Выпуклая геометрия - Convex geometry

В математика, выпуклая геометрия это филиал геометрия изучение выпуклые множества, в основном в Евклидово пространство. Выпуклые множества естественным образом встречаются во многих областях: вычислительная геометрия, выпуклый анализ, дискретная геометрия, функциональный анализ, геометрия чисел, интегральная геометрия, линейное программирование, теория вероятности, теория игры, так далее.

Классификация

Согласно Классификация предметов математики MSC2010,[1] математическая дисциплина Выпуклая и дискретная геометрия включает три основных направления:[2]

  • общая выпуклость
  • многогранники и многогранники
  • дискретная геометрия

(хотя только части последних двух включены в выпуклую геометрию).

Общая выпуклость далее подразделяется на:[3]

  • аксиоматическая и обобщенная выпуклость
  • выпуклые множества без ограничений размерности
  • выпуклые множества в топологических векторных пространствах
  • выпуклые множества в 2-х измерениях (включая выпуклые кривые)
  • выпуклые множества в 3-х измерениях (включая выпуклые поверхности)
  • выпуклые множества в п размеры (включая выпуклые гиперповерхности)
  • конечномерные банаховы пространства
  • случайные выпуклые множества и интегральная геометрия
  • асимптотическая теория выпуклых тел
  • аппроксимация выпуклыми множествами
  • варианты выпуклых множеств (звездчатые, (м, н) -выпуклые и т. д.)
  • Теоремы типа Хелли и геометрическая теория трансверсалей
  • другие проблемы комбинаторной выпуклости
  • длина, площадь, объем
  • смешанные объемы и связанные темы
  • оценки выпуклых тел
  • неравенства и экстремальные задачи
  • выпуклые функции и выпуклые программы
  • сферическая и гиперболическая выпуклость

Период, термин выпуклая геометрия также используется в комбинаторика как альтернативное название для антиматроид, которая является одной из абстрактных моделей выпуклых множеств.

Историческая справка

Выпуклая геометрия - относительно молодая математическая дисциплина. Хотя первые известные вклады в выпуклую геометрию относятся к античности и прослеживаются в работах Евклид и Архимед, он стал самостоятельным разделом математики на рубеже 20-го века, в основном благодаря работам Герман Брунн и Герман Минковски во втором и третьем измерениях. Большая часть их результатов вскоре была обобщена на пространства более высоких размерностей, и в 1934 г. Т. Боннесен и В. Фенчел дал исчерпывающий обзор выпуклой геометрии в Евклидово пространство рп. Дальнейшее развитие выпуклой геометрии в 20 веке и ее связь с многочисленными математическими дисциплинами кратко изложены в Справочник по выпуклой геометрии под редакцией П. М. Грубера и Дж. М. Уиллса.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Сайт предметной классификации математики MSC2010
  2. ^ Классификация предметов по математике MSC2010, статья 52 «Выпуклая и дискретная геометрия»
  3. ^ Классификация предметов по математике MSC2010, статья 52A "Общая выпуклость"

Рекомендации

Разъяснительные статьи по выпуклой геометрии

  • К. Болл, Элементарное введение в современную выпуклую геометрию, в: Вкус геометрии, стр. 1–58, Math. Sci. Res. Inst. Publ. Vol. 31, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, доступно онлайн.
  • М. Бергер, Выпуклость, Амер. Математика. Ежемесячно, Vol. 97 (1990), 650–678. DOI: 10.2307/2324573
  • П. М. Грубер, Аспекты выпуклости и ее применения, Экспозиция. Math., Vol. 2 (1984), 47–83.
  • В. Клее, Что такое выпуклое множество? Амер. Математика. Ежемесячно, Vol. 78 (1971), 616–631, DOI: 10.2307/2316569

Книги по выпуклой геометрии

  • Т. Боннесен, В. Фенчель, Theorie der konvexen Körper, Юлиус Шпрингер, Берлин, 1934. Английский перевод: Теория выпуклых тел, BCS Associates, Москва, ИД, 1987.
  • Р. Дж. Гарднер, Геометрическая томография, Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк, 1995 г. Второе издание: 2006 г.
  • П. М. Грубер, Выпуклая и дискретная геометрия, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2007.
  • П. М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Vol. А. Б, Северная Голландия, Амстердам, 1993 г.
  • Г. Пизье, Объем выпуклых тел и геометрия банахова пространства, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1989.
  • Р. Шнайдер, Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993.
  • А. С. Томпсон, Геометрия Минковского, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1996.
  • А. Колдобский, В. Яскин, Интерфейс между выпуклой геометрией и гармоническим анализом, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008 г.

Статьи по истории выпуклой геометрии

  • В. Фенчел, Выпуклость сквозь века, (Датское) Датское математическое общество (1929–1973), стр. 103–116, Данск. Мат. Forening, Копенгаген, 1973 г. Перевод на английский язык: Выпуклость сквозь века, в: П. ​​М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Выпуклость и ее приложения, стр. 120–130, Birkhauser Verlag, Базель, 1983.
  • П. М. Грубер, Zur Geschichte der Konvexgeometrie und der Geometrie der Zahlen, в: G. Fischer, et al. (редакторы), Ein Jahrhundert Mathematik 1890–1990, стр. 421–455, Dokumente Gesch. Math., Vol. 6, F. Wieweg and Sohn, Брауншвейг; Deutsche Mathematiker Vereinigung, Фрайбург, 1990.
  • П. М. Грубер, История выпуклости, в: П. ​​М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Vol. A, стр. 1–15, Северная Голландия, Амстердам, 1993.

внешняя ссылка