Диофантова геометрия - Diophantine geometry

В математике Диофантова геометрия это изучение точек алгебраические многообразия с координатами в целые числа, рациональное число, и их обобщения. Эти обобщения обычно поля это не алгебраически замкнутый, Такие как числовые поля, конечные поля, функциональные поля, и п-адические поля (но не действительные числа которые используются в действительная алгебраическая геометрия ). Это подразделение арифметическая геометрия и один из подходов к теории Диофантовы уравнения, формулируя вопросы о таких уравнениях в терминах алгебраическая геометрия.

Одно уравнение определяет гиперповерхность, а совместные диофантовы уравнения порождают общую алгебраическое многообразие V над K; типичный вопрос о характере набора V(K) точек на V с координатами в K, а с помощью функции высоты Могут быть поставлены количественные вопросы о «размере» этих решений, а также качественные вопросы о том, существуют ли какие-либо точки, и если да, то существует ли их бесконечное число. Учитывая геометрический подход, рассмотрение однородные уравнения и однородные координаты является фундаментальным по тем же причинам, что и проективная геометрия является доминирующим подходом в алгебраической геометрии. Поэтому в первую очередь следует учитывать рациональные числовые решения; но интегральные решения (т.е. точки решетки ) можно рассматривать так же, как аффинное разнообразие можно рассматривать внутри проективного многообразия, имеющего дополнительные указывает на бесконечность.

Общий подход диофантовой геометрии иллюстрируется Теорема Фальтингса (гипотеза Л. Дж. Морделл ) заявив, что алгебраическая кривая C из род грамм > 1 над рациональными числами имеет только конечное число рациональные точки. Первым результатом такого рода могла быть теорема Гильберта и Гурвица, относящаяся к случаю грамм = 0. Теория состоит как из теорем, так и из множества гипотез и открытых вопросов.

Фон

Серж Ланг опубликовал книгу Диофантова геометрия в этом районе в 1962 году. Традиционно материал по диофантовым уравнениям располагался по степени и количеству переменных, как в книге Морделла. Диофантовы уравнения (1969). Книга Морделла начинается с замечания об однородных уравнениях. ж = 0 над рациональным полем, приписываемым К. Ф. Гаусс, что ненулевые решения в целых числах (даже примитивные точки решетки) существуют, если ненулевые рациональные решения существуют, и отмечает предостережение Л. Э. Диксон, который касается параметрических решений.^[1] Результат Гильберта – Гурвица 1890 года, сводящий диофантову геометрию кривых рода 0 к степеням 1 и 2 (конические секции ) встречается в главе 17, как и гипотеза Морделла. Теорема Зигеля о целых точках происходит в главе 28. Теорема морделла на конечном порождении группы рациональных точек на эллиптическая кривая находится в главе 16, а целые точки на Кривая морделла в главе 26.

Во враждебной рецензии на книгу Лэнга Морделл писал:

В последнее время были разработаны мощные новые геометрические идеи и методы, с помощью которых были найдены и доказаны важные новые арифметические теоремы и связанные с ними результаты, и некоторые из них нелегко доказать иначе. Кроме того, существовала тенденция облекать старые результаты, их расширения и доказательства на новый геометрический язык. Однако иногда все последствия результатов лучше всего описать в геометрической обстановке. Лэнг очень много думает об этих аспектах в этой книге и, кажется, не упускает возможности для геометрического представления. Отсюда его титул «Диофантова геометрия».^[2]

Он отмечает, что содержание книги в основном является версиями Теорема Морделла – Вейля., Теорема Туэ – Зигеля – Рота., Теорема Зигеля, с учетом Теорема Гильберта о неприводимости и приложения (в стиле Зигеля). Не говоря уже о вопросах общности и совершенно разном стиле, основное математическое различие между двумя книгами состоит в том, что Лэнг использовал абелевы разновидности и предложил доказательство теоремы Зигеля, в то время как Морделл отметил, что доказательство «носит очень продвинутый характер» (стр. 263).

Несмотря на поначалу плохую прессу, концепция Лэнга была достаточно широко принята, чтобы в 2006 году книга была названа «провидческой».^[3] Поле большего размера иногда называют арифметика абелевых многообразий теперь включает диофантову геометрию вместе с теория поля классов, комплексное умножение, локальные дзета-функции и L-функции.^[4] Пол Войта написал:

В то время как другие разделяли эту точку зрения (например, Weil, Тейт, Серр ), легко забыть, что другие этого не сделали, поскольку обзор Морделла Диофантова геометрия свидетельствует.^[5]

Смотрите также

• Глоссарий арифметики и диофантовой геометрии

Рекомендации

• «Диофантова геометрия», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

Примечания

1. Морделл, Луи Дж. (1969). Диофантовы уравнения. Академическая пресса. п. 1. ISBN  978-0125062503.
2. "Морделл: Обзор: Серж Ланг, Диофантова геометрия". Projecteuclid.org. 2007-07-04. Получено 2015-10-07.
3. Марк Хиндри. "La géométrie diophantienne, selon Serge Lang" (PDF). Gazette des mathématiciens. Получено 2015-10-07.
4. «Алгебраические многообразия, арифметика», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
5. Джей Йоргенсон; Стивен Г. Кранц. "Математический вклад Сержа Ланга" (PDF). Ams.org. Получено 2015-10-07.

дальнейшее чтение

• Бейкер, Алан; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия. Новые математические монографии. 9. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88268-2. Zbl  1145.11004.
• Бомбьери, Энрико; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии. Новые математические монографии. 4. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-71229-3. Zbl  1115.11034.
• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: введение. Тексты для выпускников по математике. 201. ISBN  0-387-98981-1. Zbl  0948.11023.
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии. Springer-Verlag. ISBN  3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.

внешняя ссылка

• Обзор Ланга Морделла Диофантовы уравнения
• Обзор Морделла Ланга Диофантова геометрия