Топологическая квантовая теория поля - Topological quantum field theory

В калибровочная теория и математическая физика, а топологическая квантовая теория поля (или же топологическая теория поля или же TQFT) это квантовая теория поля который вычисляет топологические инварианты.

Хотя TQFT были изобретены физиками, они также представляют математический интерес, поскольку связаны, среди прочего, с теория узлов и теория четырехмерные многообразия в алгебраическая топология, и к теории пространства модулей в алгебраическая геометрия. Дональдсон, Джонс, Виттен, и Концевич все выиграли Поля медали за математические работы, связанные с топологической теорией поля.

В физика конденсированного состояния, топологические квантовые теории поля являются низкоэнергетическими эффективными теориями топологически упорядоченный государства, такие как дробный квантовый холл состояния, сетка конденсированные состояния и другие сильно коррелированная квантовая жидкость состояния.

В динамика все динамические системы с непрерывным временем, с шумом и без него, являются ТКТП типа Виттена, и явление спонтанного нарушения соответствующей топологической суперсимметрии охватывает такие хорошо установившиеся концепции, как хаос, турбулентность, 1 / f и треск шумы, самоорганизованная критичность и Т. Д.

Обзор

В топологической теории поля корреляционные функции не зависят от метрика из пространство-время. Это означает, что теория нечувствительна к изменениям формы пространства-времени; если пространство-время искажается или сжимается, корреляционные функции не меняются. Следовательно, они являются топологическими инвариантами.

На плоской поверхности топологические теории поля не очень интересны. Пространство-время Минковского используется в физике элементарных частиц. Пространство Минковского может быть сокращенный до точки, поэтому применение ТКТП к пространству Минковского приводит к тривиальным топологическим инвариантам. Следовательно, TQFT обычно применяются к искривленным пространствам-временам, таким как, например, Римановы поверхности. Большинство известных топологических теорий поля определены в пространстве-времени размерности меньше пяти. Кажется, что существует несколько многомерных теорий, но они не очень хорошо изучены.

Считается, что квантовая гравитация независимый от фона (в некотором подходящем смысле), а TQFT предоставляют примеры независимых от фона квантовых теорий поля. Это побудило к постоянным теоретическим исследованиям этого класса моделей.

(Предостережение: часто говорят, что TQFT имеют только конечное число степеней свободы. Это не фундаментальное свойство. Это верно в большинстве примеров, которые изучают физики и математики, но это не обязательно. Топологический сигма модель нацелена на бесконечномерное проективное пространство, и если бы такую вещь можно было определить, она имела бы счетное бесконечное число степеней свободы.)

Конкретные модели

Известные топологические теории поля делятся на два общих класса: ТКТП Шварца и ТКТП Виттена. ТКТП Виттена также иногда называют когомологическими теориями поля. Видеть (Шварц 2000 ).

TQFT типа Шварца

В TQFT типа Шварца, то корреляционные функции или же функции раздела системы вычисляются интегралом по путям не зависящих от метрики функционалов действия. Например, в Модель BF, пространство-время представляет собой двумерное многообразие M, наблюдаемые строятся из двумерной формы F, вспомогательного скаляра B и их производных. Действие (которое определяет интеграл по путям):

{ Displaystyle S = int _ {M} BF}

Метрика пространства-времени нигде в теории не фигурирует, поэтому теория явно топологически инвариантна. Первый экземпляр появился в 1977 году и связан с А. Шварц; Функционал его действия:

{ displaystyle int _ {M} A wedge dA.}

Другой более известный пример: Теория Черна – Саймонса, который можно применить к инварианты узлов. В общем случае статистические суммы зависят от метрики, но приведенные выше примеры не зависят от метрики.

TQFT типа Виттена

Первый пример TQFT типа Виттена появилась в статье Виттена в 1988 г. (Виттен 1988a ), т.е. топологическая теория Янга – Миллса в четырех измерениях. Хотя его функционал действия содержит метрику пространства-времени грамм_αβ, после топологический поворот он оказывается метрическим независимым. Независимость тензора энергии-импульса Т^αβ системы от метрики зависит от того, БРСТ-оператор закрыто. Следуя примеру Виттена, можно найти множество других примеров в теория струн.

