Арифметическая топология - Arithmetic topology

Арифметическая топология это область математика это комбинация алгебраическая теория чисел и топология. Он устанавливает аналогию между числовые поля и закрытый, ориентируемый 3-х коллектор.

Аналогии

Ниже приведены некоторые из аналогий, используемых математиками между числовыми полями и 3-многообразиями:[1]

  1. Числовое поле соответствует замкнутому ориентируемому трехмерному многообразию
  2. Идеалы в кольце целых чисел соответствуют ссылки, и главные идеалы соответствуют узлам.
  3. Поле Q из рациональное число соответствует 3-сфера.

Продолжая два последних примера, можно провести аналогию между узлы и простые числа в котором рассматриваются «связи» между простыми числами. Тройка простых чисел (13, 61, 937) "связаны" по модулю 2 ( Символ Редеи равно −1), но являются "попарно несвязанными" по модулю 2 ( Лежандровые символы все 1). Поэтому эти простые числа были названы «правильной тройкой Борромео по модулю 2».[2] или «mod 2 простых чисел Борромео».[3]

История

В 1960-х годах топологические интерпретации теория поля классов были даны Джон Тейт[4] на основе Когомологии Галуа, а также Майкл Артин и Жан-Луи Вердье[5] на основе Этальные когомологии. потом Дэвид Мамфорд (и независимо Юрий Манин ) провел аналогию между главные идеалы и узлы[6] который был дополнительно исследован Барри Мазур.[7][8] В 1990-е годы Резников[9] и Капранов[10] начал изучать эти аналогии, придумав термин арифметическая топология для этой области исследования.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Сикора, Адам С. «Аналогии между групповыми действиями на трехмерных многообразиях и числовыми полями». Commentarii Mathematici Helvetici 78.4 (2003): 832-844.
  2. ^ Фогель, Денис (13 февраля 2004 г.), Произведения Масси в когомологиях Галуа числовых полей, урна: nbn: de: bsz: 16-opus-44188
  3. ^ Моришита, Масанори (22 апреля 2009 г.), Аналогии между узлами и простыми числами, 3-многообразиями и числовыми кольцами, arXiv:0904.3399, Bibcode:2009arXiv0904.3399M
  4. ^ Дж. Тейт, Теоремы двойственности в когомологиях Галуа над числовыми полями, (Proc. Intern. Cong. Stockholm, 1962, p. 288-295).
  5. ^ М. Артин, Ж.-Л. Вердье, Семинар по этальным когомологиям числовых полей, Woods Hole В архиве 26 мая 2011 г. Wayback Machine, 1964.
  6. ^ Кто придумал аналогию с простым числом = узлом? В архиве 18 июля 2011 г. Wayback Machine, neverendingbooks, блог ливен ле брюн, 16 мая 2011 г.,
  7. ^ Замечания о полиноме Александра Барри Мазур, 1964 год.
  8. ^ Б. Мазур, Замечания об этальных когомологиях числовых полей, Анна. ученый. ´Ec. Норма. Как дела. 6 (1973), 521-552.
  9. ^ А. Резников, Теория полей классов трехмерных многообразий (гомологии накрытий невиртуально b1-положительного многообразия), Сел. математика. Новый сер. 3, (1997), 361–399.
  10. ^ М. Капранов, Аналогии между соответствием Ленглендса и топологической квантовой теорией поля, Progress in Math., 131, Birkhäuser, (1995), 119–151.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка