Первое неравенство Минковского для выпуклых тел - Minkowskis first inequality for convex bodies - Wikipedia

В математика, Первое неравенство Минковского для выпуклых тел это геометрический результат из-за Немецкий математик Герман Минковски. Неравенство тесно связано с Неравенство Брунна – Минковского. и изопериметрическое неравенство.

Формулировка неравенства

Позволять K и L быть двумя п-размерный выпуклые тела в п-размерный Евклидово пространство рп. Определите количество V1(KL) к

куда V обозначает п-размерный Мера Лебега а + обозначает Сумма Минковского. потом

с равенством если и только если K и L находятся гомотетичный, т.е. равны с точностью до перевод и расширение.

Замечания

  • V1 это всего лишь один пример класса величин, известных как смешанные объемы.
  • Если L это п-размерный единичный мяч B, тогда п V1(KB) это (п - 1) -мерная поверхностная мера K, обозначенный S(K).

Связь с другими видами неравенства

Неравенство Брунна – Минковского.

Можно показать, что неравенство Брунна – Минковского для выпуклых тел в рп следует первое неравенство Минковского для выпуклых тел в рп, и что равенство в неравенстве Брунна – Минковского влечет равенство в первом неравенстве Минковского.

Изопериметрическое неравенство

Принимая L = B, то п-мерный единичный шар, в первом неравенстве Минковского для выпуклых тел получаем изопериметрическое неравенство для выпуклых тел в рп: если K выпуклое тело в рп, тогда

с равенством тогда и только тогда, когда K шар некоторого радиуса.

Рекомендации

  • Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна – Минковского». Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 39 (3): 355–405 (электронный). Дои:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.