ТКТП Виттена возникают при выполнении следующих условий:

Действие ${ displaystyle S}$ TQFT обладает симметрией, т.е. если ${ displaystyle delta}$ обозначает преобразование симметрии (например, Производная Ли ) тогда ${ displaystyle delta S = 0}$ держит.
Преобразование симметрии точный, т.е. ${ displaystyle delta ^ {2} = 0}$
Существуют существующие наблюдаемые ${ displaystyle O_ {1}, dots, O_ {n}}$ которые удовлетворяют ${ displaystyle delta O_ {i} = 0}$ для всех ${ Displaystyle я в {1, точки, п }}$ .
Тензор энергии-импульса (или аналогичные физические величины) имеет вид ${ Displaystyle Т ^ { альфа бета} = дельта G ^ { альфа бета}}$ для произвольного тензора ${ displaystyle G ^ { alpha beta}}$ .

В качестве примера (Линкер 2015 ): Для поля с двумя формами ${ displaystyle B}$ с дифференциальным оператором ${ displaystyle delta}$ который удовлетворяет ${ displaystyle delta ^ {2} = 0}$ , то действие ${ Displaystyle S = int _ {M} B wedge delta B}$ имеет симметрию, если ${ Displaystyle дельта В клин дельта В = 0}$ поскольку

{ displaystyle delta S = int _ {M} delta (B wedge delta B) = int _ {M} delta B wedge delta B + int _ {M} B wedge delta ^ {2} B = 0}

.

Далее, имеет место следующее (при условии, что ${ displaystyle delta}$ не зависит от ${ displaystyle B}$ и действует аналогично функциональная производная ):

{ displaystyle { frac { delta} { delta B ^ { alpha beta}}} S = int _ {M} { frac { delta} { delta B ^ { alpha beta}} } B wedge delta B + int _ {M} B wedge delta { frac { delta} { delta B ^ { alpha beta}}} B = int _ {M} { frac { delta} { delta B ^ { alpha beta}}} B wedge delta B- int _ {M} delta B wedge { frac { delta} { delta B ^ { alpha beta}}} B = -2 int _ {M} delta B wedge { frac { delta} { delta B ^ { alpha beta}}}} B}

.

Выражение ${ displaystyle { frac { delta} { delta B ^ { alpha beta}}} S}$ пропорционально ${ displaystyle delta G}$ с другой 2-формой ${ displaystyle G}$ .

Теперь любые средние наблюдаемые ${ displaystyle left langle O_ {i} right rangle: = int d mu O_ {i} e ^ {iS}}$ для соответствующих Мера Хаара ${ displaystyle mu}$ не зависят от "геометрического" поля ${ displaystyle B}$ и поэтому топологичны:

{ displaystyle { frac { delta} { delta B}} left langle O_ {i} right rangle = int d mu O_ {i} i { frac { delta} { delta B }} Se ^ {iS} propto int d mu O_ {i} delta Ge ^ {iS} = delta left ( int d mu O_ {i} Ge ^ {iS} right) = 0 }

.

Третье равенство использует тот факт, что ${ displaystyle delta O_ {i} = delta S = 0}$ и инвариантность меры Хаара относительно преобразований симметрии. С ${ displaystyle int d mu O_ {i} Ge ^ {iS}}$ всего лишь число, его производная Ли равна нулю.

Математические постановки

Оригинальные аксиомы Атьи-Сигала

Атья предложил набор аксиом для топологической квантовой теории поля, вдохновленный Сегал предложенные аксиомы для конформная теория поля (впоследствии идея Сигала была изложена в Сигал (2001) ), и геометрический смысл Виттена суперсимметрии в Виттен (1982). Аксиомы Атьи построены путем склеивания границы с дифференцируемым (топологическим или непрерывным) преобразованием, в то время как аксиомы Сигала предназначены для конформных преобразований. Эти аксиомы были относительно полезны для математической обработки КТП типа Шварца, хотя неясно, охватывают ли они всю структуру КТП типа Виттена. Основная идея состоит в том, что TQFT - это функтор от определенного категория из кобордизмы в категорию векторные пространства.

На самом деле существует два разных набора аксиом, которые с полным основанием можно назвать аксиомами Атьи. Эти аксиомы различаются в основном тем, применимы ли они к TQFT, определенному на одном фиксированном п-мерное риманово / лоренцево пространство-время M или TQFT, определенный на всех п-мерные пространства-времени сразу.

Пусть Λ - коммутативное кольцо с 1 (почти для всех реальных целей мы будем иметь Λ = Z, р или же C). Первоначально Атья предложил аксиомы топологической квантовой теории поля (ТКПП) в размерности d определяется над основным кольцом Λ следующим образом:

Конечно порожденный Λ-модуль Z(Σ), ассоциированное с каждым ориентированным замкнутым гладким d-мерным многообразием Σ (соответствующее гомотопия аксиома),
Элемент Z(M) ∈ Z(∂M), связанный с каждой ориентированной гладкой (d + 1) -мерное многообразие (с краем) M (соответствует добавка аксиома).

