Формула Крофтона - Crofton formula

В математика, то Формула Крофтона, названный в честь Морган Крофтон (1826–1915), является классическим результатом интегральная геометрия связывая длину кривой с ожидал количество раз "случайный" линия пересекает его.

Заявление

Предполагать ${displaystyle gamma}$ это исправимый плоская кривая. Учитывая ориентированную линию ℓ, позволять ${displaystyle n_ {gamma}}$ (ℓ) - количество точек, в которых ${displaystyle gamma}$ и ℓ пересекаются. Мы можем параметризовать генеральную линию ℓ по направлению ${displaystyle varphi}$ на которое он указывает и расстояние со знаком ${displaystyle p}$ от источник. Формула Крофтона выражает длина дуги кривой ${displaystyle gamma}$ с точки зрения интеграл по пространству всех ориентированных линий:

{displaystyle operatorname {length} (gamma) = {frac {1} {4}} iint n_ {gamma} (varphi, p); dvarphi; dp.}

В дифференциальная форма

{displaystyle dvarphi wedge dp}

инвариантен относительно жесткие движения, так что это естественная мера интегрирования, когда речь идет о «среднем» количестве пересечений. Правую часть формулы Крофтона иногда называют длиной Фавара.^[1]

Доказательство эскиза

Обе стороны формулы Крофтона следующие: добавка над конкатенацией кривых, поэтому достаточно доказать формулу для одного отрезка. Поскольку правая часть не зависит от расположения отрезка прямой, она должна быть равна некоторой функции длины отрезка. Поскольку, опять же, формула аддитивна по сравнению с конкатенацией отрезков прямой, интеграл должен быть постоянным, умноженным на длину отрезка. Осталось только определить коэффициент 1/4; это легко сделать, вычислив обе стороны, когда γ является единичный круг.

Другие формы

Пространство ориентированных линий - двойное крышка пространства неориентированных линий. Формула Крофтона часто выражается в терминах соответствующей плотности в последнем пространстве, в котором числовой коэффициент равен не 1/4, а 1/2. Поскольку выпуклая кривая пересекает почти каждый Если линия либо дважды, либо вовсе не повторяется, формулу Крофтона для выпуклых кривых можно сформулировать без числовых множителей: мера множества прямых, пересекающих выпуклую кривую, равна ее длине.

Формула Крофтона обобщается на любые Риманов поверхность; затем интеграл проводится с естественной мерой на пространстве геодезические.

Приложения

Формула Крофтона дает элегантные доказательства, в частности, следующих результатов:

Между двумя вложенными выпуклыми замкнутыми кривыми внутренняя короче.
Теорема Барбье: Каждый кривая постоянной ширины ш имеет периметр $π$ ш.
В изопериметрическое неравенство: Среди всех замкнутых кривых с заданным периметром круг имеет уникальную максимальную площадь.
В выпуклый корпус любой ограниченной спрямляемой замкнутой кривой C имеет периметр не более длины C, с равенством только тогда, когда C уже выпуклая кривая.

Смотрите также

Лапша Буффона
В Преобразование радона можно рассматривать как теоретико-мерное обобщение формулы Коши – Крофтона.
Длиннометр Steinhaus

внешняя ссылка

Страница формулы Коши – Крофтона, с демонстрационными апплетами

[1] Луис Сантало (1976), Интегральная геометрия и геометрическая вероятность, Эддисон-Уэсли

[1]