяя относительную важность интеграла перескока по сравнению с локальным отталкиванием.

Пример: 1D цепочка атомов водорода

В атом водорода имеет только один электрон, в так называемом s орбитальный, который может раскручиваться вверх ( ${ displaystyle uparrow}$ ) или замедлить ( ${ displaystyle downarrow}$ ). На этой орбитали могут находиться не более двух электронов, один с вращение вверх и один вниз (см. Принцип исключения Паули ).

Теперь рассмотрим одномерную цепочку атомов водорода. Под ленточная теория, можно было бы ожидать, что орбиталь 1s будет образовывать непрерывную полосу, которая будет заполнена ровно наполовину. Таким образом, согласно традиционной зонной теории, одномерная цепочка атомов водорода является проводником.

Но теперь рассмотрим случай, когда расстояние между атомами водорода постепенно увеличивается. В какой-то момент мы ожидаем, что цепь должна стать изолятором.

С другой стороны, выраженный в рамках модели Хаббарда, гамильтониан теперь состоит из двух членов. Первый член описывает кинетическую энергию системы, параметризованную интегралом перескока: ${ displaystyle t}$ . Второй термин - это взаимодействие сил на месте. ${ displaystyle U}$ что представляет собой отталкивание электронов. Написано в второе квантование обозначение, Хаббард Гамильтониан затем принимает форму

{ displaystyle { hat {H}} = - t sum _ {i, sigma} left ({ hat {c}} _ {i, sigma} ^ { dagger} { hat {c} } _ {i + 1, sigma} + { hat {c}} _ {i + 1, sigma} ^ { dagger} { hat {c}} _ {i, sigma} right) + U sum _ {i} { hat {n}} _ {i uparrow} { hat {n}} _ {i downarrow},}

куда ${ displaystyle { hat {n}} _ {i sigma} = { hat {c}} _ {i sigma} ^ { dagger} { hat {c}} _ {i sigma}}$ - оператор спиновой плотности для спина ${ displaystyle sigma}$ на ${ displaystyle i}$ -й сайт. Оператор полной плотности: ${ displaystyle { hat {n}} _ {i} = { hat {n}} _ {i uparrow} + { hat {n}} _ {i downarrow}}$ и занятие ${ displaystyle i}$ -й сайт волновой функции ${ displaystyle Phi}$ является ${ displaystyle n_ {i} = langle Phi vert { hat {n}} _ {i} vert Phi rangle}$ . Обычно т считается положительным, и U может быть либо положительным, либо отрицательным в целом, но предполагается положительным при рассмотрении электронных систем, как мы здесь.

Если мы рассмотрим гамильтониан без вклада второго члена, мы просто останемся с плотный переплет формула из теории регулярных зон.

Однако, когда включен второй член, мы получаем более реалистичную модель, которая также предсказывает переход от проводника к изолятору как отношение взаимодействия к прыжкам, ${ displaystyle U / t}$ , разнообразен. Это соотношение можно изменить, например, увеличив межатомное расстояние, что уменьшит величину ${ displaystyle t}$ не затрагивая ${ displaystyle U}$ . В пределе где ${ Displaystyle U / т gg 1}$ , цепь просто распадается на набор изолированных магнитные моменты. Если ${ displaystyle U / t}$ не слишком велика, интеграл перекрытия обеспечивает суперобмен взаимодействия между соседними магнитными моментами, которые могут привести к множеству интересных магнитных корреляций, таких как ферромагнитные, антиферромагнитные и т. д. в зависимости от параметров модели. Одномерная модель Хаббарда решалась Либ и Ву, используя Бете анзац. Существенный прогресс был достигнут в 1990-е годы: скрытая симметрия был обнаружен, и матрица рассеяния, корреляционные функции, термодинамический и квантовая запутанность были оценены.^[2]

Более сложные системы

Хотя модель Хаббарда полезна при описании таких систем, как одномерная цепочка атомов водорода, важно отметить, что в более сложных системах могут иметь место другие эффекты, которые модель Хаббарда не учитывает. В целом изоляторы можно разделить на изоляторы типа Мотта – Хаббарда (см. Изолятор Мотта ) и изоляторы с переносом заряда.

Рассмотрим следующее описание изолятора Мотта – Хаббарда:

{ displaystyle ( mathrm {Ni} ^ {2 +} mathrm {O} ^ {2 -}) _ {2} longrightarrow mathrm {Ni} ^ {3 +} mathrm {O} ^ {2- } + mathrm {Ni} ^ {1 +} mathrm {O} ^ {2-}.}

Это можно рассматривать как аналог модели Хаббарда для водородных цепочек, где проводимость между элементарными ячейками может быть описана интегралом переноса.