Эти данные подчиняются следующим аксиомам (4 и 5 были добавлены Атьей):

Z является функториальный относительно сохранения ориентации диффеоморфизмы Σ и M,
Z является инволютивный, т.е. Z(Σ *) = Z(Σ) *, где Σ * - Σ с противоположной ориентацией и Z(Σ) * обозначает дуальный модуль,
Z является мультипликативный.
Z( ${ displaystyle emptyset}$ ) = Λ для d-мерного пустого многообразия и Z( ${ displaystyle emptyset}$ ) = 1 для (d + 1) -мерное пустое многообразие.
Z(М *) = Z(M) (в эрмитский аксиома). Если ${ displaystyle partial M = Sigma _ {0} ^ {*} cup Sigma _ {1}}$ так что Z(M) можно рассматривать как линейное преобразование между эрмитовыми векторными пространствами, то это эквивалентно Z(М *) являясь соплеменником Z(M).

Замечание. Если для замкнутого коллектора M мы рассматриваем Z(M) как числовой инвариант, то для многообразия с краем следует думать о Z(M) ∈ Z(∂M) как «относительный» инвариант. Позволять ж : Σ → Σ - диффеоморфизм, сохраняющий ориентацию, и отождествляют противоположные концы Σ × я к ж. Это дает многообразие Σ_ж и наши аксиомы подразумевают

{ Displaystyle Z ( Sigma _ {f}) = operatorname {Trace} Sigma (f)}

где Σ (ж) - индуцированный автоморфизм Z(Σ).

Замечание. Для многообразия M с границей Σ всегда можно образовать дубль ${ Displaystyle M чашка _ { Sigma} M ^ {*}}$ которое является замкнутым многообразием. Пятая аксиома показывает, что

{ Displaystyle Z влево (M чашка _ { Sigma} M ^ {*} right) = | Z (M) | ^ {2}}

где справа мы вычисляем норму в эрмитовой (возможно, неопределенной) метрике.

Отношение к физике

Физически (2) + (4) связаны с релятивистской инвариантностью, а (3) + (5) указывают на квантовую природу теории.

Σ предназначен для обозначения физического пространства (обычно d = 3 для стандартной физики) и дополнительное измерение в Σ × я это «мнимое» время. Космос Z(M) это Гильбертово пространство квантовой теории и физической теории, с Гамильтониан ЧАС, будет оператор эволюции во времени е^это или оператор "мнимого времени" е^−tH. Основная особенность топологический QFT - это ЧАС = 0, что означает отсутствие реальной динамики или распространения вдоль цилиндра Σ × я. Однако может быть нетривиальное «распространение» (или туннельные амплитуды) от Σ₀ к Σ₁ через промежуточный коллектор M с ${ displaystyle partial M = Sigma _ {0} ^ {*} cup Sigma _ {1}}$ ; это отражает топологию M.

Если ∂M = Σ, то выделенный вектор Z(M) в гильбертовом пространстве Z(Σ) рассматривается как состояние вакуума определяется M. Для замкнутого коллектора M номер Z(M) это ожидаемое значение вакуума. По аналогии с статистическая механика его также называют функция распределения.

Причина, по которой теория с нулевым гамильтонианом может быть разумно сформулирована, заключается в Интеграл по путям Фейнмана подход к QFT. Это включает релятивистскую инвариантность (которая применяется к общим (d + 1) -мерное "пространство-время"), и теория формально определяется подходящим Лагранжиан - функционал классических полей теории. Лагранжиан, который включает только первые производные по времени, формально приводит к нулевому гамильтониану, но сам лагранжиан может иметь нетривиальные особенности, связанные с топологией M.

