Интегральная геометрия - Integral geometry

В математика, интегральная геометрия это теория меры на геометрическом пространстве, инвариантном относительно группа симметрии этого пространства. В последнее время это значение было расширено и теперь включает в себя представление об инварианте (или эквивариантный ) преобразования из пространства функций на одном геометрическом пространстве в пространство функций на другом геометрическом пространстве. Такие преобразования часто принимают форму интегральные преобразования такой как Преобразование радона и его обобщения.

Классический контекст

Интегральная геометрия как таковая впервые возникла как попытка уточнить некоторые положения геометрическая теория вероятностей. Ранние работы Луис Сантало[1] и Вильгельм Блашке[2] был в связи с этим. Это следует из классическая теорема Крофтона выражая длина самолета изгиб как ожидание количества пересечений с случайный линия. Здесь слово «случайный» следует интерпретировать как подлежащее правильной симметрии.

Есть образец пространства строк, на котором аффинная группа самолета действует. А вероятностная мера ищется на этом пространстве, инвариантный относительно группы симметрии. Если, как в этом случае, мы сможем найти уникальную такую ​​инвариантную меру, тогда это решит проблему точного формулирования того, что означает «случайная линия», и ожидания становятся интегралами по отношению к этой мере. (Обратите внимание, например, что фраза «случайный аккорд круга» может использоваться для построения некоторых парадоксы -Например Парадокс Бертрана.)

Поэтому мы можем сказать, что интегральная геометрия в этом смысле является приложением теория вероятности (как аксиоматизировано Колмогоров ) в контексте Программа Эрланген из Кляйн. Содержание теории фактически сводится к инвариантным (гладким) мерам на (желательно компактный ) однородные пространства из Группы Ли; и вычисление интегралов от дифференциальные формы.[3]

Очень известный случай - проблема Игла Буффона: бросьте иглу на пол, сделанный из досок, и рассчитайте вероятность того, что игла пройдет через трещину. Обобщая, эта теория применяется к различным случайные процессы занимается вопросами геометрии и инцидентности. Видеть стохастическая геометрия.

Одна из самых интересных теорем в этой форме интегральной геометрии - это Теорема Хадвигера в евклидовой обстановке. Впоследствии теоремы типа Хадвигера были установлены в различных условиях, особенно в эрмитовой геометрии, с использованием передовых инструментов из теория оценки.

Более позднее значение слова интегральная геометрия это из Сигурдур Хельгасон[4][5] и Израиль Гельфанд.[6] Более конкретно в нем рассматриваются интегральные преобразования, смоделированные на основе Преобразование радона. Здесь лежащее в основе геометрическое отношение падения (точки, лежащие на линиях, в случае Крофтона) видно в более свободном свете, как место для интегрального преобразования, составленного как откат на график заболеваемости а потом продвигать.

Примечания

  1. ^ Луис Сантало (1953) Введение в интегральную геометрию, Герман (Париж)
  2. ^ Вильгельм Блашке (1955) Vorlesungen über Integralgeometrie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
  3. ^ Луис Сантало (1976) Интегральная геометрия и геометрическая вероятность, Эддисон Уэсли ISBN  0201135000
  4. ^ Сигурдур Хельгасон (2000) Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции, Американское математическое общество ISBN  0821826735
  5. ^ Сигурдур Хельгасон (2011) Интегральная геометрия и преобразования Радона, Спрингер, ISBN  9781441960542
  6. ^ И. М. Гельфанд (2003) Избранные темы интегральной геометрии, Американское математическое общество ISBN  0821829327

Рекомендации