Геометрия чисел - Geometry of numbers

Геометрия чисел является частью теория чисел который использует геометрия для изучения алгебраические числа. Обычно кольцо целых алгебраических чисел рассматривается как решетка в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ и изучение этих решеток дает фундаментальную информацию об алгебраических числах.^[1] Геометрия чисел была инициирована Герман Минковски  (1910 ).

Геометрия чисел имеет тесную связь с другими областями математики, особенно с функциональный анализ и Диофантово приближение, проблема поиска рациональное число что приблизительно иррациональная величина.^[2]

Результаты Минковского

Основная статья: Теорема Минковского

Предположим, что ${\displaystyle \Gamma }$ это решетка в ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle K}$ - выпуклое центрально-симметричное тело.Теорема Минковского, иногда называемая первой теоремой Минковского, утверждает, что если ${\displaystyle \operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$, тогда ${\displaystyle K}$ содержит ненулевой вектор в ${\displaystyle \Gamma }$.

Основная статья: Вторая теорема Минковского

Последовательный минимум ${\displaystyle \lambda _{k}}$ определяется как инф номеров ${\displaystyle \lambda }$ такой, что ${\displaystyle \lambda K}$ содержит ${\displaystyle k}$ линейно независимые векторы ${\displaystyle \Gamma }$Теорема Минковского о последовательные минимумы иногда называют Вторая теорема Минковского, является усилением его первой теоремы и утверждает, что^[3]

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$.

Более поздние исследования в геометрии чисел

В 1930-1960 гг. Исследования геометрии чисел вели многие теоретики чисел (включая Луи Морделл, Гарольд Давенпорт и Карл Людвиг Сигель ). В последние годы Ленстра, Брион и Барвинок разработали комбинаторные теории, которые перечисляют точки решетки в некоторых выпуклых телах.^[4]

Теорема В. М. Шмидта о подпространстве

Основная статья: Теорема о подпространстве

Смотрите также: Лемма Зигеля, объем (математика), детерминант, и Параллелепипед

В геометрии чисел теорема о подпространстве был получен Вольфганг М. Шмидт в 1972 г.^[5] В нем говорится, что если п положительное целое число, и L₁,...,L_п находятся линейно независимый линейный формы в п переменные с алгебраический коэффициентов, и если ε> 0 - любое заданное действительное число, то ненулевые целые точки Икс в п координирует с

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }}$

лежат в конечном числе собственные подпространства из Q^п.

Влияние на функциональный анализ

Основная статья: нормированное векторное пространство

Смотрите также: Банахово пространство и F-пространство

Геометрия чисел Минковского оказала глубокое влияние на функциональный анализ. Минковский доказал, что симметричные выпуклые тела индуцируют нормы в конечномерных векторных пространствах. Теорема Минковского была обобщена на топологические векторные пространства к Колмогоров, чья теорема утверждает, что симметричные выпуклые множества, которые являются замкнутыми и ограниченными, порождают топологию Банахово пространство.^[6]

Исследователи продолжают изучать обобщения звездные наборы и другие невыпуклые множества.^[7]

Рекомендации

1. Классификация MSC, 2010, доступна по адресу http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Классификация 11HXX.
2. Книги Шмидта. Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász.
3. Касселс (1971) стр. 203
4. Грёчель и другие, Ловас и другие, Ловас и Бек и Робинс.
5. Шмидт, Вольфганг М. Уравнения нормальной формы. Анна. Математика. (2) 96 (1972), стр. 526-551. См. Также книги Шмидта; сравните Бомбьери и Ваалера, а также Бомбьери и Гублера.
6. О теореме Колмогорова о нормируемости см. Вальтер Рудин. Функциональный анализ. Для получения дополнительных результатов см. Schneider и Thompson, а также Kalton et al.
7. Kalton et al. Гарднер

Библиография

• Матиас Бек, Синай Робинс. Вычисление непрерывного дискретного: перечисление целых точек в многогранниках, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, 2007.
• Энрико Бомбьери; Ваалер, Дж. (Февраль 1983 г.). «По лемме Зигеля». Inventiones Mathematicae. 73 (1): 11–32. Bibcode:1983InMat..73 ... 11B. Дои:10.1007 / BF01393823. S2CID  121274024.
• Энрико Бомбьери И Вальтер Габлер (2006). Высоты в диофантовой геометрии. Кембридж U. P.
• Дж. В. С. Касселс. Введение в геометрию чисел. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (переиздание изданий Springer-Verlag 1959 и 1971 годов).
• Джон Хортон Конвей и Н. Дж. А. Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы, Springer-Verlag, NY, 3-е изд., 1998.
• Р. Дж. Гарднер, Геометрическая томография, Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк, 1995 г. Второе издание: 2006 г.
• П. М. Грубер, Выпуклая и дискретная геометрия, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2007.
• П. М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Vol. А. Б, Северная Голландия, Амстердам, 1993 г.
• М. Грётшель, Ловас, Л., А. Шрайвер: Геометрические алгоритмы и комбинаторная оптимизация, Спрингер, 1988
• Хэнкок, Харрис (1939). Развитие геометрии чисел Минковского. Макмиллан. (Переиздано в 1964 г. в Dover.)
• Эдмунд Глэвка, Йоханнес Шойссенгайер, Рудольф Ташнер. Геометрическая и аналитическая теория чисел. Universitext. Спрингер-Верлаг, 1991.
• Калтон, Найджел Дж.; Пек, Н. Тенни; Робертс, Джеймс У. (1984), Сэмплер F-пространства, Серия лекций Лондонского математического общества, 89, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. Xii + 240, ISBN  0-521-27585-7, МИСТЕР  0808777
• К. Г. Леккеркереркер. Геометрия чисел. Wolters-Noordhoff, Северная Голландия, Wiley. 1969 г.
• Ленстра, А.К.; Lenstra, H. W. Jr.; Ловас, Л. (1982). «Факторинг многочленов с рациональными коэффициентами» (PDF). Mathematische Annalen. 261 (4): 515–534. Дои:10.1007 / BF01457454. HDL:1887/3810. МИСТЕР  0682664. S2CID  5701340.
• Ловас, Л.: Алгоритмическая теория чисел, графов и выпуклости, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
• Малышев, А. (2001) [1994], «Геометрия чисел», Энциклопедия математики, EMS Press
• Минковский, Германн (1910), Geometrie der Zahlen, Лейпциг и Берлин: Р. Г. Тойбнер, JFM  41.0239.03, МИСТЕР  0249269, получено 2016-02-28
• Вольфганг М. Шмидт. Диофантово приближение. Конспект лекций по математике 785. Springer. (1980 [1996 год с небольшими исправлениями])
• Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения. Конспект лекций по математике. 1467 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  3-540-54058-Х. Zbl  0754.11020.
• Сигель, Карл Людвиг (1989). Лекции по геометрии чисел. Springer-Verlag.
• Рольф Шнайдер, Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993.
• Энтони С. Томпсон, Геометрия Минковского, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1996.
• Герман Вейль. Теория редукции для арифметической эквивалентности. Пер. Амер. Математика. Soc. 48 (1940) 126–164. Дои:10.1090 / S0002-9947-1940-0002345-2
• Герман Вейль. Теория редукции для арифметической эквивалентности. II. Пер. Амер. Математика. Soc. 51 (1942) 203–231. Дои:10.2307/1989946