Примеры Атьи

В 1988 г. М. Атья опубликовал работу, в которой описал множество новых примеров топологической квантовой теории поля, которые рассматривались в то время (Атья 1988 ). Он содержит несколько новых топологические инварианты вместе с некоторыми новыми идеями: Инвариант Кэссона, Инвариант Дональдсона, Теория Громова, Гомология Флора и Теория Джонса-Виттена.

d = 0

В этом случае Σ состоит из конечного числа точек. Одной точке мы связываем векторное пространство V = Z(точка) и пуказывает на п-кратное тензорное произведение: V^⊗п = V ⊗ … ⊗ V. В симметричная группа S_п действует на V^⊗п. Стандартный способ получить квантовое гильбертово пространство - начать с классического симплектическое многообразие (или же фазовое пространство ), а затем его квантовать. Продлим S_п компактной группе Ли грамм и рассмотрим «интегрируемые» орбиты, для которых симплектическая структура возникает из линейный пакет, то квантование приводит к неприводимым представлениям V из грамм. Это физическая интерпретация Теорема Бореля – Вейля. или Теорема Бореля – Вейля – Ботта.. Лагранжианом этих теорий является классическое действие (голономия линейного пучка). Таким образом, топологические КТП с d = 0 естественно связаны с классическим теория представлений из Группы Ли и Группа симметрии.

d = 1

Мы должны рассматривать периодические граничные условия, заданные замкнутыми петлями в компактном симплектическом многообразии Икс. Вместе с Виттен (1982) голономия таких петель, которые используются в случае d = 0 как лагранжиан, затем используются для модификации гамильтониана. Для закрытой поверхности M инвариант Z(M) теории - это количество псевдоголоморфные отображения ж : M → Икс в смысле Громова (они обычные голоморфные отображения если Икс это Кэлерово многообразие ). Если это число становится бесконечным, т.е. если есть «модули», то мы должны зафиксировать дальнейшие данные по M. Это можно сделать, указав несколько точек п_я а затем глядя на голоморфные карты ж : M → Икс с ж(п_я) вынужден лежать на фиксированной гиперплоскости. Виттен (1988b) записал соответствующий лагранжиан для этой теории. Флоер подвергся строгому обращению, т. Е. Гомология Флора, на основе Виттена (1982) Теория Морса идеи; для случая, когда граничные условия лежат на интервале, а не являются периодическими, начальная и конечная точки пути лежат на двух фиксированных Лагранжевы подмногообразия. Эта теория была разработана как Инвариант Громова – Виттена. теория.

Другой пример Голоморфный Конформная теория поля. В то время это не могло считаться строго топологической квантовой теорией поля, потому что гильбертовы пространства бесконечномерны. Конформные теории поля также связаны с компактной группой Ли грамм в котором классическая фаза состоит из центрального расширения группа петель (LG). Их квантование дает гильбертовы пространства теории неприводимых (проективных) представлений LG. Группа Diff₊(S¹) теперь заменяет симметрическую группу и играет важную роль. В результате статистическая сумма в таких теориях зависит от сложная структура, поэтому он не является чисто топологическим.

d = 2

Теория Джонса-Виттена - самая важная теория в этом случае. Здесь классическое фазовое пространство, связанное с замкнутой поверхностью Σ, является пространством модулей плоского грамм-расслоение над Σ. Лагранжиан является целым кратным Функция Черна – Саймонса из грамм-соединение на 3-х многообразии (которое необходимо «оформить»). Целое кратное k, называемый уровнем, является параметром теории и k → ∞ дает классический предел. Эта теория естественным образом сочетается с d = 0 теории, чтобы произвести "относительную" теорию. Детали были описаны Виттеном, который показывает, что статистическая сумма для (обрамленной) связи в 3-сфере - это просто значение Многочлен Джонса для подходящего корня единства. Теорию можно определить над соответствующими круговое поле, видеть Атья (1988). Рассматривая Риманова поверхность с границей, мы можем связать его с d = 1 конформная теория вместо связи d = 2 теории к d = 0. Это развилось в теорию Джонса – Виттена и привело к открытию глубокой связи между теория узлов и квантовая теория поля.

d = 3

Дональдсон определил целочисленный инвариант гладких 4-многообразий, используя пространства модулей SU (2) -инстантонов. Эти инварианты являются полиномами от вторых гомологий. Таким образом, 4-многообразия должны иметь дополнительные данные, состоящие из симметрической алгебры ЧАС₂. Виттен (1988a) создал суперсимметричный лагранжиан, формально воспроизводящий теорию Дональдсона. Формулу Виттена можно понять как бесконечномерный аналог формулы Теорема Гаусса – Бонне. Позднее эта теория получила дальнейшее развитие и стала Калибровочная теория Зайберга – Виттена который сводит SU (2) к U (1) в N = 2, d = 4 калибровочная теория. Гамильтонова версия теории была развита Флоер в терминах пространства связностей на 3-многообразии. Флоер использует Функция Черна – Саймонса, который является лагранжианом теории Джонса-Виттена для модификации гамильтониана. Подробнее см. Атья (1988). Виттен (1988a) также показал, как можно соединить d = 3 и d = 1 теории вместе: это вполне аналогично связи между d = 2 и d = 0 в теории Джонса – Виттена.

