Смешанный объем - Mixed volume

В математика в частности, в выпуклая геометрия, то смешанный объем это способ связать неотрицательное число с ${\displaystyle r}$пара из выпуклые тела в ${\displaystyle n}$-размерный Космос. Это количество зависит от размера и формы тел, а также от их взаимной ориентации.

Определение

Позволять ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{r}}$ быть выпуклыми телами в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и рассмотрим функцию

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i}\geq 0,}$

куда ${\displaystyle {\text{Vol}}_{n}}$ стоит за ${\displaystyle n}$-мерный объем и его аргументом является Сумма Минковского масштабированных выпуклых тел ${\displaystyle K_{i}}$. Можно показать, что ${\displaystyle f}$ это однородный многочлен степени ${\displaystyle n}$, поэтому его можно записать как

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},}$

где функции ${\displaystyle V}$ симметричны. Для конкретной индексной функции ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}}$, коэффициент ${\displaystyle V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})}$ называется смешанным объемом ${\displaystyle K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}}$.

Характеристики

• Смешанный объем однозначно определяется следующими тремя свойствами:

1. ${\displaystyle V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)}$;
2. ${\displaystyle V}$ симметричен по своим аргументам;
3. ${\displaystyle V}$ является полилинейным: ${\displaystyle V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})}$ за ${\displaystyle \lambda ,\lambda '\geq 0}$.

• Смешанный объем неотрицателен и монотонно увеличивается по каждой переменной: ${\displaystyle V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})}$ за ${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{1}'}$.
• Неравенство Александрова – Фенхеля, открытое Александр Данилович Александров и Вернер Фенчель:

${\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}$

Многочисленные геометрические неравенства, такие как Неравенство Брунна – Минковского. для выпуклых тел и Первое неравенство Минковского, являются частными случаями неравенства Александрова – Фенхеля.

Квермассинтегралы

Позволять ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ - выпуклое тело и пусть ${\displaystyle B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ быть Евклидов мяч единичного радиуса. Смешанный объем

${\displaystyle W_{j}(K)=V({\overset {n-j{\text{ times}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ times}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})}$

называется j-й квермассинтегральный из ${\displaystyle K}$.^[1]

Определение смешанного объема дает Формула Штейнера (названный в честь Якоб Штайнер ):

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}.}$

Собственные объемы

В j-й собственный объем из ${\displaystyle K}$ это другая нормализация квермассинтеграла, определяемая

${\displaystyle V_{j}(K)={\binom {n}{j}}{\frac {W_{n-j}(K)}{\kappa _{n-j}}},}$ или другими словами ${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}V_{j}(K)\,\mathrm {Vol} _{n-j}(tB_{n-j}).}$

куда ${\displaystyle \kappa _{n-j}={\text{Vol}}_{n-j}(B_{n-j})}$ объем ${\displaystyle (n-j)}$-мерный шар.

Характеризационная теорема Хадвигера

Основная статья: Теорема Хадвигера

Теорема Хадвигера утверждает, что каждый оценка на выпуклых телах в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ непрерывный и инвариантный относительно жестких движений ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ представляет собой линейную комбинацию квермассинтегралов (или, что то же самое, внутренних объемов).^[2]

Примечания

1. Макмаллен, П. (1991). «Неравенства между собственными объемами». Монатш. Математика. 111 (1): 47–53. Дои:10.1007 / bf01299276. МИСТЕР  1089383.
2. Клайн, Д.А. (1995). «Краткое доказательство характеризационной теоремы Хадвигера». Математика. 42 (2): 329–339. Дои:10.1112 / с0025579300014625. МИСТЕР  1376731.

внешняя ссылка

Бураго, Ю.Д. (2001) [1994], «Теория смешанного объема», Энциклопедия математики, EMS Press