Однако электроны могут вести себя иначе:

{ displaystyle mathrm {Ni} ^ {2 +} mathrm {O} ^ {2 -} longrightarrow mathrm {Ni} ^ {1 +} mathrm {O} ^ {1-}.}

Это называется переносом заряда и приводит к изоляторы с переносом заряда. Обратите внимание, что это сильно отличается от модели изолятора Мотта – Хаббарда, потому что нет переноса электронов между элементарными ячейками, только внутри элементарной ячейки.

Оба этих эффекта могут присутствовать и конкурировать в сложных ионных системах.

Числовая обработка

Тот факт, что модель Хаббарда не была решена аналитически в произвольных измерениях, привел к интенсивным исследованиям численных методов для этих сильно коррелированных электронных систем.^[3]^[4]Одной из основных целей этого исследования является определение низкотемпературной фазовой диаграммы этой модели, особенно в двух измерениях. Приближенное численное рассмотрение модели Хаббарда на конечных системах возможно с помощью ряда методов.

Один из таких методов - Алгоритм Ланцоша, может создавать статические и динамические свойства системы. Вычисления основного состояния с использованием этого метода требуют хранения трех векторов размера количества состояний. Число состояний экспоненциально масштабируется с размером системы, что ограничивает количество узлов в решетке примерно до 20 в настоящее время.^{[когда? ]} доступное оборудование. С проектором и конечной температурой вспомогательное поле Монте-Карло, существуют два статистических метода, которые также могут получить определенные свойства системы. Для низких температур возникают проблемы сходимости, которые приводят к экспоненциальному росту вычислительных затрат с понижением температуры из-за так называемого фермионного проблема знака.

Модель Хаббарда также может быть изучена в рамках динамическая теория среднего поля (DMFT). Эта схема отображает гамильтониан Хаббарда на односайтовая примесная модель, отображение, которое формально является точным только в бесконечных измерениях и в конечных измерениях, соответствует точному рассмотрению только всех чисто локальных корреляций. DMFT позволяет вычислять локальные Функция Грина модели Хаббарда для данного ${ displaystyle U}$ и заданная температура. В DMFT можно вычислить эволюцию спектральная функция и наблюдайте появление верхней и нижней полос Хаббарда по мере увеличения корреляции.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Хаббард, Дж. (1963). «Электронные корреляции в узких энергетических зонах». Труды Лондонского королевского общества. 276 (1365): 238–257. Bibcode:1963RSPSA.276..238H. Дои:10.1098 / rspa.1963.0204. JSTOR 2414761. S2CID 35439962.
Бах, В .; Lieb, E.H .; Соловей, Дж. П. (1994). «Обобщенная теория Хартри – Фока и модель Хаббарда». Журнал статистической физики. 76 (1–2): 3. arXiv:cond-mat / 9312044. Bibcode:1994JSP .... 76 .... 3B. Дои:10.1007 / BF02188656. S2CID 207143.
Либ, Э. Х. (1995). «Модель Хаббарда: некоторые строгие результаты и открытые проблемы». Xi Int. Конг. Mp, Int. Нажмите (?). 1995: cond – mat / 9311033. arXiv:cond-mat / 9311033. Bibcode:1993 второй мат.11033Л.
Гебхард, Ф. (1997). «Переход металл – изолятор». Переход Мотта металл – изолятор: модели и методы. Тракты Спрингера в современной физике. 137. Springer. С. 1–48. ISBN 9783540614814.
Lieb, E.H .; Ву, Ф. Я. (2003). «Одномерная модель Хаббарда: воспоминания». Physica A. 321 (1): 1–27. arXiv:cond-mat / 0207529. Bibcode:2003ФиА..321 .... 1л. Дои:10.1016 / S0378-4371 (02) 01785-5. S2CID 44758937.

[Altland-1] Altland, A .; Саймонс, Б. (2006). «Эффекты взаимодействия в системе сильной привязки». Теория поля конденсированного состояния. Издательство Кембриджского университета. стр.58 ff. ISBN 978-0-521-84508-3.

[2] Essler, F.H.L .; Frahm, H .; Göhmann, F .; Klümper, A .; Корепин, В. Е. (2005). Одномерная модель Хаббарда. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-80262-8.

[ScalapinoNumerical_StudiesOfThe2DHubbardModel-3] Скалапино, Д. Дж. (2006). «Численные исследования 2D-модели Хаббарда»: cond – mat / 0610710. arXiv:cond-mat / 0610710. Bibcode:2006 второй мат. 10710S. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[SimonsBenchmark-4] ЛеБлан, Дж. (2015). «Решения двумерной модели Хаббарда: критерии и результаты широкого диапазона численных алгоритмов». Физический обзор X. 5 (4): 041041. arXiv:1505.02290. Bibcode:2015PhRvX ... 5d1041L. Дои:10.1103 / PhysRevX.5.041041.

[1]

[2]

[3]

[4]