Теперь топологическая теория поля рассматривается как функтор не по фиксированному размеру, а по всем измерениям одновременно.

Случай фиксированного пространства-времени

Позволять Борд_M - категория, морфизмы которой п-размерный подмногообразия из M и чьи объекты связаны компоненты границ таких подмногообразий. Считайте два морфизма эквивалентными, если они гомотопный через подмногообразия M, и, таким образом, образуют фактор-категорию hBord_M: Объекты в hBord_M являются объектами Борд_M, а морфизмы hBord_M являются классами гомотопической эквивалентности морфизмов в Борд_M. TQFT на M это симметричный моноидальный функтор из hBord_M в категорию векторных пространств.

Обратите внимание, что кобордизмы, если их границы совпадают, могут быть сшиты вместе, чтобы сформировать новый бордизм. Это закон композиции для морфизмов категории кобордизмов. Поскольку для сохранения композиции требуются функторы, это означает, что линейная карта, соответствующая сшитому морфизму, является просто композицией линейной карты для каждой части.

Существует эквивалентность категорий между категорией двумерных топологических квантовых теорий поля и категорией коммутативных Алгебры Фробениуса.

Все п-мерные пространства-времени сразу

В пара штанов является (1 + 1) -мерным бордизмом, который соответствует произведению или копроизведению в 2-мерном TQFT.

Чтобы учесть все пространства-времени сразу, необходимо заменить hBord_M по большей категории. Так что давайте Борд_п - категория бордизмов, т.е. категория, морфизмы которой п-мерные многообразия с краем, объектами которых являются компоненты связности границ n-мерных многообразий. (Обратите внимание, что любой (п−1) -мерное многообразие может появиться как объект в Борд_п.) Как и выше, рассмотрим два морфизма в Борд_п как эквивалентные, если они гомотопны и образуют фактор-категорию hBord_п. Борд_п это моноидальная категория при операции, переводящей два бордизма в бордизм, образованный их несвязным объединением. TQFT на п-мерное многообразие тогда является функтором из hBord_п в категорию векторных пространств, которая отображает непересекающиеся объединения бордизмов в их тензорное произведение.

Например, для (1 + 1) -мерных бордизмов (2-мерных бордизмов между 1-мерными многообразиями) отображение, ассоциированное с пара штанов дает продукт или копроизведение, в зависимости от того, как сгруппированы компоненты границы - который является коммутативным или кокоммутативным, в то время как карта, связанная с диском, дает счетчик (след) или единицу (скаляры), в зависимости от группировки компонентов границы, и, таким образом, (1 + 1) -мерные ТКПП соответствуют Алгебры Фробениуса.

Более того, мы можем рассматривать одновременно 4-мерные, 3-мерные и 2-мерные многообразия, связанные вышеуказанными бордизмами, и из них мы можем получить обширные и важные примеры.

Развитие в более позднее время

Глядя на развитие топологической квантовой теории поля, мы должны рассмотреть ее многочисленные приложения к Калибровочная теория Зайберга – Виттена, топологическая теория струн, отношения между теория узлов и квантовая теория поля, и инварианты квантовых узлов. Кроме того, это вызвало большой интерес как в математике, так и в физике. Также важный интерес в последнее время вызывают нелокальные операторы в TQFT (Гуков и Капустин (2013) ). Если теория струн рассматривается как фундаментальная, то нелокальные ТКТП можно рассматривать как нефизические модели, обеспечивающие вычислительно эффективное приближение к локальной теории струн.

ТКТП типа Виттена и динамические системы

Стохастические (частные) дифференциальные уравнения (СДУ) являются основой для моделей всего в природе выше шкалы квантового вырождения и когерентности и, по сути, являются ТКТП Виттена. Все СДУ обладают топологической или БРСТ-суперсимметрией, ${ displaystyle delta}$ , а в операторном представлении стохастической динамики - внешняя производная, который коммутативен с оператором стохастической эволюции. Эта суперсимметрия сохраняет непрерывность фазового пространства за счет непрерывных потоков, а явление суперсимметричного спонтанного пробоя глобальным несуперсимметричным основным состоянием охватывает такие хорошо установившиеся физические концепции, как хаос, турбулентность, 1 / f и треск шумы, самоорганизованная критичность и т. д. Топологический сектор теории любого СДУ можно распознать как ТКТП Виттена.